挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題教師版(2023版)

挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題教師版)(2023版)目錄第一局部函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題21.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題21.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題111.3因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題191.4因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題311.5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題411.6因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題51第二局部函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題562.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題562.2由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題58第三局部圖形運(yùn)動(dòng)中的計(jì)算說理問題673.1代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題673.2幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題71第四局部圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)75第一局部函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例12023年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線〔k≠0〕與直線y＝x＋2都經(jīng)過點(diǎn)A(2,m)．〔1〕求k與m的值；〔2〕此雙曲線又經(jīng)過點(diǎn)B(n,2)，過點(diǎn)B的直線BC與直線y＝x＋2平行交y軸于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AB、AC，求△ABC的面積；〔3〕在〔2〕的條件下，設(shè)直線y＝x＋2與y軸交于點(diǎn)D，在射線CB上有一點(diǎn)E，如果以點(diǎn)A、C、E所組成的三角形與△ACD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．圖1總分值解答〔1〕將點(diǎn)A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)．將點(diǎn)A(2,4)代入，得k＝8．〔2〕將點(diǎn)B(n,2)，代入，得n＝4．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2)．設(shè)直線BC為y＝x＋b，代入點(diǎn)B(4,2)，得b＝－2．所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,－2)．由A(2,4)、B(4,2)、C(0,－2)，可知A、B兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是2，B、C兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是4．所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．圖2所以S△ABC＝＝＝8．〔3〕由A(2,4)、D(0,2)、C(0,－2)，得AD＝，AC＝．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE與△ACD相似，分兩種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，CE＝AD＝．此時(shí)△ACD≌△CAE，相似比為1．②如圖4，當(dāng)時(shí)，．解得CE＝．此時(shí)C、E兩點(diǎn)間的水平距離和豎直距離都是10，所以E(10,8)．圖3圖4考點(diǎn)伸展第〔2〕題我們在計(jì)算△ABC的面積時(shí)，恰好△ABC是直角三角形．一般情況下，在坐標(biāo)平面內(nèi)計(jì)算圖形的面積，用割補(bǔ)法．如圖5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y軸．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．圖5例22023年武漢市中考第24題如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒〔0＜t＜2〕，連接PQ．〔1〕假設(shè)△BPQ與△ABC相似，求t的值；〔2〕如圖2，連接AQ、CP，假設(shè)AQ⊥CP，求t的值；〔3〕試證明：PQ的中點(diǎn)在△ABC的一條中位線上．圖1圖2總分值解答〔1〕Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ與△ABC相似，存在兩種情況：①如果，那么．解得t＝1．②如果，那么．解得．圖3圖4〔2〕作PD⊥BC，垂足為D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．當(dāng)AQ⊥CP時(shí)，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．圖5圖6〔3〕如圖4，過PQ的中點(diǎn)H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E．由于H是PQ的中點(diǎn)，HF//PD，所以F是QD的中點(diǎn)．又因?yàn)锽D＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)．所以PQ的中點(diǎn)H在△ABC的中位線EF上．考點(diǎn)伸展此題情景下，如果以PQ為直徑的⊙H與△ABC的邊相切，求t的值．如圖7，當(dāng)⊙H與AB相切時(shí)，QP⊥AB，就是，．如圖8，當(dāng)⊙H與BC相切時(shí)，PQ⊥BC，就是，t＝1．如圖9，當(dāng)⊙H與AC相切時(shí)，直徑，半徑等于FC＝4．所以．解得，或t＝0〔如圖10，但是與0＜t＜2矛盾〕．圖7圖8圖9圖10例32023年蘇州市中考第29題如圖1，拋物線〔b是實(shí)數(shù)且b＞2〕與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B〔點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)〕，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．〔1〕點(diǎn)B的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________〔用含b的代數(shù)式表示〕；〔2〕請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；〔3〕請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似〔全等可看作相似的特殊情況〕？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕B的坐標(biāo)為(b,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,)．〔2〕如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．圖2圖3〔3〕由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當(dāng)，即時(shí)，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點(diǎn)Q為()．②如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x＝1交于點(diǎn)Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當(dāng)時(shí)，△BQA∽△QOA．此時(shí)∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點(diǎn)共線．因此，即．解得．此時(shí)Q(1,4)．圖4圖5考點(diǎn)伸展第〔3〕題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而∠QOA與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況．這樣，先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置．如圖中，圓與直線x＝1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB＝4OC矛盾．例42023年黃岡市中考模擬第25題如圖1，拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．〔1〕假設(shè)拋物線C1過點(diǎn)M(2,2)，求實(shí)數(shù)m的值；〔2〕在〔1〕的條件下，求△BCE的面積；〔3〕在〔1〕的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；〔4〕在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕將M(2,2)代入，得．解得m＝4．〔2〕當(dāng)m＝4時(shí)，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．〔3〕如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最?。O(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么．