2022年中考數(shù)學專題復習：二次函數(shù)綜合題（角度問題）

2022年中考數(shù)學專題復習：二次函數(shù)綜合題(角度問題)

1.如圖，拋物線產(chǎn)加+灰-3與x軸交于A(-1,0),8(3,0)兩點，與＞軸交于點C,

(1)求拋物線的解析式.

(2)點N是y軸負半軸上的一點，且。7=血，點。在對稱軸右側的拋物線上運動，連

接Q。，Q。與拋物線的對稱軸交于點"，連接MN,當MN平分NOMZ)時，求點〃

的坐標.

(3)直線BC交對稱軸于點E,尸是坐標平面內一點，請直接寫出APCE與全等

時點P的坐標.

2.如圖1,已知拋物線丫=以2+法+36,與x軸交于點A(-2,0),點8(6,0)與y軸交

于點C,拋物線的頂點為M,其對稱軸與x軸交于。點.

(1)拋物線解析式為，頂點M的坐標為

(2)判斷AMAB的形狀，并說明理曲;

(3)如圖2,點尸是線段MQ上的一個動點(點尸與點〃、點。不重合)，連結B4、

PB,過點B作8DLAP,射線8Z)交射線AP于點。，交拋物線于點E;過點E作

EFLAB,垂足為點F,EF交射線3P于點G.

①當經(jīng)尸時，請求出此時點P的坐標；

BF

②當NAP3=135。時，請你直接寫出"的值.

3.如圖，已知拋物線工浸+燈+c經(jīng)過4-1,0),5(2,0)8(0,2)三點，點。在該拋物

線的對稱軸/上.

(1)求拋物線的表達式；

(2)若D4=DC,求/AOC的度數(shù)及點。的坐標；

(3)若在(2)的條件下，點尸在該拋物線上，當NP3C=NZMB時，請直接給出點P的

坐標.

4.如圖1,二次函數(shù)y=ax2+/jx+c的圖象交x軸于點A(-1,0),B(3,0),交)，軸

于點C(0,-3),直線/經(jīng)過點8.

圖3圖4

(1)求二次函數(shù)的表達式和頂點。的坐標;

(2)如圖2,當直線/過點力時，求ABC。的面積；

(3)如圖3,直線/與拋物線有另一個交點E,且點E使得NBAC-NCBE>45。，求點E

的橫坐標機的取值范圍；

(4)如圖4,動點F在直線/上，作/CFG=45。，F(xiàn)G與線段A8交于點G,連接CG,

當△A8C與△CFG相似，且LCFG最小時，在直線/上是否存在一點”，使得NF/7G

=45。存在，請求出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

5.如圖，拋物線尸漏+(蘇+3卜-(6〃7+9)與x軸交于點4、B,與y軸交于點C,

己知8(3,0).

(1)求〃?的值和直線BC對應的函數(shù)表達式；

(2)P為拋物線上一點，若SgBC=SA^c，請直接寫出點尸的坐標；

(3)。為拋物線上一點，若ZACQ=45。，求點。的坐標.

6.拋物線y=-；x2+bx+c交x軸于A,B兩點(A在B的左邊)，交V軸于C,直線

y=-x+4經(jīng)過B,C兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,P為直線BC上方的拋物線上一點尸。〃》軸交8c于。點，過點。作

。￡_14(7于￡點.設機=尸。+冬。￡,求加的最大值及此時戶點坐標；

(3)如圖2,點N在曠軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋

物線上點"處，且NAMW+NACN=180。，求N點坐標.

圖1圖2

A

7.已知直線丁=一43+〃交x軸于點4,交y軸于點C(0,4),拋物線y=工/+笈+。經(jīng)

過點A,交y軸于點8(0,-2),點尸為拋物線上一個動點，設尸的橫坐標為

0),過點P作x軸的垂線PD,過點B作于點。，聯(lián)結P艮

(1)求拋物線的解析式；

(2)當ABOP為等腰直角三角形時，求線段P。的長；

(3)將ABOP繞點B旋轉得到△B0P,且旋轉角NP8〃=/0AC,當點P對應點P'落

在y軸上時，求點P的坐標.

