2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬（浙江卷）試題 數(shù)學(xué)【解析版】

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬(浙江卷)試題數(shù)學(xué)【解

析版】

參考公式：

若事件A,B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)柱體的體積公式v=s/?

若事件A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)尸(8)其中S表示柱體的底面積，/?表示柱體的高

若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,則〃次錐體的體積公式

3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率

其中s表示錐體的底面積，/?表示錐體的高

P?*)=C>*(1-p)i(k=0,1,2,-,ri)球的表面積公式

臺(tái)體的體積公式V=；(S]+J啊+邑)/7S=4五

球的體積公式

其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，〃表示

4

V=-TI7?3

臺(tái)體的高3

其中/?表示球的半徑

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.設(shè)集合A={2,4,8,16},B={x|x<5},則Ac僅3)=()

A.{2,4}B.{4,8}C.{8,16}D.{2,16)

2.設(shè)z=l-i3為虛數(shù)單位)，則|z2+z|=()

A.26B.VioC.75D.2

3.已知x,yeR,p,g>0,則“國<p,|y|<4"是“|x+y|<p+q”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

—2T

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

88

A.7t4—B.%+4C.2zr4—D.2TT+4

33

'x-2y+2>0

5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2x+3y+4N0,則|不一訓(xùn)的最大值是（）

3x+y-l<0

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，在正方體48co-A4C|R中,點(diǎn)區(qū)尸分別是AB和AA的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

A.A。與EF共面，A。//平面FQC|B.AC與QG垂直，A?！逼矫?0G

C.AC與￡F異面，平面FOGD.EF與。G垂直，平面尸0G

7.函數(shù)〃x）=.陰+。的圖象大致為（）

cr_LCL*.C.IX-y4）IX+y71]E.7萬137由十/、

8.對任意x,yeR,恒有sinx+cosy=2sm|—；二+:|cos|—---,則sin—cos——等于（）

（24J<24）2424

A1+V2n1—+>/2nyfi—y/2

4444

9.如圖，正方體AG，尸為平面與8。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角4-8已-尸的大小為a,直線A7與平面48。

所成角的大小為夕.若cos￡=sina,則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

10.已知數(shù)列｛/｝滿足4=1,（〃?-1）而:一小屆=0（僅22,利eN"）,且a?bn=sin（〃eN"）,則數(shù)列出｝

的前21項(xiàng)和為（)

,147B.-苧C—96#0--96

A.----

2

非選擇題部分（共110分）

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.在△A8C中，。在線段AC上，2AD=BD=CD=2,ZABC=60°,則△ABC的面積是.

2

x—,x>0,

%

12.已知asR函數(shù)/(力=,4若/(/⑴)=2,則"

XH---1~6F,X<0,

、X

13.已知多項(xiàng)式W(x+1)=，4("-1)+^4(x—0—1■q(x-1)+《％,貝!|/=9%=

14.在△ABC中，ZC=90°,斜邊45=6,D為BC邊上一點(diǎn),且3。二#，sinZBAD=1,則

sinZADC=，AC=

2

15.某市有機(jī)名男教師和”名女教師從中任取兩名教師去西部支教，甲被抽中的概率為-

5m

名男教師和一名女教師被抽中的概率為?，則'=______，記去支教的教師中男教師的人數(shù)是4,則

9n

磁)=■

16.已知點(diǎn)A是直線y=x在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是直線y=-3x在第二象限上的動(dòng)點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則

tanZAOB=；當(dāng)線段A3長為2時(shí)，AAOB面積的最大值為.

17.已知平面向量￡,b,"滿足：忖咽=M+4，14=2*4=2,則師4的最小值是.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)/（x）=sin1+：卜os（x-^）.

⑴求/?。┑闹?

(2)當(dāng)xe0,7-T求函數(shù)y=f（x）+/]x+?J的取值范圍.

19.(本小題滿分15分)

如圖，四棱錐C-ABMP中，平面平面ABC,MB=MC,PM//AB,2PM=3AB,AC=2AB,

BC=2也,4ABe吟.

（1）求證：AC1PB；

（2）當(dāng)MC=#時(shí)，求直線we與平面aic所成角的正弦值.

20.（本小題滿分15分）

Q

已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和S“滿足2s”=3%-

4S，--

⑴求實(shí)數(shù)/I的值，使得｛0+耳是等比數(shù)列；

⑵設(shè)bn=三土，求數(shù)列煙｝的前〃項(xiàng)和.

21.(本小題滿分15分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤。)，中，已知拋物線C：*2=245>0)的焦點(diǎn)為尸(()1),過點(diǎn)尸的直線

交C于A,B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A位于第一象限)，設(shè)點(diǎn)E是拋物線C上的一點(diǎn)，且滿足OE_LOA,連接E4,

EB.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程;

(2)記AAO尸的面積分別為4,邑，求SS的最小值及此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo).

22.(本小題滿分15分)

已知/(x)=x(ln2x+l).

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若/1+=且玉<w，證明：x,+x,>.|.

答案

參考公式：

若事件AB互斥，則尸(A+B)=P(A)+P(8)柱體的體積公式丫=5/?

若事件A,B相互獨(dú)立，則P(A8)=P(A)P(8)其中S表示柱體的底面積，/?表示柱體的高

若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,則〃次錐體的體積公式丫=!5/?