因此．解得．所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為．〔4〕①如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時(shí)，△BCE∽△FBC．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時(shí)，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．考點(diǎn)伸展第〔4〕題也可以這樣求BF的長：在求得點(diǎn)F′、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長．例52023年義烏市中考第24題如圖1，梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O〔0，0〕、A〔2，0〕、B〔6，3〕．〔1〕直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔2〕將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數(shù)式表示x2－x1，并求出當(dāng)S〔3〕在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？假設(shè)存在，請(qǐng)求出t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖2總分值解答〔1〕拋物線的對(duì)稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M〔1，〕．〔2〕梯形O1A1B1C1的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．當(dāng)S=36時(shí)，解得此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為〔6，3〕．〔3〕設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個(gè)公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值．在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時(shí)∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得．圖3圖4考點(diǎn)伸展第〔3〕題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假設(shè)存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3．例62023年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B〔1，0)、C〔0，－2〕三點(diǎn)．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？假設(shè)存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；〔3〕在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．,圖1總分值解答〔1〕因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B〔1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)〔0，－2〕，解得．所以拋物線的解析式為．〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，1〕．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x＞4，，．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．解方程，得不合題意．③如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x＜1，，．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．解方程，得．此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，1〕或或．圖2圖3圖4〔3〕如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．所以．因此．當(dāng)時(shí)，△DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔2，1〕．圖5圖6考點(diǎn)伸展第〔3〕題也可以這樣解：如圖6，過D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△CDN和△ADM的面積．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為〔m，n〕，那么．由于，所以．1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例12023年重慶市中考第25題如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．〔1〕如圖1，假設(shè)點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC＝，求AB、BD的長；〔2〕如圖1，求證：HF＝EF．〔3〕如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？假設(shè)是，請(qǐng)證明；假設(shè)不是，請(qǐng)說明理由．圖1圖2總分值解答〔1〕如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．〔2〕如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因?yàn)辄c(diǎn)F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5〔3〕如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)，得M是AB的中點(diǎn)．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因?yàn)锳E＝，所以FM＝EA．又因?yàn)镃M＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點(diǎn)伸展我們再看幾個(gè)特殊位置時(shí)的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點(diǎn)E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11例22023年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c〔a、b、c是常數(shù)，a≠0〕的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2)．〔1〕求a、b、c的值；〔2〕求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；〔3〕設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1總分值解答〔1〕拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得〔舍去了負(fù)值〕．〔2〕拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交．〔3〕如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時(shí)，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時(shí)x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．③如圖5，當(dāng)NA＝NM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為．圖4圖5考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0,1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例32023年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ＝90°．〔1〕求ED、EC的長；〔2〕假設(shè)BP＝2，求CQ的長；〔3〕記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，假設(shè)△PDF為等腰三角形，求BP的長．圖1備用圖總分值解答〔1〕在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．〔2〕如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時(shí)，PM＝1．此時(shí)．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長線上時(shí)，PM＝5．此時(shí)．所以．〔3〕如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時(shí)，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時(shí)，QN＝CQ－CN＝5－4＝1〔如圖3所示〕．此時(shí)．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時(shí)，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝〔如圖2所示〕．此時(shí)．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因?yàn)椤螪FP≥∠DQP＞∠DPQ〔如圖5，圖6所示〕．圖5圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)△CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．