2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題［綜合性］

角度1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

［例1］

設(shè)函數(shù)/(X)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)g(x)=4(x)的圖象如圖所示，則下列

結(jié)論中一定成立的是()

A.兀0有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.火-2)為函數(shù)的極大值

C.4x)有兩個(gè)極小值

D../(—1)為7U)的極小值

聽課筆記：

反思感悟由圖象判斷函數(shù)y=/(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y=/(x)的圖象與x軸的

交點(diǎn)，可得函數(shù)y=/(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y=『(x)的圖象可以看出y=/(x)的值的正

負(fù)，從而可得函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).

角度2求已知函數(shù)的極值

［例2］已知函數(shù)火只二%2—1—2aInx(aWO),求函數(shù)/(x)的極值.

聽課筆記：

反思感悟求可導(dǎo)函數(shù)氏0的極值的步驟

(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)/(x);

(2)求方程/(x)=0的根；

⑶檢驗(yàn)了(x)在方程〃x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，具體如下表:

XX<XoXOX>Xo

/(x)>0/(%)=0/(x)<0

./W增極大值人刈)減

XX<XOXOX>Xo

/(X)/U)<0/w=o/?>0

於)減極小值人用)增

［提醒］對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)的極值問題，一般要對(duì)方程/(x)=0的根的情

況進(jìn)行討論.分兩個(gè)層次討論：第一層，討論方程在定義域內(nèi)是否有根；第二層，在有根的

條件下，再討論根的大小.

角度3已知極值(點(diǎn))求參數(shù)

［例3］(1)已知?r)=x3+3at2+6x+屋在》=一1處有極值0,則a+b=.

(2)已知函數(shù),*x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

聽課筆記：

反思感悟已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)

(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為。和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解

后必須臉證該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?洛陽(yáng)模擬］若x=l是函數(shù),*x)=ax+lnx的極值點(diǎn)，則()

A<x)有極大值-1B.於)有極小值一1

G/U)有極大值0D.大x)有極小值0

2.Q022?桂林聯(lián)考］若函數(shù)外)=滬一心一去2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

)

A.Q,+8)B.(1,+00)

C.(|,+8)D.(e,+8)

考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值［綜合性、應(yīng)用性］

［例4］已知函數(shù)g(x)—aInx+x2—(a+2)x(aGR).

⑴若a=L求g(x)在區(qū)間［1，e］上的最大值;

⑵求g(x)在區(qū)間［1,e］上的最小值/?(〃).

聽課筆記：

反思感悟求函數(shù)兀V)在m,加上的最值的方法

(1)若函數(shù)在區(qū)間［a,加上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則犬〃)與人份一個(gè)為最大值，一個(gè)為最

小值.

(2)若函數(shù)在區(qū)間［a,儀上有極值，則要先求出函數(shù)在［出句上的極值，再與犬。)，犬6)比

較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

(3)若函數(shù)應(yīng)￥)在區(qū)間(a,份上有唯---個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，

此結(jié)論在導(dǎo)致的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

［2022?四川省江油中學(xué)高三測(cè)試］已知函數(shù)兀0二式+江+云儂，bGR)在x=-3處取得

極大值為9.

(1)求a,人的值；

(2)求函數(shù)/U)在區(qū)間［—4,4］上的最大值與最小值.

考點(diǎn)三生活中的優(yōu)化問題［應(yīng)用性］

［例5］［2022?山東煙臺(tái)調(diào)研］中國(guó)高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來(lái)巨大便利，極大促進(jìn)

了區(qū)域經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時(shí)間間隔，(單位:分鐘)滿足5W/W25,

PN*,經(jīng)測(cè)算，高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔f相關(guān)：當(dāng)20W/W25時(shí)，高鐵為滿載狀態(tài),

載客量為1000人；當(dāng)5〈f<20時(shí)，載客量會(huì)在滿載基礎(chǔ)上減少，減少的人數(shù)與(20一/)2成正

比，且發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為100人.記發(fā)車間隔為1分鐘時(shí)，高鐵載客量為

P⑺.

(1)求尸⑺的解析式；

(2)若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為t分鐘時(shí)的凈收益。⑺⑺-40P+650L2000(元)，當(dāng)

發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，單位時(shí)間的凈收益率最大？

聽課筆記：

反思感悟利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟

［注意］在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，若在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，則這個(gè)值即為最

優(yōu)解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

如圖，將一張16cmX10cm的長(zhǎng)方形紙片剪下四個(gè)全等的小正方形,

使得剩余部分經(jīng)過(guò)折疊能糊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，則這個(gè)紙盒的最大容積是

cm3.

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例1解析：由題圖知，當(dāng)xG(-8,—2)時(shí)，g(x)>0,

當(dāng)x￡(-2,0)時(shí)，g(x)<0,.,./(JC)>0,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(x)<0,：.f(x)<0,

當(dāng)xW(l,+8)時(shí)，g(x)>0,,-./(x)>0.

；.?在(一8,-2),(0,1)上單調(diào)遞減,

在(一2,0),(1,+8)上單調(diào)遞增.

故ABD錯(cuò)誤，C正確.

答案：C

例2解析：因?yàn)?)-1—2“Inx(x>0),

所以7(x)=2犬一孩=當(dāng)包.

①當(dāng)〃<0時(shí)，因?yàn)閤>0,且『一”>0,所以/(x)>0在(0,+8)上恒成立.所以兀r)在(0,

+8)上單調(diào)遞增，?r)無(wú)極值.

