線性代數(shù)3.3矩陣的秩

3.3矩陣的秩一二矩陣秩的概念求矩陣秩的方法1一、矩陣秩的概念定義1

在階矩陣中，任取行與列），

（位于這些行列交叉處的個元，不中所處的位置次序而得的階行列式，

改變它們在稱為矩陣的階子式。

階矩陣的階子式共有個。2定義2

設(shè)在矩陣中有一個不等于0的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于0，稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩的秩，記作。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。那么陣3由行列式的按行（列）展開性質(zhì)可知，在中當(dāng)所有階子式全等于0，所有高于階的子式也全為0，因此把階非零子式稱為最高的最高階非零子式的秩就是的非零子階非零子式，并由此可知矩陣可能不止一個。而式的最高階數(shù)。4【注】（1）若矩陣中有一個階非零子式，則；若中所有階子式全為0，則（2）若為矩陣，則。。（3）對于階矩陣，若，則；若，則。因此，可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱降秩矩陣。5（4）由于行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，因此的子式與的子式對應(yīng)相等，從而（5）該定義揭示了矩陣秩的本質(zhì)。例4

求矩陣和矩陣的秩，其中6解在中，容易看出一個二階子式

，而的三階子式只有一個

，經(jīng)計算可知，因此。

是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，即知的所有四階子式全為0；而以3個非零行的非零元為對角元的三階行列式7是一個上三角形行列式，它顯然不等于0，因此8二、求矩陣秩的方法

從上可知，對于一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)與列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的。然而對于行階梯形矩陣，它的秩就等于非零行的行數(shù)，一看便知毋須計算。因此，自然想到用初等變換把矩陣化為階梯形，但矩陣經(jīng)初等變換后它的秩是否保持不變呢？下面的定理對此作出肯定的回答。9定理1

若，則。即，矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。證明先證明：若經(jīng)一次行初等變換化為，則。為此設(shè)，且的某個階子式。當(dāng)或時，在

中總能找到與相對應(yīng)的階子式

，由于

或

10或，因此，從而。

當(dāng)時，分三種情形討論：

（1）中不含第行；中同時含第行和第行；中含第行但不含第行。

（2）（3）11對于（1）（2）兩種情形，顯然對應(yīng)的階子式，從而；

中與對情形（3），由12若，則因中不含第行知中行的階非零子式，從而根據(jù)情形；若，則。。有不含第（1）知也有以上證明了若經(jīng)一次初等行變換變?yōu)閯t。由于亦可經(jīng)一次初等行變換，故也有。因此。，變?yōu)?3

經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，因而經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩也不變?？傊?，矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩。若經(jīng)初等列變換變?yōu)?，?jīng)初等行變換，由上面證明知。而，，因此。變?yōu)榭傊?，若?jīng)有限次初等變換變?yōu)椋?，則。（即14【注】求矩陣秩的方法：行階梯形，行階梯形中非零行的行數(shù)，即是它的秩。例5

求矩陣的秩。解因為

所以，秩(A)。15【注】矩陣的秩有如下性質(zhì)：（1）設(shè)A為n階方陣，則A可逆當(dāng)且僅當(dāng)（即（2））（3）設(shè)A為矩陣，則≤。