例42023年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．〔1〕求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，假設(shè)存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點(diǎn)C(0,3)，得－3a＝3．解得a所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．〔2〕如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA＋PC最小，△PAC的周長最小．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)．圖2〔3〕點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點(diǎn)伸展第〔3〕題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時(shí)，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時(shí)，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時(shí)，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5例52023年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．〔2〕因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．〔3〕拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線〔如圖2〕．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在此題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么△DOA與△OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點(diǎn)為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．例62023年鹽城市中考第28題如圖1，一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)〔2〕過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l//y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)．令，得．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)．〔2〕①如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6〔舍去〕．如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APR的最大面積為6．因此，當(dāng)t＝2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我們再來討論P(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當(dāng)AP＝AQ時(shí)，解方程，得．如圖6，當(dāng)QP＝QA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當(dāng)PA＝PQ時(shí)，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QP＝QA時(shí)，也可以用來求解．1.3因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例12023年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)C重合〕，聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F，∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G．〔1〕當(dāng)CE＝3時(shí)，求S△CEF∶S△CAF的值；〔2〕設(shè)CE＝x，AE＝y(tǒng)，當(dāng)CG＝2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當(dāng)AC＝5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG，假設(shè)△AEG為直角三角形，求BG的長．圖1總分值解答〔1〕如圖2，由CE//AB，得．由于△CEF與△CAF是同高三角形，所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．〔2〕如圖3，延長AG交射線CD于M．圖2由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．又因?yàn)锳M平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．圖3圖4〔3〕在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如圖4，當(dāng)∠AGE＝90°時(shí)，延長EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中點(diǎn)．所以G是BC的中點(diǎn)，BG＝6．②如圖5，當(dāng)∠AEG＝90°時(shí)，由△CAF∽△EGF，得．由CE//AB，得．所以．又因?yàn)椤螦FG＝∠BFA，所以△AFG∽△BFA．所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．圖5圖6考點(diǎn)伸展第〔3〕題的第②種情況，當(dāng)∠AEG＝90°時(shí)的核心問題是說理GA＝GB．如果用四點(diǎn)共圓，那么很容易．如圖6，由A、C、E、G四點(diǎn)共圓，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，比較麻煩一點(diǎn)的思路還有：如圖7，當(dāng)∠AEG＝90°時(shí)，設(shè)AG的中點(diǎn)為P，那么PC和PE分別是Rt△ACG和Rt△AEG斜邊上的中線，所以PC＝PE＝PA＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如圖8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因?yàn)椤螩PE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．圖7圖8例22023年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)〔其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0〕的圖像與x軸分別交于A、B〔點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C(0,－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分∠〔1〕用含m的式子表示a；〔2〕求證：為定值；〔3〕設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此〔2〕由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)得A(－m,0)，B(3m,0)，F(xiàn)(m,－4)，對(duì)稱軸為直線x＝m所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,a(x＋m)(x－3m))如圖2，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m當(dāng)x＝4m時(shí)，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(所以．圖2圖3〔3〕如圖3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(可知點(diǎn)E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，就是符合條件的點(diǎn)G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長圍成一個(gè)直角三角形．此時(shí)GF′＝4m．所以GO＝3m，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(－考點(diǎn)伸展第〔3〕題中的點(diǎn)G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊．此時(shí)．因此．所以．此時(shí)．例32023年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．〔1〕求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N．試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．〔2〕直線DB的解析式為．由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，可得，．所以MQ＝．當(dāng)MQ＝DC＝8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形．解方程，得m＝4，或m＝0〔舍去〕．此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．所以四邊形CQBM是平行四邊形．圖2圖3〔3〕存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q，分別是(－2,0)，(6,－4)．考點(diǎn)伸展第〔3〕題可以這樣解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．