8.如圖1,已知直線y=-gx+l與x軸交于點8,與y軸交于點A,將直線48向下

平移，分別與x軸、y軸交于。、C兩點，且OC=Q4,以點B為頂點的拋物線經(jīng)過點

A,點M是線段AB(不含端點)上的一個動點.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,Mi,M2分別是點M關于直線CA,C8的對稱點，連接CMi,CM2,

M1M2,求證：ACMiM2s△CDB；

(3)如圖2,作分別交拋物線和直線CO于P,E兩點.點。是QE上一動

點，當線段PE長最小且NEPQ=/C￡>。時，求點。的坐標.

9.如圖1,已知拋物線y=x2-l與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點￡>.

(1)求直線的解析式；

(2)尸為拋物線上一點，當點P到直線2。的距離為20時，求點P的坐標；

(3)如圖2,直線>=，交拋物線與M,N兩點，C為拋物線上一點，當NMCN=90。

時，請?zhí)骄奎cC到MN的距離是否為定值.

圖1圖2

10.在平面直角坐標系中，拋物線＞=：/+云+。經(jīng)過點4-4,0),點"為拋物線的

頂點，點B在y軸上，且。4=03,直線AB與拋物線在第一象限交于點c(2,6),如

圖.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求直線AB的函數(shù)解析式、點拉的坐標和NA8。的余弦值.

(3)連接OC,若過點0的直線交線段AC于點P,將△AOC的面積分成1:2的兩部

分，求點P的坐標為.

11.如圖1,拋物線)'=依2+樂+6與X軸交于點A(2,0)B(6,0),與y軸交于點

C,連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求N4CB的正切值；

(3)如圖2,過點C的直線交拋物線于點。，若448=45。，求點。的坐標.

12.已知：拋物線丫=4f+2交x軸于A(-1,0),8兩點

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點C是第二象限拋物線上的一個動點，連接AC,BC,設點C的橫坐標

為1,AA8C的面積為S,求S與r之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量f的取值范

圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點O在第一象限，連接AD,BD,且AT＞=Afi,在

A￡)的上方作㈤=AE分別交BO的延長線，y軸于點E,F,連接￡)尸，

且ZAFO=3FE,8c交AOF點G,若點G是A￡＞的中點，求S的值.

13.綜合與探究

如圖，拋物線)，=-/+區(qū)+,經(jīng)過A(TO),。(3,4)兩點，直線AO與丁軸交于點

。.點尸(加,〃)是直線A￡＞上方拋物線上的一個動點，過點P作PF_Lx軸，垂足為

F,并且交直線AD于點E.

(1)請直接寫出拋物線與直線AZ)的函數(shù)關系表達式；

(2)當CP/AD時，求出點P的坐標；

(3)是否存在點尸，ZCPE=NQFE?若存在，求出加的值；若不存在，請說明理

由.

14.如圖，己知點A（-1,O）,8（3,0）,。（0,1）在拋物線、=辦2+法+0上.

（1）求拋物線解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上求一點尸，使APBC的面積為1；

（3）若點〃是拋物線對稱軸上一動點，當|AM-Q0|的值最大時，求M點的坐標;

（4）在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點Q,使N80C=NB4C?若存

在，求出。點坐標；若不存在，說明理由.

15.如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1,4）,且經(jīng)過點N（2,3）,與工軸交于

A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C.拋物線的對稱軸與x軸交于點

E,點P在對稱軸上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線CM與x軸交于點D,若ZDME=，APE,求點P的坐標；

（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P,使NANB=2-APE?若存在，求出點P的坐

標；若不存在，請說明理由.

16.拋物線y=/+云+c與x軸交于點A和B（點A在點B的左側），與y軸負半軸

交于點C,08=OC,點。（2,—3）在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點打!加,如7+1)(n為任意實數(shù))，當m變化時，點P在直線1上運動，若點

A,D到直線1的距離相等，求k的值；

(3)M為拋物線在第二象限內一動點，若NAA">45。，求點M的橫坐標與的取值

范圍.

17.已知，如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x+2與x軸交于點A,與y軸交

于點B,拋物線y=-gx2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C.

(1)直接寫出點A和點B的坐標

(2)求拋物線的解析式

(3)D為直線AB上方拋物線上一動點

①連接DO交AB于點E,若DE：0E=3：4,求點D的坐標

②是否存在點D,使得NDBA的度數(shù)恰好是NBAC的2倍，如果存在，求點D的坐

標，如果不存在，請說明理由.

缶用圖

18.如圖，拋物線^="-2奴+'與x軸交于點A(-2,0)和B兩點，點C(6,4)在拋物

線上.

