2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，矩形的邊N8=4,BC=3.一簡(jiǎn)易量角器放置在矩形內(nèi)，其零度線

即半圓。的直徑與邊重合，點(diǎn)工處是0刻度，點(diǎn)5處是180刻度.尸點(diǎn)是量角器的

半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸點(diǎn)的切線與邊8C、CD(或其延長(zhǎng)線)分別交于點(diǎn)￡、F.設(shè)點(diǎn)P

的刻度數(shù)為〃，NPAB=a.

(1)當(dāng)“=136時(shí)，a=22°,求出a與〃的關(guān)系式；

(2)在尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段E8與EP有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)予證明；

(3)在尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，尸點(diǎn)在直線C。上的位置隨著a的變化而變化，當(dāng)尸點(diǎn)在線

段CD上時(shí)、在C。的延長(zhǎng)線上時(shí)、在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，對(duì)應(yīng)的a值分別是多少？(參

考數(shù)據(jù)：tan56.3°七1.5)

(4)連接8P,在尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在△NB尸與△CEE相似的情況？若存在，

求出此時(shí)〃的值以及相應(yīng)的EF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)連接0尸，如圖1,

由題可知：ZAOP=136°.

：.ZPOB=44,>.

:.NPAB=22°.

"：ZAOP=n0,

：.ZPOB=l^O°-n°.

：.ZPAB-=a=^ZPOB=^(180°-n°)=90。.

故答案為：22°,

a與"的關(guān)系式a=90°.

(2)EB=EP.

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理由如下：

如圖1,

?.?四邊形是矩形，

，N/8C=90°.

：.EB與半圓。相切.

又與半圓0相切，

，由切線長(zhǎng)定理得：EB=EP.

(3)①如圖2,此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，連接Q0.

由切線長(zhǎng)定理得：DP=DA=3,ZADO^ZPDO.

：.DO±AP.

:.ND4P=90°-ZADO=ZDOA.

'：ZDAO=90a,AD=3,N0=2,

AnQ

/.tanZDOA=衍==1.5.

Vtan56.3°^1.5,

AZDOA=56.3°.

AZDAP=ZDOA=56.3°.

???a=90°-56.3°=33.7°.

②如圖3,當(dāng)NPO8=90°時(shí)，顯然過(guò)點(diǎn)尸的切線與CO平行,

此時(shí)，a=45°.

③如圖4,此時(shí)點(diǎn)￡t與點(diǎn)C重合.同①可得：a=56.3°.

結(jié)合以上臨界位置可得：

當(dāng)點(diǎn)廠在線段C。上時(shí)，0°<aW33.7°或56.3°Wa<90°；

當(dāng)點(diǎn)尸在線段CZ)的延長(zhǎng)線上時(shí)，33.7°<a<45°；

當(dāng)點(diǎn)尸在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，45°<a<56.3°.

(4)存在△/8P與△CEF相似的情況.

①當(dāng)點(diǎn)E在8c上時(shí)，如圖5所示，

若△/8P與△CEF相似，則必有N/8P=NCEF.

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YE尸與半圓O相切，

：.ZOPE=90°.

???四邊形Z8CD是矩形，

ZABC=90°.

：.ZOPE=ZABC=90°

?：OP=OB,

：,/OPB=/OBP.

:?/EPB=/EBP.

：.ZCEF=2ZEBP.

：.ZABP=2ZEBP.

■:NABP+/EBP=9C,

AZABP=600.

AZAOP=2ZABP=120°.

???〃=120°.

此時(shí)，NPAB=NEPB=/EBP=3G0.

過(guò)點(diǎn)、E作EH上BP,垂足為

?：EP=EB,EH工BP

:?PH=BH=^PB=ix2=1.

?/口*HB173

??cos/HBE=詼=頡=z

學(xué).

；.CE=3一竽.

?：NCEF=/ABP=60°,

:?NCFE=30°,

4J3

/=2CE=6一詈.

②當(dāng)點(diǎn)七在8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖6所示，

若△Z8P與△CEF相似，則必有NZBP=NEFU

：.ZE=90°-Z￡FC=90°-ZABP=ZEBP.

?：EB=EP,

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:./EPB=/EBP.

ZEPB=ZEBP=ZE.

??.△EP8是等邊三角形.

:./EPB=NEBP=6G°.

：.NOPB=/OBP=30°.

AZAOP=60°.

.*./7=60o.

??Z6=4,ZPBA=30°,

：.AP=2,PB=2?

:.EB=PB=2?

A￡C=2V3-3.

*：/EFC=90°-60°=30°,

：.EF=2EC=4y/3-6.

綜上所述：△Z3P與△(7￡"尸相似時(shí)，n=60°,EF=48一6或〃=120°,科=6—竽.

圖5

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2.(1)【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓

的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易.

例如：如圖1,在△/8C中，AB=AC,ZBAC=90°,。是△/8C外一點(diǎn)，S.AD=AC,

求N5DC的度數(shù).若以點(diǎn)N為圓心，為半徑作輔助。4則點(diǎn)C、。必在。力上，Z

A4C是04的圓心角，而/8DC是圓周角，從而可容易得到N2OC=3°.

(2)【問(wèn)題解決】

如圖2,在四邊形/8CO中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求N8/C的數(shù).

(3)【問(wèn)題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形/BCD的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足4E=DF.連接CF交

BD于點(diǎn)、G,連接BE交4G于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段?！遍L(zhǎng)度的最小值是

V5-j_.