①如圖3，當(dāng)∠DBQ＝90°時(shí)，．所以．解得x＝6．此時(shí)Q(6,－4)．②如圖4，當(dāng)∠BDQ＝90°時(shí)，．所以．解得x＝－2．此時(shí)Q(－2,0)．圖3圖4例42023年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)D為拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)直線l過點(diǎn)E(4,0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．圖1總分值解答〔1〕由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4,0)、B(2,0)．對(duì)稱軸是直線x＝－1．〔2〕△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等．過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D′．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．因?yàn)锳C//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標(biāo)為．圖2圖3〔3〕過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了．聯(lián)結(jié)GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(－4,6)，過M1、E的直線l為．根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是．考點(diǎn)伸展第〔3〕題中的直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)C，因此可以過點(diǎn)C、E求直線l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過點(diǎn)C．例52023年杭州市中考第22題在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(－1,－k)．〔1〕當(dāng)k＝－2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；〔2〕要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；〔3〕設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值．總分值解答〔1〕因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過點(diǎn)A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是．當(dāng)k＝－2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是．〔2〕在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k＜0．當(dāng)k＜0時(shí)，拋物線的開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．拋物線y＝k(x2＋x＋1)＝的對(duì)稱軸是直線．圖1所以當(dāng)k＜0且時(shí)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．〔3〕拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，當(dāng)OQ＝OA＝OB時(shí)，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得〔如圖2〕，〔如圖3〕．圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖4，經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線〔k＞0〕交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因?yàn)锳、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4圖5例62023年浙江省中考第23題設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2，假設(shè)l1⊥l2，垂足為H，那么稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線．〔1〕直線①；②；③；④和點(diǎn)C(0，2)，那么直線_______和_______是點(diǎn)C的直角線〔填序號(hào)即可〕；〔2〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1，過A、P兩點(diǎn)的直線為l2，假設(shè)l1與l2是點(diǎn)P的直角線，求直線l1與l2的解析式．圖1答案〔1〕直線①和③是點(diǎn)C的直角線．〔2〕當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如圖2，當(dāng)OP＝6時(shí)，l1：，l2：y＝－2x＋6．如圖3，當(dāng)OP＝1時(shí)，l1：y＝3x＋1，l2：．圖2圖3例72023年北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2,n)在這條拋物線上．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長PE到點(diǎn)D，使得ED＝PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD〔當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C、D也隨之運(yùn)動(dòng)〕．①當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長；②假設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位〔當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)〕．過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F，延長QF到點(diǎn)M，使得FM＝QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN〔當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、N也隨之運(yùn)動(dòng)〕．假設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．圖1總分值解答(1)因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，所以．解得，〔舍去〕．因此．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔2，4〕．(2)①如圖4，設(shè)OP的長為t，那么PE＝2t，EC＝2t，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3t,2t)．當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，．解得．②如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P、Q重合．此時(shí)3t＝10．解得．如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此時(shí)．解得．如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此時(shí)．解得．圖1圖2圖3例82023年嘉興市中考第24題如圖1，A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，，，．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)．〔1〕求x的取值范圍；〔2〕假設(shè)△ABC為直角三角形，求x的值；〔3〕探究：△ABC的最大面積？圖1總分值解答〔1〕在△ABC中，，，，所以解得．〔2〕①假設(shè)AC為斜邊，那么，即，此方程無實(shí)根．②假設(shè)AB為斜邊，那么，解得，滿足．③假設(shè)BC為斜邊，那么，解得，滿足．因此當(dāng)或時(shí)，△ABC是直角三角形．〔3〕在△ABC中，作于D，設(shè)，△ABC的面積為S，那么．①如圖2，假設(shè)點(diǎn)D在線段AB上，那么．移項(xiàng)，得．兩邊平方，得．整理，得．兩邊平方，得．整理，得所以〔〕．當(dāng)時(shí)〔滿足〕，取最大值，從而S取最大值．圖2圖3②如圖3，假設(shè)點(diǎn)D在線段MA上，那么．同理可得，〔〕．易知此時(shí)．綜合①②得，△ABC的最大面積為．考點(diǎn)伸展第〔3〕題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以防止煩瑣的運(yùn)算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程．整理，得．所以．因此．1.4因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例12023年成都市中考第28題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a〔a＜0〕與x軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．〔1〕直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式〔其中k、b用含a的式子表示〕；〔2〕點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；〔3〕設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？