2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第七節(jié)函數(shù)的圖象

第七節(jié)函數(shù)的圖象

最新考綱

1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表

示函數(shù).

2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

考向預(yù)測

考情分析：本節(jié)的?？键c(diǎn)有函數(shù)圖象的辨析、函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用及利用圖

象解方程或不等式，其中函數(shù)圖象的辨析仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，屬中檔

題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.描點(diǎn)法作圖的流程

確定函數(shù)的定義域

化簡函數(shù)解析式

討論函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)

除考慮點(diǎn)的一般性外，尤其要注意特殊點(diǎn)，如:

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)、端點(diǎn)、最(極)值點(diǎn)、

對(duì)稱點(diǎn)等

面出直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確描出表中點(diǎn)

連線—用光滑的曲線連接所描點(diǎn)

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

|尸人：)+<：|

上A">0)個(gè)單位

移

I產(chǎn)危+一一?系單M尸不)單即'Mx-a)|

下

移4依>0)個(gè)單位

(2)對(duì)稱變換

y=f(x)的圖象與y=的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；

y=f(x)的圖象與y=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

y=f(x)的圖象與y=的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

y=ax(a>0,且a￥l)的圖象與丫=(a>0,且aW1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

(3)伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

)=/(1)---------------------------------------Ay=f(aG.

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?(a>0)倍

a

橫坐標(biāo)不變_-

yT℃各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁(A>。倍""一""

(4)翻折變換

式軸下方部分翻折到上方

丁=/(彳)的圖象

■r軸及上方部分不變

的圖象;

“、小m右3軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

v=r(①)的圖--------------------------->v=

“J原》軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變J

_________的圖象.

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.記住幾個(gè)重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=f(x)與y=2b—f(2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱.

(3)若函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a+x)=f(a—x),則函數(shù)y=f(x)的圖

象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

2.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，如果x的系數(shù)不是1,常需把系數(shù)提出來，

再進(jìn)行變換.

3.圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”).

(1)函數(shù)y=f(l-x)的圖象，可由y=f(-x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到.()

(2)當(dāng)xG(O,+8)時(shí),函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.()

(3)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱.()

(4)若函數(shù)y=f(x)滿足f(l+x)=f(l—x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.()

(二)教材改編

2.［必修1/35例5改編］函數(shù)f(x)=x+；的圖象關(guān)于()

A.y軸對(duì)稱B.x軸對(duì)稱

C.原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱

x2xV0

'的圖象的是（）

{x—1,x>0

（三）易錯(cuò)易混

4.（記錯(cuò)變換規(guī)律出錯(cuò)）把函數(shù)f（x）=/wx圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到

的圖象的函數(shù)解析式是.

5.（忽視定義城及分段不清出錯(cuò)）畫出函數(shù)丫=611+|x-1|的圖象.

（四）走進(jìn)高考

6.［2021.浙江卷］已知函數(shù)f（x）=x2+］,g（x）=si〃x,則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）

A.y=f(x)+g(x)-]

B.y=f(x)—g(x)一；

C.y=f(x)g(x)

關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象［基礎(chǔ)性］

作出下列函數(shù)的圖象：

⑴y=（護(hù)；

（2）y=|/og2（x+l）|；

（3）y=x2—2|x|—1.

反思感悟函數(shù)圖象的3種常用畫法

方法適用條件

當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函

直接法

數(shù)的特征找出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出圖象.

轉(zhuǎn)化法含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象.

若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用

圖象

圖象變換作出，但要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要

變換法

先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)［基礎(chǔ)性、綜合性］

［例1|(1)［2020?浙江卷］函數(shù)y=xcosx+s加x在區(qū)間［一乃，劃的圖象大致為()

(2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=x+s，〃x

nc,、COSX

B.f(x)=---

X

af(X)=X(X-=)(X-y)

D.f(x)=xcosx

聽課筆記：

反思感悟

1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）

從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；（4）從函數(shù)的

奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解

決問題.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?重慶診斷］函數(shù)f（x）=xcos［一］的圖象大致為（）

Q\

X

2.

［2022.開封市第一次模擬考試］某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是

)

A.f(x)=(eK-ex)cosx

B.f(x)=(eK—ex)\cosx|

C.f(x)=(ex+eK)cosx

D.f(x)=(ex+eK)sinx

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用［綜合性］

角度1研究函數(shù)的性質(zhì)

［例2］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖放置的邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動(dòng)（無

滑動(dòng)滾動(dòng))，點(diǎn)D恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)B(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對(duì)函數(shù)y=f(x)

的判斷不正確的是()

A.函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)

B.對(duì)任意的xGR,都有/(x+4)=/(x—4)

C.函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)椋?,2V2］

D.函數(shù)y=/3)在區(qū)間［6,8］上單調(diào)遞增

反思感悟利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象研究：

(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；

(2)從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；

(3)從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.