(1)直接寫出B點坐標：,拋物線解析式為

(一般式);

(2)如圖1,。為y軸左側拋物線上一點，且NDC4=2NC4B,求點。的坐標；

(3)如圖2,直線N=〃a+"與拋物線交于點E、F,連接CE、CT分別交y軸于點

M.N,若OM-ON=3,求證：直線EF經(jīng)過定點，并求出這個定點的坐標.

19.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y=x2+fer+c(c<0)的頂點為A,

且與y軸的交點為B,過點B作5C//X軸交拋物線于點C(-4,-4),在CB延長線上取

點D,使=連接OC,OD,AC和AD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)試判斷四邊形ADOC的形狀，并說明理由；

(3)試探究在拋物線上是否存在點P,使得NPOC=45。.若存在，請求出符合條件

的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

20.已知拋物線過點A(-4,0),頂點坐標為C(-2,-1).

(1)求這個拋物線的解析式.

(2)點B在拋物線上，且B點的橫坐標為-1,點P在x軸上方拋物線上一點，且

NPAB=45。，求點P的坐標.

(3)點M在x軸下方拋物線上一點，點M、N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于

點D.連結MD交兩坐標軸于E、F點.求證：OE=OF.

參考答案:

1.(1)M(1，D或%(I)

(2)y=x2-2x-3

(3)R(-3,Y)或旦(-1,-6)或Q(2,I)或《(4,-1).

【解析】

【分析】

(1)用待定系數(shù)法，直接將48代入解析式即可求解；

(2)由MN平分NO〃。，MZ)平行ON即可求出QM=QN=V5,繼而得出M點坐標；

(3)由4C,。三點的坐標可得AACD三邊長，由CE坐標可得APCE和A4CD中

CD=CE,則另兩組邊對應相等即可，設P點坐標為(x,y)；利用兩點間距離公式即列方程

求解.

(1)

解：?.?拋物線丫=奴2+灰-3經(jīng)過8(3,0)兩點，

a-h-3=0

9a+3b—3=0

拋物線的解析式為：y=/-2x-3.

⑵

解：如圖1,設對稱軸與X軸交于點H,

MB

答案第1頁，共56頁

???MV平分NOMD,

:.ZOMN=QMN,

又:DMIION,

:.ADMN=ZMNO,

:./MNO=NOMN,

OM=ON=叵.

???拋物線解析式為y=d-2x—3=(X-1)2—4,

拋物線對稱軸為直線x=1,

在Rt\OHM中，4JHM=90°,0/7=1.

HM=y/OM2-OH2=J(揚-I=1,

；歷式1,-1).

(3)

解：由題意可知：4-1,0),0(0,-3),D(l,-4),

AC=7(-l-O)2+(O+3)2=Vio，

AD=7(-l-D2+(0+4)2=2>/5,

CD=7(0-l)2+(-3+4)2=V2，

???直線BC經(jīng)過8(3,0),C(0,-3),

二直線BC解析式為y=x—3,

,??拋物線對稱軸為x=l,而直線8c交對稱軸于點E,

；.￡坐標為(1,-2)；

CE=7(0-1)2+(-2+3)2=V2,

設尸點坐標為(x,y),

則C產(chǎn)=(x-0f+(y+3)2,

貝IJE產(chǎn)=(x-l)2+(y+2>,

■.CE=CD,若APCE與AACD全等，有兩種情況，

當尸C=AC,PE=AD,B|jAPCEsAACD.

答案第2頁，共56頁

.j(x-0)2+(y+3)2=10

"|(x-l)2+(y+2)2=20*

Aj=-3x,=-1

解得:

>1=_4'>2=-6

即尸點坐標為6(-3,-4),々(-1,-6).

當PC=AD,PE=AC,g|JAPCEsAACD.

f(x-0)2+(y+3)2=20

'[(x-l)2+(y+2)2=10，

即P點坐標為1(2,1),學4-1).

故若APCE與AACD全等，P點有四個，坐標為率-3,T),鳥(-1,-6),6(2,1),乙(4,-1).

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合.要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形

結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

2.⑴y=-乎/+也%+3>/^,倒，46)；

(2)AMAB為等邊三角形，理由詳見解析；

【解析】

【分析】

(1)把A、B坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；求解頂點坐標直接代入頂點坐標公式即

可.