假設(shè)能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由．圖1備用圖總分值解答〔1〕由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a．〔2〕如圖1，過點(diǎn)E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E(x,ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x,ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面積的最大值為．解方程，得．〔3〕A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：①如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD//QP，AD＝QP，對(duì)角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時(shí)P．②如圖3，如果AD為矩形的對(duì)角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時(shí)P．圖1圖2圖3考點(diǎn)伸展第〔3〕題也可以這樣解．設(shè)P(1,n)．①如圖2，當(dāng)AD時(shí)矩形的邊時(shí)，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．將Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如圖3，當(dāng)AD為矩形的對(duì)角線時(shí)，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．例22023年陜西省中考第24題如圖1，拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點(diǎn)．將這條拋物線的頂點(diǎn)記為M，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N．〔1〕求拋物線C的表達(dá)式；〔2〕求點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點(diǎn)記為M′，它的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)記為N′．如果以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1總分值解答〔1〕將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3．〔2〕由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,4)．〔3〕拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時(shí)，以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的四邊形就是平行四邊形．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為16，所以MN邊對(duì)應(yīng)的高NN′＝4．那么以點(diǎn)M、N、M′、N′為頂點(diǎn)的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個(gè)單位得到平行四邊形MNN′M′〔如圖2〕；拋物線C直接向左平移4個(gè)單位得到平行四邊形MNN′M′〔如圖2〕；拋物線C先向右平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位得到平行四邊形MNM′N′〔如圖3〕；拋物線C先向左平移4個(gè)單位，再向下平移8個(gè)單位得到平行四邊形MNM′N′〔如圖3〕．圖2圖3考點(diǎn)伸展此題的拋物線C向右平移m個(gè)單位，兩條拋物線的交點(diǎn)為D，那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖4例32023年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕求tan∠ABO的值；〔3〕過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，假設(shè)四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖1總分值解答〔1〕將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．〔2〕在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．〔3〕直線AB的解析式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時(shí)，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因?yàn)閤＝3在對(duì)稱軸的右側(cè)〔如圖4〕，所以符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔如圖3〕．圖3圖4考點(diǎn)伸展第〔3〕題如果改為：點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．那么求點(diǎn)M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得〔如圖5〕．所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)：，，，．圖5例42023年福州市中考第21題如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD//BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒〔t≥0〕．〔1〕直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；〔2〕是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度〔勻速運(yùn)動(dòng)〕，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；〔3〕如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖2總分值解答〔1〕QB＝8－2t，PD＝．〔2〕如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點(diǎn)P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．圖3在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時(shí)，，即．解得．所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為．〔3〕以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．如圖4，當(dāng)t＝0時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3，0)．如圖5，當(dāng)t＝4時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是PB的中點(diǎn)F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為〔，t〕．體會(huì)證，點(diǎn)M〔，t〕在直線EF上．所以PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長就是線段EF的長，EF＝．圖4圖5圖6考點(diǎn)伸展第〔3〕題求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的中點(diǎn)為(2，2)．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y＝－2x＋6．例52023年煙臺(tái)市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．〔1〕直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；〔2〕過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？〔3〕在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)〔包括邊界〕存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值．圖1總分值解答〔1〕A(1,4)．因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點(diǎn)C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．〔2〕因?yàn)镻E//BC，所以．因此．所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時(shí)，△ACG面積的最大值為1．〔3〕或．考點(diǎn)伸展第〔3〕題的解題思路是這樣的：因?yàn)镕E//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點(diǎn)F關(guān)于PE軸對(duì)稱的點(diǎn)H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時(shí)，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，〔舍去〕．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時(shí)，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，〔舍去〕．圖2圖3例62023年上海市中考第24題平面直角坐標(biāo)系xOy〔如圖1〕，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M．