高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)15正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)151正弦函數(shù)的圖像教案數(shù)學(xué)教案

正弦函數(shù)的圖像整體設(shè)計(jì)教課剖析研究函數(shù)的性質(zhì)經(jīng)常以圖像直觀為基礎(chǔ),這點(diǎn)學(xué)生已經(jīng)有些經(jīng)驗(yàn),經(jīng)過察看函數(shù)的圖像,從圖像的特色獲取函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本方法,這也是數(shù)形聯(lián)合思想的應(yīng)用.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的教課也是這樣.先研究它們的圖像,在此基礎(chǔ)上再利用圖像來研究它們的性質(zhì).明顯,增強(qiáng)數(shù)形聯(lián)合是深入研究函數(shù)性質(zhì)的基本要求.因?yàn)槿呛瘮?shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,這也是三角函數(shù)不一樣于其余種類函數(shù)的最重要的地方,并且關(guān)于周期函數(shù),我們只需認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期的區(qū)間上的性質(zhì),那么它的性質(zhì)也就完整清楚了,所以,教科書把對(duì)周期現(xiàn)象的研究放在了本章開篇第一節(jié).因?yàn)檎揖€已經(jīng)從“形”的角度描繪了三角函數(shù),所以利用單位圓中的三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)圖像是一個(gè)自然的想法.自然,我們還能夠經(jīng)過三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系性等來作圖,從畫出的圖形中察看得出五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn),獲取“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖.三維目標(biāo)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)演示,讓學(xué)生經(jīng)歷圖像畫法的過程及方法,經(jīng)過對(duì)圖像的感知,形成正弦曲線的初步認(rèn)識(shí),從而研究正弦曲線正確的作法,養(yǎng)成擅長發(fā)現(xiàn)、擅長研究的優(yōu)秀習(xí)慣.學(xué)會(huì)碰到新問題時(shí)擅長調(diào)換所學(xué)過的知識(shí),較好地運(yùn)用新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,提升剖析問題、解決問題的能力.經(jīng)過本節(jié)學(xué)習(xí),理解正弦函數(shù)圖像的畫法.借助圖像變換,認(rèn)識(shí)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.經(jīng)過三角函數(shù)圖像的三種畫法:描點(diǎn)法、幾何法、五點(diǎn)法,領(lǐng)會(huì)用“五點(diǎn)法”作圖給我們學(xué)習(xí)帶來的利處,并會(huì)嫻熟地畫出一些較簡單的函數(shù)圖像.經(jīng)過本節(jié)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)中的圖形美,體驗(yàn)擅長著手操作、合作研究的學(xué)習(xí)方法帶來的成功歡樂.浸透由抽象到詳細(xì)的思想,加深數(shù)形聯(lián)合思想的認(rèn)識(shí),理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系,建立科學(xué)的辯證唯心主義觀.要點(diǎn)難點(diǎn)教課要點(diǎn):正弦函數(shù)的圖像.教課難點(diǎn):將單位圓中的正弦線經(jīng)過平移轉(zhuǎn)變?yōu)檎液瘮?shù)圖像上的點(diǎn).課時(shí)安排1課時(shí)教課過程導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)碰到一個(gè)新的函數(shù),特別自然的是畫出它的圖像,察看圖像的形狀,看看有什么特別點(diǎn),并借助圖像研究它的性質(zhì),如:值域、單一性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx的圖像是如何的呢?回想我們?cè)诒匦?中學(xué)過的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像是什么?是如何畫出它們圖像的(列表描點(diǎn)法:列表、描點(diǎn)、連線)?從而指引學(xué)生經(jīng)過取值,畫出當(dāng)x∈［0,2π］時(shí),y=sinx的圖像.思路2.(情境導(dǎo)入)請(qǐng)學(xué)生著手做一做章頭圖表示的“簡諧運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn).教師指導(dǎo)學(xué)生將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗,再掛在架子上,就做成了一個(gè)簡略單擺.