(2)點M在函數(shù)對稱軸上，故tan/M4Q=絲&=迪=6,即/M4Q=60。，即

AQ4

可得到△MA5的形狀.

(3)①△A3。名WEB尸時，BF=BD,即點E在點M重合，即可求解：②如下圖，設

答案第3頁，共56頁

_a

PD=a,則8D=a,PB=J^“=AP,在四△A3。中，tana="廠=應-1,分別計算GF、

a+>j2a

E尸的長度即可求解.

(1)

把點A、B坐標代入二次函數(shù)表達式得,

0=40-26+3石

0=36〃+6b+3石

解得"4

b=5/3

???二次函數(shù)表達式為：y=-@f+Gx+36.

4

頂點M坐標：X=--^-=2,y=4aC~b=4^/3

2a'4a

⑵

△MAB為等邊三角形.

理由如下：在對稱軸上，

：.MA=MB,tanZMAg=^-=：-Ji

AQ4

ZMAQ=60°

...△M48為等邊三角形.

(3)

①△AB。絲CEBF時，BF=BD,即點E在點”重合,

止匕時，AP在MB的中垂線上，則/%。=30。，

貝|JPQ=AQ“an3(r=(2+2)*￥=^,

即點心,明

②設44Q=a,則NPBQ=a,ZFEB=a

VZAPB=135°,貝lJ/OPB=45°,

設尸。=。，則BD=a,PB=0〃=AP，

答案第4頁，共56頁

SRtAABD,tana="廠=啦-1

a+\J2a

在RtAGBF中，GF=BF.tana

BF

在中，EF=-------,

tana

EG=EF-GF=BF(———tana)=2,

tana

BF1

n即iI——=-.

EG2

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，涉及到三角形全等、解直角三角形等知識點，綜合程度

較高.

3.(1)y=-x2+x+2

⑵乙M>C=90。，點。的坐標為

⑶點尸的坐標為(1,2)或\;

【解析】

【分析】

(1)由A、B、C的坐標，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)拋物線的對稱軸x=；,設點。的坐標為(；,，")，由D4=DC,利用兩點距離

公式列方程求得m,再由△D4c的三邊關系計算NCD4即可；

(3)點尸的位置有兩種情形，分別在直線8c的上方和下方：①當點P在直線BC的上方

時，由N《BA=NC4B,根據(jù)拋物線的對稱性片和C關于對稱軸/對稱，即可解答；②當點

P在直線BC的下方時，根據(jù)BC_Ly軸，得△CE8絲△CP/8(ASA),則CE=CP/,求得E

點坐標，再與B點坐標得出直線8E的表達式；進而與拋物線聯(lián)立求得P2坐標；

(1)

解：：拋物線y=a%2+bx+c經(jīng)過A(-LO),8(2,0),C(0,2)三點,

。一〃+c=0a=-\

<4。+25+c=0,解得：b=T,

c=2c=2

答案第5頁，共56頁

.?.拋物線的表達式為y=-丁+X+2.

(2)

解：拋物線的對稱軸/為x=g,設點。的坐標為

VA(-l,0),3(2,0),C(0,2),

由兩點距離公式可得：

DA2=-+m2,DC2=-+(m-2]2,AC2=5,

44

1

z2

+/2=-+(m-1

VDA=DC,則Z)A2=OC2,T?4\—

解得：即o(g,|),

，DAr=~,DC2=-,

22

,?DA2+DC2=AC-,：.ZADC=90°；

⑶

解：如圖：點尸在直線BC的上方時，記為《，點P在直線3c的下方時，記為鳥，拋物線

對稱軸為/,與x軸交于點E,連接AC,

①當點P在直線8c的上方時，

VZP,BC=ZDAB,又NC4D=ZABC=45。，N[8A=NCAB,

：A和B關于對稱軸/對稱，.?.直線[B和C4關于對稱軸/對稱，

又P,和C均在拋物線上，...A和C關于對稱軸I對稱，

答案第6頁，共56頁

vc(o,2),對稱軸/為X=<的坐標為(1,2)；

②當點P在直線BC的下方時，

,/P/C_Ly軸，則NECB=NPiCB=45。,

'：ZEBC=ZPiBC,BC=BC,

：.^CEB^/\CP,B(ASA),：.CE=CPi,

R的坐標為(1,2),.?.€：￡=C6=l,又0C=2,的坐標為(0,1),

???8(2,0),.?.直線26的表達式為y=-gx+l,

則由,y=~2X+i,解得鳥的坐標為';(另一點為8),

y=-x2+x+2'J

綜上所述點P的坐標為(1,2)或(-；,：).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質，軸對稱的性質，勾股定理及其逆定理，一次函數(shù)與二次函數(shù)

的綜合，此題綜合性強難度大，結合對稱的性質求二次函數(shù)與直線的交點是解題關鍵.