〔1〕求線段AM的長；〔2〕求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；〔3〕如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．圖1總分值解答〔1〕當(dāng)x＝0時(shí)，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖2，因?yàn)镸O＝MA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為．因此．〔2〕因?yàn)閽佄锞€y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．〔3〕如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設(shè)AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，3－2m)．將點(diǎn)C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔2，2〕．圖2圖3考點(diǎn)伸展如果第〔3〕題中，把“四邊形ABCD是菱形〞改為“以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形〞，那么還存在另一種情況：如圖4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．圖4例72023年江西省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．〔1〕請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；〔2〕現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕拋物線c2的表達(dá)式為．〔2〕拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c2：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)也為(－1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為．拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB＝2．拋物線c2向右平移m個(gè)單位長度后，頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時(shí)，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時(shí)，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1〔如圖4〕．考點(diǎn)伸展第〔2〕題②，探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因?yàn)锳B＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．同理△DEN是等邊三角形．當(dāng)四邊形ANEM是矩形時(shí)，B、D兩點(diǎn)重合．因?yàn)槠鹗嘉恢脮r(shí)BD＝2，所以平移的距離m＝1．1.5因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題例12023年河南省中考第23題如圖1，邊長為8的正方形ABCD的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔含端點(diǎn)〕，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F．點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0,6)、(－4,0)，聯(lián)結(jié)PD、PE、DE．〔1〕直接寫出拋物線的解析式；〔2〕小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值．進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值．請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由；〔3〕小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：假設(shè)將“使△PDE的面積為整數(shù)〞的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)〞，那么存在多個(gè)“好點(diǎn)〞，且使△PDE的周長最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)〞．請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)〞的個(gè)數(shù)，并求出△PDE周長最小時(shí)“好點(diǎn)〞的坐標(biāo)．圖1備用圖總分值解答〔1〕拋物線的解析式為．〔2〕小明的判斷正確，對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD－PF＝2．說理如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么PF＝y(tǒng)F－yP＝．而FD2＝，所以FD＝．因此PD－PF＝2為定值．〔3〕“好點(diǎn)〞共有11個(gè)．在△PDE中，DE為定值，因此周長的最小值取決于FD＋PE的最小值．而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，△PDE的周長最小〔如圖2〕．此時(shí)EF⊥x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為－4．所以△PDE周長最小時(shí)，“好點(diǎn)〞P的坐標(biāo)為(－4,6)．圖2圖3考點(diǎn)伸展第〔3〕題的11個(gè)“好點(diǎn)〞是這樣求的：如圖3，聯(lián)結(jié)OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．因?yàn)镾△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以S△PDE＝＝＝．因此S是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝－6．如圖4，當(dāng)－8≤x≤0時(shí)，4≤S≤13．所以面積的值為整數(shù)的個(gè)數(shù)為10．當(dāng)S＝12時(shí)，方程的兩個(gè)解－8,－4都在－8≤x≤0范圍內(nèi)．所以“使△PDE的面積為整數(shù)〞的“好點(diǎn)〞P共有11個(gè)．圖4例22023年昆明市中考第23題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－3〔a≠0〕與x軸交于A(－2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)△PBQ的面積最大，最大面積是多少？〔3〕當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．圖1總分值解答〔1〕因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，所以y＝a(x＋2)(x－4)．所以－8a＝－3．解得．所以拋物線的解析式為．〔2〕如圖2，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸，垂足為H．在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．所以S△PBQ＝．因?yàn)?≤t≤2，所以當(dāng)t＝1時(shí)，△PBQ的面積最大，最大面積是。〔3〕當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，t＝1，此時(shí)P是AB的中點(diǎn)，P(1,0)，BQ＝1。如圖3，因?yàn)椤鱌BC與△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。當(dāng)S△CBK∶S△PBQ＝5∶2時(shí)，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。因?yàn)椤鱌BC與△CBK是同底三角形，所以對(duì)應(yīng)高的比為2∶1。如圖4，過x軸上的點(diǎn)D畫CB的平行線交拋物線于K，那么PB∶DB＝2∶1。因?yàn)辄c(diǎn)K在BC的下方，所以點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．過點(diǎn)K作KE⊥x軸于E．設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為．由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．解得x＝1，或x＝3．所以點(diǎn)K的坐標(biāo)為或．圖2圖3圖4考點(diǎn)伸展第〔3〕題也可以這樣摸索：由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝，得S△CBK＝．如圖5，過點(diǎn)K作x軸的垂線交BC于F．設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為．由于點(diǎn)F在直線BC：上．所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為．所以KF＝．△CBK被KF分割為△CKF和△BKF，他們的高的和為OB＝4．所以S△CBK＝．解得x＝1，或x＝3．圖5例32023年蘇州市中考第29題如圖1，拋物線〔b、c是常數(shù)，且c＜0〕與x軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)．〔1〕b＝______，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_______〔上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示〕；〔2〕連結(jié)BC，過點(diǎn)A作直線AE//BC，與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②假設(shè)△PBC的面積S為正整數(shù)，那么這樣的△PBC共有_____個(gè)．