在漏斗下方放一塊紙板,板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上沙并拉離均衡地點(diǎn),松手使它擺動(dòng),同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板,這樣便可在紙板上獲取一條曲線,它就是簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像.物理中把簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像叫作“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對(duì)均衡地點(diǎn)的位移s(縱坐標(biāo))隨時(shí)間t(橫坐標(biāo))變化的狀況.有了上述實(shí)驗(yàn),你對(duì)正弦函數(shù)的圖像能否有了一個(gè)直觀的印象?畫函數(shù)的圖像,最基本的方法是我們從前熟知的列表描點(diǎn)法,但不夠精準(zhǔn).下邊我們利用正弦線畫出比較精準(zhǔn)的正弦函數(shù)圖像.推動(dòng)新課新知研究提出問題問題①:作正弦函數(shù)圖像的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表獲取的數(shù)值,因?yàn)閷?duì)一般角的三角函數(shù)值都是近似值,不易描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的精準(zhǔn)地點(diǎn).我們?nèi)绾潍@取隨意角的三角函數(shù)值并用線段長(或用有向線段數(shù)值)表示x角的三角函數(shù)值?如何獲取函數(shù)圖像上點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)呢?簡單地說,就是如何獲取y=sinx,x∈［0,2π］的精準(zhǔn)圖像呢?問題②:如何獲取y=sinx,x∈R時(shí)的圖像?活動(dòng):教師先讓學(xué)生閱讀教材、思慮議論,先指引學(xué)生弄清什么是角α的正弦線.此處的難點(diǎn)在于為何要用正弦線來作正弦函數(shù)的圖像,如何在x軸上標(biāo)橫坐標(biāo)?為何將單位圓分紅12份?學(xué)生思慮研究仍不得要領(lǐng)時(shí),教師可進(jìn)行合時(shí)的點(diǎn)撥.只需解決了y=sinx,x∈［0,2π］的圖像,就很簡單獲取y=sinx,x∈R時(shí)的圖像了.對(duì)問題①,第一步,能夠想象把單位圓圓周剪開并12平分(教材中的說明中重申“所分的等份越細(xì),畫出的圖像越精準(zhǔn).”),再把x軸上從0到2π這一段分紅12等份.因?yàn)閱挝粓A周長是2π,這樣就解決了橫坐標(biāo)問題.過⊙O上的各分點(diǎn)作x軸的垂線,就能夠獲取對(duì)應(yīng)于10、、、、、、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標(biāo)問題(相當(dāng)于“列表”).6432第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合,這就獲取了函數(shù)對(duì)(x,y)(相當(dāng)于“描點(diǎn)”).第三步,再把這些正弦線的終點(diǎn)用光滑曲線連結(jié)起來,我們就獲取函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的一段圓滑曲線(相當(dāng)于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學(xué)生認(rèn)真察看如何平移和連線過程.而后讓學(xué)生著手作圖,形成對(duì)正弦函數(shù)圖像的感知).這是本節(jié)的難點(diǎn),教師要和學(xué)生共同商討.圖1對(duì)問題②,因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sinx在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z且k≠0上的圖像與函數(shù)y=sinx在x∈［0,2π］上的圖像的形狀完整一致,不過地點(diǎn)不一樣.于是我們只需將函數(shù)y=sinx,x∈［0,2π］的圖像向左、右平行挪動(dòng)(每次2π個(gè)單位長度),就能夠獲取正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖像.(這一過程用課件辦理,讓同學(xué)們認(rèn)真察看整個(gè)圖的形成過程,感知周期性)圖2議論結(jié)果:①利用正弦線,經(jīng)過平分單位圓及平移即可獲取y=sinx,x∈［0,2π］的圖像.②左、右平移,每次2π個(gè)長度單位即可.提出問題問題:以上方法作圖,固然精準(zhǔn),但不太適用,自然我們想追求快捷地畫出正弦函數(shù)圖像的方法.你以為哪些點(diǎn)是要點(diǎn)性的點(diǎn)?活動(dòng):對(duì)此問題,教師可指引學(xué)生從圖像的整體下手察看正弦函數(shù)的圖像,發(fā)此刻［0,2π］上有五個(gè)點(diǎn)起要點(diǎn)作用,只需描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像的形狀就基本上確立了.這五點(diǎn)以下:(0,0),(