4.(1)二次函數(shù)的表達式為y=/-2x-3,頂點。的坐標為(1,-4)

(2)2

⑶-|<m<2

(4)存在，點77的坐標為：弓，g)或)

【解析】

【分析】

(1)運用待定系數(shù)法和配方法即可求得答案；

(2)先運用待定系數(shù)法求得直線/的解析式為y=2x-6,進而可得M(0,-6),CM=

3,OM=6,0c=3,OB=3,再運用-Sz1ABe-S.CDW,即可求得答

案；

(3)如圖3,連接AC,在y軸上取點N(0,-9),連接3N交拋物線于點E,過點C作

d〃x軸交2N于點L在線段OC上截取CK=CL,連接BK交拋物線于點E",先證明

△AOC^/XBON,推出/BAC-/CBN=/O8C=45。，再運用待定系數(shù)法求得直線BN的

解析式為y=3x-9,通過聯(lián)立方程組求得E，(2,-3)；再運用待定系數(shù)法求得直線BK的

答案第7頁，共56頁

解析式為y=gx-l,通過聯(lián)立方程組可求得E"(-：，-y)；再根據(jù)N84C-NC8E>

45°,即可得出答案；

(4)過G作6/?_1_直線/于R,過，作〃TJ_x軸于T,過尸作FW_Lx軸于W,如圖4,分

兩種情況：①當△ABCs/\GFC時，②當△ASCsaCFG時，分別利用相似三角形的判定

和性質以及解直角三角形即可求得點H的坐標.

(1)

解：看，?.?二次函數(shù)y=ox2+fer+c的圖象交工軸于點A(-1,0),8(3,0),

???設y=。(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入,

得：-3=〃(0+1)(0-3),

解得：。=1,

.\y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,

???二次函數(shù)的表達式為y=N-2x-3,頂點。的坐標為(1,-4)；

(2)

解：設直線/交)，軸于點M,如圖2,

設直線/的解析式為y=H+d,把8(3,0),。(1,-4)代入，

「3女+d=0

得：7,一

\k+d=-4

圖2

工直線/的解析式為y=2x-6,

令x=0,得＞=-6,

：.M(0,-6),

CM=3,OM=6,OC=3,03=3,

答案第8頁，共56頁

:.SABCD=SAOBM-SAOBC-SACDM=；X3X6-；x3x3-|x3xl=2；

(3)

解:'：B(3,0),C(0,-3),NBOC=90°,

；.OB=OC=3,

：.NOBC=NBCO=45。,

如圖3,連接AC,在y軸上取點N(0,-9),連接BN交拋物線于點E,過點C作C乙〃x

軸交8N于點L,

在線段OC上截取CK=C3連接BK交拋物線于點E",

..OA\OB31

?~OC~3，~ON~9~3,

.OAOB

"''OC~ON

,/NAOC=NBON=90°,

：.△AOCS^BON,

：./Q4C=NOBN,即NBAC=NOBN,

：.ABAC-NCBN=NOBC=45°,

設直線8N的解析式為把8(3,0),N(0,-9)代入，得:

J3e+f=0

If=-9'

e=3

解得:

/=-9

直線BN的解析式為y=3x-9,

y=3x-9

聯(lián)立方程組，得:

y=x2-2x-3

答案第9頁，共56頁

[I或廣

解得:〔產(chǎn)一3[y=Q

???￡(2,-3)；

TCL〃工軸，

???點L的縱坐標為-3,

A3x-9=-3,

解得:x=2,

：.L(2,-3),

???CL=2,

???CK=2

：.K(0,-1),

設直線3K的解析式為把3(3,0),K(0,-1)代入，得:

\3m+n=0

[n=-\'

