備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題 第48講 不等式選講

第四十八講不等式選講A組一、選擇題1、不等式||+||的解集為（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】由絕對(duì)值的幾何意義知，||+||表示數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)5的距離和數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)-3的距離之和，其距離之和的最小值為8，結(jié)合數(shù)軸，選D。2、不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】：A【解析】：因?yàn)閷?duì)任意x恒成立，所以，解得或。二、填空題3、設(shè)，則的最小值為?！敬鸢浮浚?【解析】：由柯西不等式可知。若，則的最小值是_________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚?。5、（2015重慶16）若函數(shù)的最小值為5，則實(shí)數(shù)a=_______?！敬鸢浮浚夯颉窘馕觥浚河山^對(duì)值的性質(zhì)知的最小值在或時(shí)取得，若，或，經(jīng)檢驗(yàn)均不合；若，則，或，經(jīng)檢驗(yàn)合題意，因此或。6、若關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚寒?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上可得，所以只要，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是。7、（2017年全國(guó)1卷理）已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.①當(dāng)時(shí)，①式化為，無解；當(dāng)時(shí)，①式化為，從而；當(dāng)時(shí)，①式化為，從而.所以的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，.所以的解集包含，等價(jià)于當(dāng)時(shí).又在的學(xué)科&網(wǎng)最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.8.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍?！窘馕觥浚海?）當(dāng)時(shí)，或或或（2）原命題在上恒成立；在上恒成立；在上恒成立 ；。9、已知函數(shù)=,=。（1）當(dāng)=2時(shí)，求不等式＜的解集；（2）設(shè)＞-1，且當(dāng)∈[，)時(shí)，≤,求的取值范圍。解：(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0。設(shè)函數(shù)y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，則y＝其圖像如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，y＜0；所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}。(2)當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝1＋a；不等式f(x)≤g(x)化為1＋a≤x＋3，所以x≥a－2對(duì)x∈都成立；故≥a－2，即；從而a的取值范圍是。10.若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由?！窘馕觥浚海?）由，得，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為。（2）由(1)知：，由于＞6，從而不存在，使得。11、設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）。解：(1)由得；由題設(shè)得，即；從而有，故。(2)因?yàn)椋?，，故，即所以?。B組一、選擇題1、已知關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】：D【解析】：方法一：由絕對(duì)值的幾何意義知，表示數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)1的距離和數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)-的距離之差，要使不等式的解集不是空集，結(jié)合數(shù)軸可知。方法二：令，因?yàn)椴坏仁降慕饧皇强占?，則有，又從而，解得。2、若，且恒成立，則的最小值是（）B．C．D．【答案】：B【解析】：，，而，即恒成立，得。二、填空題3、若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚毫?，則①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，則；③當(dāng)時(shí)，；綜合①②③可知；所以要使不等式恒成立，則需，解得。4、對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若，，則的最大值為。【答案】：52【解析】：因?yàn)?，，則。5、已知，若關(guān)于x的方程有實(shí)根，則的取值范圍是?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河梢阎?；又因?yàn)?，從而有；解得?、若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚?，即，。7、已知，的最小值為。（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式?！窘馕觥浚海?）因?yàn)?，則有；當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)等號(hào)成立；故m的值為6。由（1）得，即；兩邊平方有；解得；故不等式的解集為。8..設(shè)函數(shù)=。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求的取值范圍?！窘馕觥浚?1)證明：由，有（2）由已知當(dāng)時(shí)，，由解得；當(dāng)時(shí)，，由由解得；綜上，的取值范圍是。9、設(shè)正數(shù)x，y，z滿足。（1）求證：；（2）求的最小值。【解析】：（1）證明：由柯西不等式得：；（2）解：由已知

所以由柯西不等式得：；故的最小值為。10、已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍?！窘馕觥浚海?）當(dāng)時(shí)，化為。當(dāng)，不等式化為，無解；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；所以解集為。（2）由題設(shè)可得，所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，從而的面積為；則有，故，所以的取值范圍為。C組一、選擇題1、設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】：因?yàn)椋瑒t，而，所以，解得。2、已知，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】：，即，，，，，得，即，得，所以。二、填空題3、若是正數(shù)，且滿足，則的最小值為______?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚阂?yàn)?，則有。4、設(shè)a，b，c均為正數(shù)且，則之最小值為__________?！敬鸢浮浚?【解析】：設(shè)向量=(，，)，=(，，)因?yàn)?，則有

()×9

。5、已知實(shí)數(shù)滿足，，則a的最小值與最大值之差為?！敬鸢浮浚?1【解析】：由柯西不等式，得，即，由條件，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值與最大值之差為-1。6.對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)滿足，且使最大時(shí)，的最小值為?！敬鸢浮浚?2【解析】：設(shè)，則；則由得；因?yàn)殛P(guān)于a的二次方程，即；解得；當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)t的值為時(shí)，同法可求得故的最小值為-2。三、解答題7、已知，函數(shù)的最小值為4．（1）求的值；（2）求的最小值?！窘馕觥?

（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。又，所以，所以。（2）由柯西不等式得：即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)時(shí)．。8、已知實(shí)數(shù)滿足，且有。求證：。【解析】：，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則，得，而即，得，所以，，即。9、已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時(shí)，等號(hào)成立?！窘馕觥?（證法一）因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得①所以②故.又③所以原不等式成立。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，③式等號(hào)成立。即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，原式等號(hào)成立。證法二：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得所以①同理②故③所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)