,1),(

π,0),(

3

,-1),(2

π,0).2

2所以,在精準(zhǔn)度要求不太高時(shí)

,我們經(jīng)常先找出這五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)

,而后用圓滑的曲線將它們連結(jié)起來,便可快速獲取函數(shù)的簡圖.這類近似的“五點(diǎn)(繪圖)法”是特別適用的,要求嫻熟掌握.議論結(jié)果:略.應(yīng)用示例例1用五點(diǎn)法畫出以下函數(shù)在區(qū)間［0,2π］上的簡圖:(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.活動(dòng):本例的目的是讓學(xué)生會(huì)用“五點(diǎn)法”繪圖,并經(jīng)過獨(dú)立達(dá)成課后練習(xí)1意會(huì)畫正弦、余弦函數(shù)圖像的要領(lǐng),最后達(dá)到嫻熟掌握.從實(shí)質(zhì)教課來看,“五點(diǎn)法”繪圖易學(xué)卻難掌握,學(xué)生需練好扎實(shí)的基本功.可先讓學(xué)生按“列表、描點(diǎn)、連線”三步來達(dá)成.對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的各種失誤,教師不要焦急,在學(xué)生操作中指導(dǎo)一一糾正,這對(duì)此后學(xué)習(xí)大有利處.解:(1)按五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)列表:x0π32π22y=sinx010-10y=-sinx0-1010描點(diǎn)并將它們用圓滑的曲線連結(jié)起來(圖3).圖3(2)按五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)列表:x0π32π22sinx010-101+sinx12101描點(diǎn)并將它們用圓滑的曲線連結(jié)起來(圖4).圖4評(píng)論:“五點(diǎn)法”是畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)簡圖的基本方法,本例是最簡單的變化.本例的目的是讓學(xué)生熟習(xí)“五點(diǎn)法”.假如是多媒體教課,要打破課件教課的互動(dòng)性,多留給學(xué)生一些著手操作的時(shí)間,或許增添圖像糾錯(cuò)的環(huán)節(jié),成效將會(huì)令人滿意,切不行教師繪圖學(xué)生看.達(dá)成本例后,讓學(xué)生閱讀本例下面的“思慮”,并回答如何經(jīng)過圖像變換得出要畫的圖像,讓學(xué)生從另一個(gè)角度熟習(xí)函數(shù)作圖的方法.例2畫出函數(shù)y=|sinx|,x∈R的簡圖.活動(dòng):教師指引學(xué)生察看研究y=sinx的圖像并思慮|sinx|的意義,發(fā)現(xiàn)只需將其x軸下方的圖像翻上去即可.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),只需畫出y=|sinx|,x∈［0,π］的圖像,而后左、右平移(每次π個(gè)單位)就能夠獲取y=|sinx|,x∈R的圖像.讓學(xué)生試試找尋在［0,π］上哪些點(diǎn)起要點(diǎn)作用,易看出起要點(diǎn)作用的點(diǎn)有三個(gè):(0,0),(,1),(π,0).而后列表、描點(diǎn)、連線,讓2學(xué)生自己獨(dú)立操作達(dá)成,對(duì)其失誤的地方再予以一一糾正.解:按三個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)列表:x02πsinx010y=|sinx|010描點(diǎn)并將它們用圓滑的曲線連結(jié)起來(圖5).圖5評(píng)論:經(jīng)過本例,讓學(xué)生更深刻地理解正弦曲線及“五點(diǎn)法”繪圖的要義

,并進(jìn)一步從圖像變換的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)之間的關(guān)系,也為下一步將要學(xué)習(xí)的周期打下伏筆

.變式訓(xùn)練1.方程

sinx=

x

的根的個(gè)數(shù)為

(

)10A.7

B.8

C.9

D.10分析

:這是一個(gè)超越方程

,沒法直接求解

,可指引學(xué)生考慮數(shù)形聯(lián)合的思想方法

,將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)