1

,,m=一

解得：3,

，直線BK的解析式為y=gx-1,

1,

y=—x—1

聯(lián)立方程組，得：’3

y=X2-2x-3

2

x=——

fx=33

解得：八或<

[y=0

?尸，，(二_u

39

?.?CL〃x軸，

???ZBCL=ZOBC=450=ZBCK,

在△BCL和△BCK中，

CL=CK

<ZBCL=/BCE,

BC=BC

:?△BCLQABCK(SAS),

答案第10頁，共56頁

...ZCBK=ZCBE,即ZCBK=ZCBN,

"：ABAC-NCBN=ZOBC=45°,

：.ABAC-NCBK=45。，

VABAC-ZCBE>45°,

2

.??點E的橫坐標m的取值范圍為〈機<2；

(4)

解：過G作6/?1_直線/于R,過，作〃7;Lx軸于T,過產(chǎn)作FWJLx軸于W,如圖4,

VA(-1,0),B(3,0),C(0,-3),

.".AC=V10>AB=4,BC=3五,ZABC—45°,

NCFG=45。，△CFG相似，

AZABC=ZCFG,點尸對應點8,邊AC對應邊CG,

,；SaC尸G最小，且△CFG與△ABC相似，形狀不變，

，邊CG最小，即CGLx軸,G與。重合，CG=CO=3,

分兩種情況：

AQ,ABBC

①當△ABCS/XGFC時，——

CG~~FG~~CF

.V1043>/2

??-----------=-----f

3FGCF

：.FG=^^-,CF=越，

55

設廠(”，〃)，而G(0,0),C(0,-3),

機2+〃2=(縉)2

m2+(〃+3)2=(^^-)2

|18

m=—

解得：:，

6

n=——

5

令,ow=MFW=g,

，5W=0W-08=|,

答案第II頁，共56頁

6

FW7

為△8尸W中，tan/F8W=——=-f

BW3

5

RSGRB中，tan/G3R=tan/FBW=2,BPGR=2BR,

：.cosZGBR=苴,sinNGBR=巫,

55

又BG=3,

.*.BR=述，G/?=—

55

NFHG=45°,GR_L直線/于凡

：.HR=GR=^-,

5

:.BH=HR+BR=^~,

5

RSB”T中，tan/GBR=2,cos/GBR=叵,sinZGB/?=—,

55

；.BT=BH,@=2,HT=BH?—=—,

5555

：.GT=GB-BT=-,

5

.?,618.

??nk—,—）,

55

②當△ABCs/\c尸G時，一=—=—

ABBCAC

.CFFG3

**V-372"^To

...CF=述，F(xiàn)G=述，

55

i?o

設/（s,r）,方法同①可得/（￡,-1）,

39

：.BW=-FW=-

5f5f

???tanNFBW=3,

ois

同①方法可得y）,

綜上所述，點H的坐標為：（（，y）或（（，y））.

答案第12頁，共56頁

圖4

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象和性質，二次

函數(shù)的圖象和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形面積，

三角函數(shù)等綜合知識，題目難度大，解題的關鍵是畫出圖形，確定〃坐標，熟練運用三角

函數(shù)求線段長

5.(1)，I,y=x-3,⑵「(2』)，尸(三普，士普)，,乎,三叵|；

(3)Q

【解析】

【分析】

(1)求出A,8的坐標，用待定系數(shù)法計算即可;

(2)做點A關于BC的平行線聯(lián)立直線A＜與拋物線的表達式可求出々的坐標，設

出直線4片與y軸的交點為G,將直線8C向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直

線AH，聯(lián)立方程組即可求出P；

(3)取點Q,連接CQ,過點A作ACCQ于點。，過點。作OFJ_x軸于點尸，過點C

作CEJ?用于點E,得直線對應的表達式為y=gx-3,即可求出結果；

【詳解】

(1)將5(3,0)代入丁=如2+(＞+3)x-(6/H+9),

化簡得加2+6=0,則機=0(舍)或m=-1,

/.m=—{,

得：＞=-/+4了-3,則C(0,-3).

設直線BC對應的函數(shù)表達式為了=丘+力，

答案第13頁，共56頁

將8(3,0)、。(0,-3)代入可得7',解得％=1,

—j=b

則直線對應的函數(shù)表達式為y=x-3.