②當(dāng)。>0時(shí)，令/(x)=0,解得?=百，&=一,(舍去).

所以當(dāng)x變化時(shí)，f(x),負(fù)㈤的變化情況如下表：

X(0,病y(Va,+0°)

/(X)—0+

於)\極小值/

所以當(dāng)x=V5時(shí)，y(x)取得極小值，且式V5)=(Vi)2—I—2aIn內(nèi)=。-1一“In無(wú)極

大值.

綜上，當(dāng)4<0時(shí)，函數(shù)貝x)在(0,+8)上無(wú)極值.

當(dāng)tf>0時(shí)，函數(shù)次x)在x=6處取得極小值〃一1一“Ina,無(wú)極大值.

例3解析：(1曠(幻=3/+6依+6,

r(-D=o,

由題意得

f(-i)=o,

解得或卜=2,

(b=3,(b=9,

當(dāng)a=l,6=3時(shí),/(X)=3X2+6X+3=3(X+1)2^0,

???於)在R上單調(diào)遞增，

即7U)無(wú)極值，

=

?'?a\9b=3不符合題意，

當(dāng)〃=2,8=9時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

^a+h=\\.

解析：(2)ftx)=x(lnx-ax)9定義域?yàn)?0,+°°),

/(x)=1+lnx—lax.

由題意知，當(dāng)心>0時(shí)，1+lnx—2以=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

即2〃=上皿有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

X

A/、1+Inx?〃、-Inx

令9(])=七-(冗z>°)，??800=

當(dāng)0<X<l時(shí)，d(X)>0;當(dāng)A>1時(shí)，”(幻<0,

.??姒外在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且9(1)=1,

當(dāng)x-*0時(shí),磯工)一一00,

當(dāng)工一+8時(shí)，9。)一0，

貝i」0<2a<l,即0<“<去

答案:(1)11(2)(0,0

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：?.?危尸辦+lnx,x>0,

??必)=“+(

由/(1)=0得〃=—1,

V(x)=T+：芋

由/(%)>0得0<x<1,由/(x)<0得x>1,

.?./(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

.,.犬》)極*他=火1)=—1,無(wú)極小值.

答案：A

2.解析：依題意，/(x)=e2"一me"—"tv有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

令/(x)=0,即e1'—me'—mx=0,則e2x=m(ex+x),

顯然，〃#0,則工=三攔，

mezx

、兒/、ex+x.i、(ex+l)e2x-(ex+x)-2e2xl-ex-2x

設(shè)g(x)=T，則ng(x)=i—二方~--=-^，

設(shè)h(x)^l-e-2x,則〃(x)=-e，-2<0,

在R上單調(diào)遞減，

又/7(0)=0,

...當(dāng)XW(—8,0)時(shí)，咐)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，h(x)<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

，g(X)max=g(0)=l,且X-*—8時(shí)，g(x)f-8,+8時(shí)，g(x)-0,

/.0<^-<1,解得

m

答案：B

考點(diǎn)二

例4解析：(l)：a=l,.,.g(x)=lnx+/—3x,

???g，(x)=；+2x_3=(2x-?(xT),

Vxe[l,e|,：.g'(x)^0,

.?.g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，

???g(x)max=g(e)=e2—3e+1.

(2)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),

，/x_a_izI_2x2-(a+2)x+a_(2x-a)(x-l)

g(x)--+o2x~(a+2)-----------------------

①當(dāng)|W1,即aW2時(shí)，g(x)在“，e］上單調(diào)遞增，〃(a)=g(l)=一。一1；

②當(dāng)iq<e,即2<a<2e時(shí)，g(x)在［1,|)上單調(diào)遞減，在(|,e］上單調(diào)遞增，〃(“)=g(|)

［a12

=aIn-------優(yōu)一〃；

24

③當(dāng)|2e,即。22e時(shí)，g(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，h(a)=g(e)=(l—e)a+e2—2e.

綜上,h(a)=

—a—1,a<2,

a1

3In7T-~~3-9a,2<aV2e,

Z4

{(1—e)a+e2—2e,a>2e.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

解析：(1)由題意得：f(x)=jr+2ax+h,

.(f\-3)=9-6a+b=0鋌徨［a=1

??(f(-3)=-9+9a—3b=9'腫何：lb=-3,

當(dāng)L"'時(shí)，/WW/+W—3x，/a)=*+2x-3=(x+3)(x-l),

.?.當(dāng)xG(—8,—3)和(1,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)>0；當(dāng)xG(一3,D時(shí)，/(x)<0,

.?.貝幻在(-8,-3),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一3,1)上單調(diào)遞減，

.\/U)的極大值為負(fù)-3)=9,滿足題意.

⑵由⑴得：於)的極大值為八-3)=9,極小值為川)=1+1—3=一|,

又|—4)=3，/(4)=y,

.?必)在區(qū)間［-4,4］上的最大值為拳最小值為一|.

考點(diǎn)三

例5解析：(1)當(dāng)5Wf<20時(shí)，不妨設(shè)PQ)=1000一曲20—。2,因?yàn)槭?5)=100,所以

解得k=4.

因此「⑺

_(1000-4(20-t)2,5<t<20,tGN*.

I1000,20<t<25,tGN*.

(2)①當(dāng)5Wf<20時(shí)，。?)=/")-40產(chǎn)+6507—2000=—/3+500/—20()0,

因此尸(。