解：⑴如圖1,:AB=AC,AD=AC,

以點(diǎn)/為圓心，點(diǎn)8、C、。必在04上，

歷1C是。/的圓心角，而N8OC是圓周角，

：.ZBDC=^ZBAC=45°,

故答案是：45；

(2)如圖2,取8。的中點(diǎn)。，連接/。、CO.

■:NBAD=NBCD=90",

.?.點(diǎn)力、B、C、。共圓，

：.ZBDC=ZBAC,

VZ5Z)C=25°,

：.ZBAC=25a,

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(3)如圖3,在正方形Z3CZ)中，AB=AD=CD,/BAD=NCDA,ZADG=ZCDGt

在4ABE和△/)由中，

AB=CD

乙BAD=4CDA,

AE=DF

：.^ABE^/XDCF(SAS)f

/.Z1=Z2,

在△力。G和△CQG中，

ZD=CD

Z.ADG=Z-CDG，

、DG=DG

???△4DG四△8G("S),

???N2=N3,

???N1=N3,

■:/BAH+/3=NBAD=90°,

：?NT+NBAH=90°,

AZAHB=\SO0-90°=90°,

取N5的中點(diǎn)O,連接OH、OD,

則OH=AO=%B=1,

在RtA^OD中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

.?.當(dāng)0、D、〃三點(diǎn)共線時(shí)，。，的長(zhǎng)度最小，

最小值=。。-OH=V5-1.

(解法二：可以理解為點(diǎn)”是在直徑的半圓腦上運(yùn)動(dòng)當(dāng)。、H、。三點(diǎn)

共線時(shí)，?！ㄩL(zhǎng)度最小)

故答案為：V5—1.

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3.如圖，在RtZ\Z8C中，ZACB=90°,以斜邊Z8上的中線CD為直徑作。0,與8c交

于點(diǎn)M,與力8的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過(guò)〃作MN_L/8,垂足為M

(1)求證：MN是。。的切線;

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'：OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC,

在RtAJSC中，CD是斜邊Z8上的中線,

:.CD=^AB=BD,

:.NDCB=NDBC,

：.ZOMC=ZDBC,

：.OM//BD,

?:MNLBD,

：.OMLMN,

過(guò)O,

是。。的切線；

是。。的直徑，

：.ZCED=90°,ZDMC=90°,

BPDM±BC,CE1.AB,

由（1）知：BD=CD=5,

.../為8c的中點(diǎn)，

3

VsiaS=耳，

4

/.cosS=耳，

在例。中，BM=BDsB=4,

:?BC=2BM=8,

29

在RtZ\CE8中，BE=BC，cosB=-^

327

：.ED=BE-BD=學(xué)-5=

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4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)4B,。。的半徑為八

（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)4,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求//C8的度數(shù)：

（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形/P8C為菱形，的度

數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若PC交。。于點(diǎn)。，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含，的式子表示）.

圖1

'：PA,P8為。。的切線，

：.ZPAO=ZPBO=9Q°,

N4PB+NPAO+NPBO+NAOB=36Q°,

AZAPB+ZAOB^1SO°,

?.?//P8=80°,

；.N/08=100°,

AZACB=50°；

(2)如圖2,當(dāng)NAPB=60°時(shí)，四邊形/P8C是菱形,

連接O/,OB,

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M

由⑴可知,NAOB+NAPB=180°,

VZAPB=60°,

/.ZAOB=\200,

AZACB=60°=NAPB,

???點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

???PC經(jīng)過(guò)圓心，

?：PA,為OO的切線,

:.PA=PB,/APC=/BPC=30°,

又,：PC=PC,

：./XAPC^^BPC("S),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BCf

???四邊形ZP8C是菱形；

(3)???。0的半徑為廣，

C.OA=r,OP=2『,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=90°-4PO=60°,

，前的長(zhǎng)度==^r.

.?.陰影部分的周長(zhǎng)=24+尸。+而=百出+貨=(V3+1+J)r.

5.如圖，以為OO的切線，P8C為。。的割線，4DLOP于點(diǎn)D,△力。C的外接圓與8c

的另一個(gè)交點(diǎn)為R證明：NBAE=NACB.

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*：OAA-AP,ADA.OP,

，由射影定理可得：PA2=PD?PO,AD?=PD?OD.???（5分）

2

又由切割線定理可得PA=PB-PCf

:?PB*PC=PD?PO,

:?D、B、C、O四點(diǎn)共圓，…（10分）

AZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODCf/PBD=/COD,

:.叢PBDsXCOD,

PDBD八

:.—=—,…（15分）

CDOD

:?BD?CD=PD?OD=AN,

9BDAD

??布—布.

又NBD4=NBDP+90°=NOOC+90°=ZADC,

：?ABDAs/\ADC,

；./BAD=NACD,

：.AB是△4DC的外接圓的切線，

:?/BAE=NACB.

)

2

6.如圖，點(diǎn)力為y軸正半軸上一點(diǎn),4,8兩點(diǎn)關(guān)于)C軸對(duì)稱(chēng),過(guò)點(diǎn)A任作直線交拋物線y=|%

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于P,。兩點(diǎn).

（1）求證：NABP=NABQ；

（2）若點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1）,且NP8Q=60°,試求所有滿足條件的直線P。的函數(shù)

解析式.

【解答】（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,f）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,-t）.

設(shè)直線尸。的函數(shù)解析式為并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（XP，yp）,（XQ,yQ）.由

y=kx+t

y=|x2

,2

得石d7—kx—t=

于是%P%Q=-^t,即t=-^XPXQ.

1%p2+t|%p2-2z、

于是些="-xp（xp-x（2）xp