角度2函數(shù)圖象在不等式中的應(yīng)用

［例3］(1)若函數(shù)式x)=log2(x+l),且則等，等，，的大小關(guān)系是()

A.衛(wèi)幽,㈣

abc

B.幽幽巫

cba

C,3巫>螞

bac

.衛(wèi)幽

Dacb

(2)［2020?北京卷］已知函數(shù)./U)=2'—x—l,則不等式凡v)>0的解集是()

A.(-1,1)

B.(—8,-l)U(1,+8)

C.(0,1)

D.(—8,0)U(1,+8)

角度3求參數(shù)的取值范圍

2X>2

=X-'若關(guān)于X的方程氏0=人有兩個(gè)不同的實(shí)根,

((x-I)3,x<2.

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

(2)已知函數(shù)yU)=M+3x|,xdR.若方程犬x)—“任一1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為.

聽課筆記：

反思感悟利用函數(shù)的圖象研究不等式的基本思路

當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象

的上下關(guān)系問題或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.設(shè)函數(shù)_/Cx）=|x+a|,g（x）=x—1,對(duì)于任意的x^R,不等式y(tǒng)（x）》g（x）恒成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

2.已知奇函數(shù)./W在x20時(shí)的圖象如圖所示，則不等式歡x）＜0的解集為.

3.［2022.淄博模擬］關(guān)于函數(shù)Ar）=|ln|2-x||,下列描述不正確的有（）

A.函數(shù)應(yīng)外在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.若X|WX2，但/（Xl）=y（X2）,則犬1+及=4

D.函數(shù)兀v）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

微專題O破解抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱性

［例］下列說法中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①函數(shù)y=/（x）與函數(shù)y=-兀0的圖象關(guān)于直線y=0對(duì)稱；

②函數(shù)y=/（x）與函數(shù)y=一八一x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

③如果函數(shù)y=/（x）對(duì)于一切xWR,都有犬。+》）=/（〃一x）,那么y=#x）的圖象關(guān)于直線

x-a對(duì)稱；

④函數(shù)_y=?r—1）與y=y（l—x）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

A.1B.2

C.3D.4

解析：對(duì)于①，把函數(shù)y=/（x）中的y換成一y,x保持不變，得到的函數(shù)的圖象與原函

數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；對(duì)于②，把函數(shù)y=/&）中的x換成一x,y換成一y,得到的函數(shù)的

圖象與原函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)于③，若對(duì)于一切xWR,都有./（a+x）=/（a-x）,則

兀0的圖象關(guān)于直線X=（a+x）；（a-x）="對(duì)稱;對(duì)于④，因?yàn)楹瘮?shù)）,=火防與y=/（-x）的圖象關(guān)

于y軸對(duì)稱，它們的圖象分別向右平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y=/U—1）與x）的圖

象，即y=/（x-i）與y=y（i—%）的圖象關(guān)于直線x=i對(duì)稱.

答案：D

名師點(diǎn)評(píng)函數(shù)對(duì)稱性的常用結(jié)論

(1)函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱

①/(一x)=7(x)0函數(shù))，=/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②函數(shù)y=_/(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱=y(a+x)=/(“一x)=7(x)=y(24—x)=K—x)=y(2a+

x)；

③若函數(shù)y=?r)的定義域?yàn)镽,且有y(“+x)=yS—x),則函數(shù)y=y(x)的圖象關(guān)于直線x

(2)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系

①函數(shù)y=y(a+x)與y=ys—x)的圖象關(guān)于直線》=呼對(duì)稱；函數(shù)y=7W與

的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

②函數(shù)y=/(x)與y=28—/(x)的圖象關(guān)于直線y=b對(duì)稱.

［變式訓(xùn)練］已知下圖(1)中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=J(x),則下圖(2)中的圖象對(duì)應(yīng)的函

數(shù)在下列給出的四個(gè)式子中，可能是(填序號(hào)).

?y=fi.\x\）；②》=貝》）|；③>=一/（園）;

第七節(jié)函數(shù)的圖象

積累必備知識(shí)

2.(1次x)一%(2)—/x)火一x)—x)logd(4)［/(x)|XM)

、

I.答案：(l)x(2)X(3)x(4)V

2.解析：函數(shù)y(x)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8)且八一x)=-y(x),即函數(shù)式x)為奇

函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

答案：c

3.解析：其圖象是由y=/圖象中x<0的部分和y=x-l圖象中x20的部分組成.

答案：C

4.解析：根據(jù)伸縮變換方法可得，所求函數(shù)解析式為y=1ngx).