y=

x的圖像與

y=sinx

的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

,借助圖形直觀求解

.解好此題的要點(diǎn)是10正確地畫出正弦函數(shù)的圖像

.如圖

6,從圖中可看出圖6

,兩個(gè)圖像有

7個(gè)交點(diǎn).答案:A用五點(diǎn)法作函數(shù)y=2sin2x的圖像時(shí),第一應(yīng)描出的五點(diǎn)橫坐標(biāo)能夠是()A.0,,π,3,2πB.0,4,,3,π2224C.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,26323答案:B知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1.講堂小結(jié)以發(fā)問的方式,先由學(xué)生反省學(xué)習(xí)內(nèi)容并回答,教師再作增補(bǔ)完美.1.單位圓中圓心角的弧度數(shù)與正弦線的數(shù)目是如何構(gòu)成圖像上點(diǎn)坐標(biāo)的?為何將單位圓圓周12平分?有什么利處?3.如何利用“循環(huán)往復(fù)”的特色,把區(qū)間［0,2π］上的圖像擴(kuò)展到整個(gè)定義域的?這節(jié)課學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)圖像的畫法.除了代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法以外,“五點(diǎn)法”作圖是比較方便、適用的方法,應(yīng)嫻熟掌握.數(shù)形聯(lián)合思想、運(yùn)動(dòng)變化看法都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.作業(yè)課本習(xí)題1—5A組1、2.設(shè)計(jì)感想本節(jié)課操作性強(qiáng),學(xué)生活動(dòng)量較大.新課從實(shí)驗(yàn)演示下手,形成圖像的感知后,升級(jí)問題,研究正弦曲線正確的作法,形成理性認(rèn)識(shí).問題設(shè)置層層深入,指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,并對(duì)方法進(jìn)行概括總結(jié),表現(xiàn)了新課標(biāo)“以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)”的講堂教課理念.如用多媒體課件,則可生動(dòng)地表現(xiàn)出函數(shù)圖像的變化過程,更好地打破難點(diǎn).2.本節(jié)課所畫的圖像許多,能快速正確地畫出函數(shù)圖像對(duì)初學(xué)者來說是一個(gè)較高的要求,重在學(xué)生著手操作,不要怕學(xué)生犯錯(cuò).經(jīng)過繪圖能夠培育學(xué)生的著手能力、模擬能力.開始時(shí)要慢些,特別是“五點(diǎn)法”,每個(gè)點(diǎn)都要正確地找到,而后快速畫出圖像.本小節(jié)設(shè)置的“研究”“思慮”許多,還供給了“研究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”等拓展性欄目.教課時(shí),應(yīng)留給學(xué)生必定的時(shí)間去思慮、研究這些問題.備課資料一、備用習(xí)題1.用“五點(diǎn)法”畫出以下函數(shù)的圖像:(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;(2)y=1+sinx,x∈［0,2π］.22.如圖7中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)分析式是()圖7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|參照答案:1.解:按五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)列表以下:x0π32π22y=2-sinx21232y=1+sinx131-11222222在直角坐標(biāo)系中描出這五個(gè)點(diǎn)(1)如圖8.(2)如圖9.

,作出相應(yīng)的函數(shù)圖像

,以以下圖所示

.圖

8

圖

92.C二、潮汐與港口水深我國東漢時(shí)期的學(xué)者王充說過“濤之興也,隨月盛衰”.唐朝學(xué)者張若虛(約660年至約720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水連海平,海上明月共潮生”這樣的優(yōu)美詩句.先人把海水白日的上升叫作“潮”,夜晚的上升叫作“汐”.實(shí)質(zhì)上,潮汐與月球、地球都相關(guān)系.在月球萬有引力的作用下,就地球的海面上的每一點(diǎn)而言,海水會(huì)跟著地球自己的自轉(zhuǎn),大概在一天里經(jīng)歷兩次上升、兩次下降.因?yàn)槌毕c港口的水深有親密關(guān)系,任何一個(gè)港口的工作人員對(duì)此都十分重視,以便合理地加以利用.比如,某港口工作人員在某年陰歷八月初一從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t(h)與水深d(m)的關(guān)系以下:t

0

3

6

9

12

15

18

21

24D

5

7.5

5

2.5

5

7.5

5

2.5

5(1)把上表中的九組對(duì)應(yīng)值用直角坐標(biāo)系中的九個(gè)點(diǎn)表示出來

(以以下圖中實(shí)心圓點(diǎn)所示

),察看它們的地點(diǎn)關(guān)系

,不難發(fā)現(xiàn)

,我們能夠采用正弦型函數(shù)

d=5+2.5sin

t,t

∈［0,24)

來近6似地描述這個(gè)港口這天的水深

d與時(shí)間

t的關(guān)系

,并畫出簡圖

(如圖

10).圖10由此圖或利用科學(xué)計(jì)算器,能夠獲取t取其余整數(shù)時(shí)d的近似值,從而把上表細(xì)化.利用這個(gè)函