多面體的歐拉公式 球

多體歐公：一．重點(diǎn)、難點(diǎn)提示．多面體的概念若個(gè)平面邊形圍成的幾何體叫做多面體．把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．一個(gè)多面體至少有四個(gè)面正多面體每個(gè)面都是有相同邊的正多邊形以個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面叫做正多面體．正多面體分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體共五種，其中正四面、正八面體和正二十面體的各個(gè)面都是全等的正三角形，正六面體又叫做正方體，其各個(gè)面都是全等正方形而正十二面體的各面是全等的正五邊形．歐拉公式如果簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，數(shù)為F，棱數(shù)為，那么V+F-E=2．二．考點(diǎn)指要理解多面體、凸多面體、簡單多面體和正多面體的概念，能運(yùn)用歐拉公式進(jìn)行有關(guān)的判斷和計(jì)算球一．重點(diǎn)、難點(diǎn)提示．球面的概念半以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，半圓的圓心叫做球心．結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球半徑，連結(jié)球面上兩點(diǎn)且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑．球面也可以看作與定(心)的距離等于定(半徑的所有點(diǎn)的集合如果一個(gè)球的球心為O我可以把這個(gè)球記作球O．．球的概念

球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球．．球的截面及其性質(zhì)

用一個(gè)平面截一個(gè)球，截面是圓面，球的截面有如下性質(zhì)：(1)球心與截面圓心的連線垂直于面；(2)球心到截面的距離球的半徑及及截面的半徑r下面的關(guān)系：。．球面上的大圓和小圓球被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截面截得的叫做小圓，地球上的赤道就是一個(gè)大圓，北極圈就是一個(gè)小圓。球面上兩點(diǎn)距離的概念：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長度即經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，叫做點(diǎn)的球面距離。/

球的表面積和體積：若球的半徑為R則它的表面積

；它的體積。二．考點(diǎn)指要理解球的有關(guān)概念和性質(zhì)，掌握球的表面積和體積公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算．例．分子有70個(gè)頂點(diǎn)，以每個(gè)頂點(diǎn)為一端有三條棱，各面是五邊形或六邊．求分子中五邊形70和六邊形的個(gè)數(shù)．思路分析：若有x五邊形和y個(gè)邊形，則簡單多面體的面數(shù)＝x+y．而這個(gè)簡單多體的棱數(shù)量E＝。而，根據(jù)歐拉公式可以求出x和y的．解：設(shè)分中五邊形有個(gè)六邊形有y個(gè)70則＝x+y依題意可知棱數(shù)

E＝

=?！遃=70，∴有70+(x+y)＝

即x+y＝37.∵，有由，得x=12,

且答：在分中有個(gè)五邊形、個(gè)邊形。70例．若一個(gè)簡單多面體的每一個(gè)面都是凸邊形，每一個(gè)頂點(diǎn)上都有條棱。求證：思路分析：

。設(shè)這個(gè)簡單多面體的面數(shù)為F棱數(shù)為E，頂點(diǎn)數(shù)為V則有便可以找到與關(guān)系。

，且。于是根據(jù)歐拉式，證明多體的面數(shù)為，∵每面有邊∵每個(gè)點(diǎn)上有m棱設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V則/

即是這個(gè)多面體的棱數(shù)。即是多面體的棱數(shù)即則，

222∵，∴，∴，222∵

∴

例3晶硼的基本結(jié)構(gòu)單元是由20個(gè)邊三角形組成的正二十面體中每一個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)B原問這個(gè)基本單元是由多少個(gè)B原所組成的？其中含有鍵多少個(gè)？思路分析；由于每一個(gè)面有三條邊，且共有20個(gè)，所以可求得這個(gè)正二十面體的棱數(shù)（即B-B鍵個(gè)數(shù)）。因?yàn)樵跀?shù)，所以由歐拉公式V+F-E=2?？汕蟮庙旤c(diǎn)，即B子的個(gè)數(shù)為。解：∵F=20，∵每個(gè)面是正三邊形，∴棱數(shù)，設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為V，∴V=E-F+2=12即這個(gè)正二十面體共有12個(gè)點(diǎn)條棱。答：晶體硼的基本結(jié)構(gòu)單元由12個(gè)B原組成，共含30B-B鍵例．在半徑等于的內(nèi)有一個(gè)截面，它的面積是49πcm，球心到這個(gè)截面的距．思路分析：由截面的面積求出截面半徑r，根據(jù)截面的性質(zhì)求出球心到截面的距離。解：設(shè)截面半徑為r∵πr

∴設(shè)球心到截面的距離為答：球心到截面的距離是24cm。例．三個(gè)的半徑之比，證：最大球的體積等于其他兩個(gè)球體積和的三倍．思路分:由三個(gè)球的半徑之比等于，設(shè)三個(gè)球半分別為r、2r和3r，則三個(gè)球的體都可以表示有關(guān)的代數(shù)式，然后再研究它們體積的數(shù)量關(guān).解：∵三個(gè)球半徑之比為1:2:3，于是可設(shè)三個(gè)球的半徑分別3r則最大球的體積，他兩個(gè)球的體積之和為。所以最大球的體積等于其他兩個(gè)球的體積之和的三倍。例．軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為cm，求球的體積。思路分析：/

根據(jù)球與圓錐內(nèi)切的關(guān)系，找出球半徑與圓錐的底面半徑以及母線之間的關(guān)系，以便于求出球的徑。解：如圖，作出軸截面，∵是三角形，∴∵

，∴AC=2cm,∵RtΔAOE∽ΔACD,

∴

設(shè)，則，∴，∴，∴。答：球體積等于。例一個(gè)軸截面是正三角形的圓錐形容器中注入高為h的然后將一個(gè)鐵球放入個(gè)圓錐形的容器中，若水面恰好和球面相切，求這個(gè)鐵球的半徑。思路分析：解決問題的關(guān)鍵是找到圓錐的體積等于球體積