答案：y=ln《x)

5.解析：y=[l'°<X<1,其圖象如圖所示.

(2x-1,x>1,

6.解析：y=Xx)+^)-i=x2+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除

A；y=f(x)—g(x)——x2—sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；y=J(x)g(x)

=8+^)sinx,

貝!!y,=2xsinx+(x2+Jcosx,

當(dāng)x=:時(shí)，x￡+(三+。x當(dāng)＞0,與圖象不符，排除c.

422\164/2

答案：D

提升關(guān)鍵能力

考n占八、、一

解析：(1)先作出)，=《尸的圖象，保留y=e“圖象中的部分，再作出y=(}'的圖

象中x＞0部分關(guān)于)，軸的對(duì)稱部分，即得的圖象，如圖①實(shí)線部分.

(2)將函數(shù)y=log＞的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,

即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)1的圖象，如圖②.

乂2—

Xzx—1I,Xx>_u0,且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8)上的圖象，

(x2+2x-1,x<0,

再根據(jù)對(duì)稱性作出(-8,0)上的圖象，得圖象如圖③.

考占一

例1解析：(1)因?yàn)殪?=%cosx+sinx,則八一x)=—xcosx—sinx=—/(x),又x￡［一

71,7T1，所以八X)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則C,D錯(cuò)誤.當(dāng)x=7F時(shí)，y=ncos

n+sin7i=-7t<0,知B錯(cuò)誤；只有A滿足.

(2)從圖象看，y=/U)應(yīng)為奇函數(shù)，排除C；

又府)=0,知段)=x+sinx不正確；

對(duì)于B,4匕)=罷，得/(X)=rs『sx,

當(dāng)0<嗎時(shí)，/(x)<0,

所以/)==與廣在(0，上遞減，B不正確；

只有?r)=xcosx滿足圖象的特征.

答案：(1)A(2)D

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：根據(jù)題意，./U)=xcos(x-1)=xsinx,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.有人一

x)=(-x)sin(―x)=xsinx=j(x),即函數(shù)>=段)為偶函數(shù)，排除B,D.

當(dāng)不￡(0,兀)時(shí)，x>0,sinx>0,有?r)>0,排除C.只有A適合.

答案：A

2.解析：當(dāng)x=0時(shí)，C選項(xiàng)中大0)=2,不合題意，排除C.當(dāng)工=兀時(shí)，B選項(xiàng)中八兀)

=(ex-^)Xl>0,不合題意，排除B.D選項(xiàng)中五兀)=0,不合題意，排除D.

答案：A

考點(diǎn)三

例2解析：由題意得，當(dāng)一4Wx<-2時(shí)，點(diǎn)8的軌跡為以(-2,0)為圓心，2為半徑

的;圓；當(dāng)一2Wx<2時(shí)，點(diǎn)3的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2打?yàn)榘霃降?圓；當(dāng)2Wx<4時(shí)，

點(diǎn)8的軌跡為以(2,0)為圓心，2為半徑的;圓，如圖所示；以后依次重復(fù)，所以函數(shù)./U)是

以8為周期的周期函數(shù).由圖象可知，函數(shù)火x)為偶函數(shù),故A錯(cuò)誤；因?yàn)?U)的周期為8,

所以共x+8)=/(x),即/(x+4)=Ax—4),故B正確；由圖象可知，y(x)的值域?yàn)椋?,2V2］,故

C正確；由圖象可知，y(x)在［―2,0］上單調(diào)遞增，因?yàn)閥(x)在［6,8］的圖象和在［—2,0］的圖

象相同，故D正確.

答案：A

例3解析：(1)由題意可得，等，華分別看作函數(shù)兀v)=log2(x+l)圖象上的點(diǎn)3,

/(a)),(b,a)),c(/(c))與原點(diǎn)連線的斜率.

結(jié)合圖象可知，當(dāng)a＞b＞c＞0時(shí)，㈣＜等〈螞.

abc

(2)函數(shù)＜x)=2，-x-l,則不等式式x)＞0的解集即2，＞x+l的解集，在同一平面直角坐

標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2*y=x+l的圖象(圖略)，結(jié)合圖象易得2，＞x+l的解集為(-8,o)U

(1,+8),故選D.

答案：(1)B(2)D

例4解析：(1)畫出分段函數(shù)段)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出，若/(x)=4有兩

個(gè)不同的實(shí)根，也即函數(shù)y=/(x)的圖象與y=k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍為(0,1).

(2)設(shè)/=。k一1|.

在同一直角坐標(biāo)系中作出yi=4+3x|,

》2=“僅一1|的圖象如圖所示.

由圖可知y(x)—a|x—1|=0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于力=片+3兄與1|的圖象

有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1,

所以①卜=-Xj