(2)如圖，過點A作A《〃BC,設直線與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC

個單位，得到直線A2，

...直線AG的表達式為y=x-l,

聯(lián)立U一3，

解得：\X=\(舍)，或1=；,

[y=0[y=i

：.4(2,1),

由直線AG的表達式可得G(-1,0),

AGC=2,CH=2,

直線3的表達式為y=x—5,

答案第14頁，共56頁

y=x-5

聯(lián)立

y=-12+4X-3’

3+歷3-V17

x,=---------

22

解得:

-7+717,-7-717'

x=---------

(3+717-73-V17-7-Vn'

:不，巴

2I22

'3+而-7+V173-V17-7-Vn'

/.P(2,l),P,P

22I22

(3)如圖,取點Q,連接c。，過點A作AO_LC。于點。,

過點。作DF，x軸于點尸，過點C作CELDF于點E,

?.,ZACQ=45°,

:,AD=CD,

又???NADC=90。，

???ZADF+ZCDE=90°,

■:ZCDE+ZDCE=90°f

ZDCE=ZADF,

又「Z￡=ZAf7)=90°,

/.\CDE^^DAF,則AF=￡＞石，CE=DF.

設。E=Ab=a,

VOA=1,OF=CE,

答案第15頁，共56頁

CE=DF=a+\.

由OC=3,則OF=3-a,即a+l=3-a,解之得，a=l.

所以3(2,-2),又C(0,-3),

可得直線CD對應的表達式為y=；x-3,

設小-3)'代入y=_x2+4x—3,

?17

得一機-3=一m2+4加-3,—m=—nr+4m,nr——m=0,

222

又〃2H0,則，7?=g.所以

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結合一元二次方程求解是解題的關鍵.

6.(1)y=~x2+^+4(2)加最大值是3,此時尸(3,2)(3)N(0,一

【解析】

【分析】

(1)由直線y=-x+4經(jīng)過B,C兩點，先求出點8,C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出

拋物線的解析式；

(2)根據(jù)表達式”?=P。+與?！?設出。點的坐標和P點的坐標，用含f的代數(shù)式分別表

達出線段P￡>、DE,轉化成m關于，的二次函數(shù)，再求出加的最大值及P點坐標；

(3)根據(jù)條件N/WM+NACM=180。，且AN=MN,利用三角形的全等去確定滿足條件

的M、N點，再根據(jù)函數(shù)解析式求出坐標即可.

【詳解】

解：(1)?.?直線y=r+4經(jīng)過B,C兩點，當x=0時，y=4；當y=0,x=4；

.?.B(4,0),C(0,4),

:點、B,C在拋物線y=-gx2+/?x+c上,

[16八

----+4/7+c=0

.,.<3,

c=4

b=-

3,

c=4

答案第16頁，共56頁

11,

y=——x~2+—x+4；

33

(2)如圖1,連接AO,延長產(chǎn)。交x軸于“，

?1,PDUy軸，

.?.P”_Lx軸，

圖1

設￡>(f,T+4),+

PD=--r2+-z+4-(-/+4)=--r2+—r,

33'’33

S&ABC=^AADC+^/\ADB，

且A(—3,0),8(4,0),C(0,4),

x7x4=—AC.￡>￡+|x7x(-z+4),

22

VAC=V32+42=5>

:.DE=-t,

-.?m=PD+—DE,

21

.?…+2」5+3,

3321533V)

.?.當t=3時，〃，有最大值是3,此時P(3,2)；

(3)如圖2,過N作NFLUC,交MC于點P,過N點作NG_LAC,交C4的延長線于

點G,

答案第17頁，共56頁

圖2

則ZAGN=NCBV=NM/W=90。,

??.ZACF+ZGNF=180°,

由旋轉得:AN=MN,

???NAMW+NACW=18（）。，

?.NGNF=ZANM,

:.ZANG=ZMNF,

?;ZAGN=4MFN=哪,

:./\AGN=/\MFN（AAS）,

:.NG=NF,

二.NC平分ZACM

設直線CM交x軸于點K,

?.?CO±ABf

,\OK=OA=3f

??.K（3,0）,

4

.tCK的解析式為：y=--x+4,

x+4=--x2-F-X+4,

333

解得：X=0,x2=5f

???M（5圄，

答案第18頁，共56頁

設N(O,y),

,/AN=MN,

???由勾股定理得，(-3)2+/=52+fy+|

13

解得y=-§，

【點睛】

本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖像與性質、

等腰三角形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，數(shù)形結合、熟練掌握相關性質及

定理是解題的關鍵.