圖1總分值解答〔1〕b＝，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－2c．〔2〕由，設(shè)E．過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．由于OB＝2OC，當(dāng)AE//BC時(shí)，AH＝2EH．所以．因此．所以．當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或〔舍去〕所以拋物線的解析式為．〔3〕①當(dāng)P在BC下方時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F．直線BC的解析式為．設(shè)，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此當(dāng)P在BC下方時(shí)，△PBC的最大值為4．當(dāng)P在BC上方時(shí)，因?yàn)镾△ABC＝5，所以S△PBC＜5．綜上所述，0＜S＜5．②假設(shè)△PBC的面積S為正整數(shù)，那么這樣的△PBC共有11個(gè)．考點(diǎn)伸展點(diǎn)P沿拋物線從A經(jīng)過C到達(dá)B的過程中，△PBC的面積為整數(shù)，依次為〔5〕，4，3，2，1，〔0〕，1，2，3，4，3，2，1，〔0〕．當(dāng)P在BC下方，S＝4時(shí)，點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)的正下方，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．例42023年菏澤市中考第21題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形A′B′O．〔1〕一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；〔3〕在〔2〕的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì)．圖1總分值解答〔1〕△AOB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)分別為(－1,0)、(0,2)．因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A′(－1,0)、B(2,0)，設(shè)解析式為y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以該拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．〔2〕S△A′B′O＝1．如果S四邊形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四邊形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如圖2，作PD⊥OB，垂足為D．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)．圖2圖3圖4〔3〕如圖3，四邊形PB′A′B是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對(duì)角線相等；等腰梯形同以底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過兩底中點(diǎn)的直線．考點(diǎn)伸展第〔2〕題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過程更簡單．．．所以．甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對(duì)稱性直接得到點(diǎn)P：作△A′OB′關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的△BOE，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)．而矩形EB′OD與△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn)P．例52023年河南省中考第23題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、B重合〕，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．〔1〕求a、b及sin∠ACP的值；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為9∶10？假設(shè)存在，直接寫出m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第〔1〕題由于CP//y軸，把∠ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角．2．第〔2〕題中，PD＝PCsin∠ACP，第〔1〕題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比．4．兩個(gè)三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．總分值解答〔1〕設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因?yàn)镻C//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．將A(－2,0)、B(4,3)分別代入y＝ax2＋bx－3，得解得，．〔2〕由，，得．所以．所以PD的最大值為．〔3〕當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝9∶10時(shí)，；當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝10∶9時(shí)，．圖2考點(diǎn)伸展第〔3〕題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比．而，BM＝4－m．①當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝9∶10時(shí)，．解得．②當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝10∶9時(shí)，．解得．例62023年南通市中考第28題如圖1，直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點(diǎn)B(2，1)．過點(diǎn)(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點(diǎn)．〔1〕求m的值及直線l的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；〔3〕是否存在實(shí)數(shù)p，使得S△AMN＝4S△AMP？假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．圖1總分值解答〔1〕因?yàn)辄c(diǎn)B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設(shè)直線l的解析式為，代入點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(2，1)，得解得所以直線l的解析式為．〔2〕由點(diǎn)(p＞1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在直線上x軸的上方．如圖2，當(dāng)y＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知△PMB為等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知△PNA為等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．圖2圖3圖4〔3〕△AMN和△AMP是兩個(gè)同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．當(dāng)S△AMN＝4S△AMP時(shí)，MN＝4MP．①如圖3，當(dāng)M在NP上時(shí)，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或〔此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去〕．此時(shí)．②如圖4，當(dāng)M在NP的延長線上時(shí)，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或〔此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去〕．此時(shí)．考點(diǎn)伸展在此題情景下，△AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔1，2〕，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔3，2〕．情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時(shí)斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．不存在∠ANM＝90°的情況．圖5圖6例72023年廣州市中考第25題如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,1)．點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)〔與端點(diǎn)B、C不重合〕，過點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E．〔1〕記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，假設(shè)矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)翻開幾何畫板文件名“10廣州25”，挈動(dòng)點(diǎn)D由C向B運(yùn)動(dòng)，觀察S隨b變化的函數(shù)圖象，可以體驗(yàn)到，E在OA