存在與唯性定理證明

定義：設函數(shù)f(x,)

Picard存在與唯一性定理的證明在閉區(qū)域D上有定義，如果存在常數(shù)L使對任,yx,)D

均滿足不等式

f(x,y)f(,)

，則稱f(x,y

在D

上關于

滿足

件，稱L

為Lipschitz

常數(shù)Picard

定理設f(

在閉矩形域D：y

上連續(xù)且關于滿足Lipschitz條(x,y)件，則初值問題

·①

(x)在區(qū)間I

上有且只有一個解，其中

min(a,

(

fxy)證明：整個證明過程分成如下五個部分Ⅰ，首先證明求初值①的解等價于求積分方程y

f(yxI

·②的連解。事實上，若yxI)

是初值問題①的解，則有

dx(x))dx,xIx)y由此(x

在I

上連續(xù)而可積于對恒等式

f(x,x)),I

積分并利用初始條件，得

f())dxI

即，yxI)

是積分方程②的解反之，設xI)

是方程②的連續(xù)解，即有恒等式

f(x,

x))dxI因為f(x,

在I

上連續(xù)，故

f(x,

x))dxI

右端是積分上限I

的可微函數(shù)，從而)

在I

可微于是將

f(

x))dxI

兩邊對

求導，得恒等式

f(x,

)),I

，并令得()

，因此y(x)(xI)

是初值問題①的解因此們只需證明積分方程②存在唯一定義在區(qū)間

Ix

上的連續(xù)解們采用

Picard的逐次逼近法來證明，基本思路就是在所設條件下構(gòu)造出一個一致收斂的連續(xù)函數(shù)序列，它的極限函數(shù)恰是積分方程②的唯一解Ⅱ，用逐次迭代法在區(qū)間I上構(gòu)造逐次近似的連續(xù)函數(shù)序列

y()(,(xy(x)y

,xI

·③當

時，注意到f(y

是I

上的連續(xù)函數(shù)，所以由③知(x)y

f(x,()),(xI

在I

上是連續(xù)可微的，而且滿足不等式(

f(,(dx

于是在區(qū)間I

上y()因此，(xy(

在I

上是連續(xù)的，所以由式③知(xy

f(,y(x)),(I)

在區(qū)間

I

上是連續(xù)可微的，而且滿足(y

f(x,xMx

于是在區(qū)間I

上y(x)以此類推，應用數(shù)學歸納法易證：由③出謂

序

(x

是I

上數(shù)列，滿足等式(MhⅢ，證明

Picard

序()

在區(qū)間I

上一致收斂考慮級數(shù)y

y(x)y

y(y

()

··········④它的部分和為y)y

x)x

，于是，要證明序()

在區(qū)間I上一致收斂，只需證明級數(shù)④在

I上一致收斂。為此我們歸納證明不等式：

()()ML

(n

(n0,1,...)

在I

上成立事實上，當

時由(y

f(y)

⑤成立，假設當時⑤式成立即有

(y()

(

(k0,1,...)

在I

上成立則由式③知

()

()

[f,y

())fx,y))]dx根據(jù)Lipschitz條件和歸納假設得

()

(x)

L

()()dx

(k

ML

(即當k

時式⑤也成立，因此有數(shù)學歸納法知式⑤得證因當xI時，h

，故由式⑤知

))ML

h

n因正項級數(shù)

h

收斂，故由函數(shù)項級數(shù)一致收斂的（爾斯特拉斯）判別法知級數(shù)④在區(qū)間I

上一致收斂從而Picard

序

在區(qū)間I

上一致收斂設其極限函數(shù)為

x)

，即當xI

時一致的有l(wèi)im(x)則)在I上是連續(xù)的且由y()y是積分方程②的解Ⅳ，證明y),(I)

推知

x)y,I在式③兩端得)lim

f((因此問題歸結(jié)為證明lim

f(sy(sds

fs,

))ds因Picard

序(

在I

上一致收斂，則任給

，存在自然數(shù)NN

，當n

時，對I

中所有x

有(x)

Lh故當I時，由條件知

f(s,y(s))ds

f(x

x))ds

f(,(s))fx))L(s)

L

ds

h因此式

f(sy(sds

fs,

))ds

成立

因而當I

時有

x)y

fs

，所以),(I)

是積分方程②的一個連續(xù)解Ⅴ，證明積分方程②的連續(xù)解的唯一性設yx)

也是方程②的定義在區(qū)I上的連續(xù)解則

x

f(x())xI

于是與步驟Ⅲ類似，可歸納證明得

(x)

h

n

在I

上成立從而

Picard

序(

在區(qū)間I

上也一致收斂與

，因此我們推出

x)x),xI所以，積分方程②的連續(xù)解是唯一的。至此，定理得證。【注】定理中hmin{a,

b

}

的幾何意義因為在閉矩形域D上有f(x,y)M

，所以方程

x)

的積分曲線上任一點的切線斜率介于與M之間。過點p(xy

分別引斜率為與M的直線C

和

：yM(x),y(

，當

時，如圖㈠所示；

時，如圖㈡所示顯然方程

y

過點(x,y

的積分曲線x)

(如果存在的)不可能進入圖㈠或㈡所示的兩個陰影區(qū)域內(nèi)。若M

b(即a

)由圖㈠可見解yx)

在整個區(qū)間

上有定義；若M

(即a

b

)由㈡可不能保證解y

在

上有義。它可能在xxx)

或(x

外到達

的上邊界y

或下邊界y

，于是，當

或x

時，

沒有定義。此時，