7.（I）y=3-1x-2；（2）；或3；⑶P（F，r或（J一槳）

【解析】

【分析】

（1）用點C，求一次函數(shù)解析式，再求點4的坐標，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即

可；

24

（2）設點尸的橫坐標為，小可得P（機，DCm,-2）,根據(jù)△BP。為等腰

24

直角三角形，則PD=BD；分兩種情況：①當點尸在直線的上方時，PD=-m2--m,

24

列方程求解即可；②當點P在直線8。的下方時，m>0,BD=m,PD=--nr+-m,列方

33

程求解即可；

4

（3）由NP3戶=NOAC,04=3,0C=4；可得AO5,繼而可得sin/P3P=不，

3

f

cosZPBP=-f然后根據(jù)順時針與逆時針旋轉使點P，落在y軸上，構造直角三角形，利用

銳角三角函數(shù)求解即可.

【詳解】

4

解：（1）由直線y=與x+〃過點C（0,4）,

得72=4,

4

???直線廣一鏟+4,

答案第19頁，共56頁

4

當尸0時，0=-鏟+4,解得戶3,

???A(3,0),

2

???拋物線〉=§—+法+，經(jīng)過點A(3,0),B(0,-2),

.[6+3〃+c=0

[c=—2

解得3,

（2）由題意設P（帆，gm2-gm-2）,D（加，-2）,

若為等腰直角三角形，貝l」PZ>8D,

2

①當點P在直線8。的上方時，PD=^m-mf

???加>0,???點尸在y軸的右側，BD=m,

.224

?,一m~——m-m,

33

7

解得m尸。(舍去)，加2=5,

24

②當點P在直線8。的下方時，m>0,BD=m,PD=--/n2,

.24

??——m2+一二機,

33

解得加尸0（舍去），機2=g,

答案第20頁，共56頁

???當ABPO為等腰直角三角形時，尸。的長為|■或《；

(3)?:NPBP=NOAC,0A=3,0C=4,

43

：.AC=5,sinZPBP'=sinZOAC=-,cosNPBP'=±,

55

當點〃落在y軸上時，如圖，過點?0作Z/VLx軸交BZ)于點M,過點P'作軸，

交的延長線于點N,

???逆時針旋轉，

:.ADBD="BP,PD=PD,BD=BD',

；NBD'M+NP'D'N=180°-NBD'P'=90°,ZD'BM+ZBD'M^90°,

：.ZP'D'N=ZD'BM,

：.ZDBD'=ZND'P1=ZPBP,

2.24,

/.P'D=PD=-m——m,BD=BD=xP=m9

33

在RtAPND中，P'N=P'D'.sinNN0尸=*|/-g機)，

3

在RtABMD，中，BM=BD'-cosZDBD'^^m,

'：PN=BM,

4243

即：一x(-iT?--in)--m,

5335

25

解得：m=—^m=O(舍去)，

o

2511

將，〃==代入拋物線得：y=E，

o32

答案第21頁，共56頁

當點P'落在y軸上時，如圖，過點屏作DM_Lx軸交3。于點M,過點P作pR_Ly軸,

交MD的延長線于點M

:順時針旋轉

:.ADBD'=APBP,PU=PD,BD=BD',

NBD'M+NP'D'N=1800-NBDP=90。,/DBM+/BD，M=9。。,

：.4P'D'N=/D'BM,

：.ADBD'=Z/VD'P=/PBP,

42

/.P'D'=PD--m——rrT,BD=BD'=x=m,

33p

在用△P'M7中，PN=PO'?sinNN￡>'P'=1(gm-|m2),

3

在Rt/\BMD'中，BM=BD'-cosZDBD'=^m,

'：PN=BM,

即：

5(33)5

7

解得：根=d或%=0(舍去)，

o

將機=/7代入拋物線得：y=-25會5，

X96

答案第22頁，共56頁

，當點尸對應點P'落在y軸上時，點尸的坐標(2二5，三11)或(7(，-冬255).

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)的性質，圖形旋轉，解直角三角形的應用等

知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵，注意數(shù)形結合思想的運用.

8.(1)尸"1一x+1；(2)證明見解析；⑶(113,―25)或(35，23

【解析】

【分析】

(1)利用直線與坐標軸的交點，確定48的坐標，根據(jù)點8為拋物線的頂點，設出解析式

求解即可;

(2)利用對稱的性質，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似判斷即可；

(3)設點p的坐標，用點P的橫坐標表示PE,轉化為二次函數(shù)的最值，后根據(jù)等角的正切

值相等，分