二項式定理的應(yīng)用,近似計算或估計

全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時訓(xùn)練匯編（優(yōu)品質(zhì)）近似計算或者估計知識內(nèi)容1．二項定理⑴二項式定理

a

an2

an

b

這個公式表示的定理叫做二項式定理．⑵二項式系數(shù)、二項式的通項0aan2ann叫開，其中的系數(shù)nnnr

1,n式數(shù)的Crn

n

r

叫做二項展開式的通項r

表示，即通項為展開式的第r項Tr

rn

b

r

．⑶二項式展開式的各項冪指數(shù)二項式

的展開式項數(shù)為項各項的冪指數(shù)狀況是各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n．字母a的按降冪排列，從第一項開始次數(shù)由逐減到零，字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直n．⑷幾點注意①通項r

rn

r

是的第r項，這r1,n．②二項式項和的r項Crbar是區(qū)別的用項式n定理時，其中的a和b是能隨便交換的．③注意二項式系數(shù)（

r

）與展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可為負(fù)．④通項公式是式下而言的，如開式的通公式是r

C

r

a

r

（只須把看b代入二項式定理與r

rn

b

r

是不同的在1rr全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時訓(xùn)練匯編（優(yōu)品質(zhì)）里對應(yīng)項的二項式系數(shù)是相等的都是rn

但項的系數(shù)一個是

一個是rn

可看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念．⑤設(shè)，得公式：

r

r

．⑥通項是Tr

n

nb

r

nTr

bnr五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素．⑦當(dāng)不很大，x比小時可以用展開式的前幾項求(1

n

的近似值．2二項式系數(shù)的性質(zhì)⑴楊輝三角形：對于是小的正數(shù)時可直接寫出各項系數(shù)而不去套用二項式定理二項式數(shù)也可以直接用楊輝三角計算．楊輝三角有如下規(guī)律行各數(shù)都是各數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字的和⑵二項式系數(shù)的性質(zhì)：

展開式的二項式系數(shù)是：C

C

，從函數(shù)的角度看r

可以看成是r為變量的函數(shù)f

，其定義域是：

．當(dāng)n時f：這樣我們利楊輝三角6f來助我們研究二項式系數(shù)的性質(zhì)．①對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．事實上，這一性質(zhì)可直接由公式Cmnn

得到．②增減性與最大值如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大．2全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時訓(xùn)練匯編（優(yōu)品質(zhì)）由于展開式各項的二項式系數(shù)順次是

n1

C

n，1

n

1

，．．．，

n

1

，

n

1

，．．．，C

．其中，后一個二項式系數(shù)的分子是前一個二項式系數(shù)的分子乘以逐次減小的數(shù)如nn...）分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，，…）．因為，一個自然數(shù)乘以一個大于的數(shù)變大，而乘以一個小于的則變小，從而當(dāng)k依取1，，，等值時，C

rn

的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了．又因為與首末兩端“等距離”的兩項的式系數(shù)相等，所以二項式系數(shù)增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數(shù)最大的項必在中間．當(dāng)是數(shù)時，n是奇數(shù)，展開式共有項所以展開式有中間一項，并且這一項的二項式系數(shù)最大，最大為

．當(dāng)是數(shù)時，n是偶數(shù)，展開式共有項所以有中間兩項．這兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，最大為

C

．③二項式系數(shù)的和為2

，即

r

．④奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C