3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率

其中S表示錐體的底面積，/?表示錐體的高

：k

P“*)=Cpk(1-Pr(k=0,1,2,...,ri)球的表面積公式

臺(tái)體的體積公式V=g(S1+J啊+SJ/75=4標(biāo)2

球的體積公式

其中邑分別表示臺(tái)體的上、下底面積，人表示

4

V=-7t/?3

臺(tái)體的高3

其中R表示球的半徑

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.設(shè)集合A={2,4,8,16},B={x|x<5},則Ac仙B)=()

A.{2,4}B.{4,8}C.{8,16}D.{2,16}

【解析】因?yàn)锽={X|X45},所以Q8={X|X>5},又因?yàn)锳={2,4,8』6},所以則{8,16},

故選：C

2.設(shè)z=l-i(i為虛數(shù)單位)，貝”z2+z|=()

A.2y[3B.V10C.亞D.2

【解析】因?yàn)閦=l-i,所以z2+z=(l-iy+l—i=l—2i+i?+l-i=l—3i,所以|z?+z|=jF+(-3)2=回；

故選：B

3.已知x,yeR,p，4>0,則“|x|<p,|y|<q"是“|x+y|<p+q”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】充分性：若W<p，|Y<q，則k+y|w|x|+|y|<p+q,充分性得證;

必要性：^\x+y\<p+q,取x=y=p=l,4=2,滿足條件，

但不能得出國<P，|y|<q，故為非必要條件；

綜上所述，是"|x+y|<p+/’的充分不必要條件，故選：A

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

【解析】原三視圖所對應(yīng)的幾何體是一個(gè)半圓柱與直三棱柱構(gòu)成的組合體，如圖,

半圓柱的底面圓半徑為1,高為2,直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2,

所以幾何體的體積是V"'12'2+1、2葭2="+4.故選：B

22

'x-2y+2>0

5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，2x+3y+4W0,則|x-y|的最大值是（）

3x+y-l<0

A.1B.2C.3D.4

【解析】令Z=|x-y],其表示（x,y）到直線y=x距離的及倍，畫出可行域如下所示:

數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)C（L-2）忖，取得最大值3.故選：C.

6.如圖，在正方體ABCD-A4GA中，點(diǎn)E,尸分別是AB和4A的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

EB

A.AC與EF共面，A。//平面F￡?GB.AC與垂直，^C//平面F￡>G

C.AC與EF異面，EF_L平面ROCD.EF與垂直，斯，平面

【解析】假設(shè)EF，平面FDC，而㈤u面FDQ,則EFVFD,

若正方體棱長為2,則在。=石，EF=y/6,EZ>=逐，顯然/7）2+E尸片即2,

.?.ERF。不垂直，與EF上FD矛盾,故E尸"L平面相）G不成立，排除C、D；

由ACu面ABCR,￡■尸I面A8cA=尸，F(xiàn)/AC,而EwEF,E任面ABCR,

.??AC與即異面,排除A.

故選：B.

7.函數(shù)/（》）=吧空巴的圖象大致為（

e1

sin（-2x）-4xsin（2x）+Ax

【解析】/（-%）=

故/⑶為奇函數(shù)，故排除C,D;

;由（2萬）+4乃sin（4%）+8%81

〃乃）=

結(jié)合xfxo時(shí)，/的增加幅度遠(yuǎn)大于sin2x+4x的變化幅度，

故可確定/（X）='而叼+?在X-+8時(shí)遞減，由此可排除B.

e1

故選：A.

八小/十*nl+.c.(x-y4)fx+y7t].17i13%林十

8.對任意x,yeR,恒有sinx+cosy=2sin'產(chǎn)+:cos丁』一:，則sin——cos——等于z()

124J<24J2424

A1+V5r1—V2「^3+^2nV3—>/2

4444

x-y717萬5乃

+一x=——

4，解得，J6

【解析】由方程組

x+y7T1373萬

y=——

2424:4

9.如圖，正方體AG，P為平面與8。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角4-82-尸的大小為a,直線A7與平面48。

所成角的大小為#.若cos/?=sina,則點(diǎn)p的軌跡是()

A.圓B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

［解析］連接AC交8。于0,取BQ中點(diǎn)01，連接00、

以0為原點(diǎn)，分別以04、OB、0Q所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

令正方體邊長為2,則A(正,0,0),C(-Q,0,0),4(0,0,2),4(0,拒,2),尸=(0?,z)

面\BD｛的一個(gè)法向量為福=(-八,0,2),面BBR的一個(gè)法向量為AC=(-2>/2,0,0)

則8s國朔二區(qū)故二面角2叫-4的大小轉(zhuǎn)

又二面角4—8。一。的大小ai(0,可，則〃=1或2=宅，

由cos〃=sina=半，隊(duì),可得尸=已，又AP=(~^,y,z),

幫.福

sinp-個(gè)奈；手j整理得”4*0+2?=。,

HR

即y=-也(Z_—')一述，是雙曲線.故選：D

4z+14

10.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,(〃?-1)瘋:-m?=0(〃?22,機(jī)eN"),且為么=sin3衛(wèi)(〃eN"),則數(shù)列｛4｝

的前21項(xiàng)和為()

A.--B.-147>^C.-96百D.-96

22

【解析】由題設(shè)，數(shù)列｛〃底｝是各項(xiàng)恒為lxQ=l的常數(shù)列，所以"瘋=1,則為=與，

n

=sin=/?2sin

又"~~Y~，而丁=$畝2^周期為3的函數(shù)且》|〃=[=3m至=在，y|M=2=sin—=-—,

“八33232

y|“=3=sin2%=0,所以

222222

4+&+b3+...+bl9+b20+b2l=^-[(1-2)+(4-5)+...+(19-20)]=

6八0一、67X(3+39)147百珈*R

2222

非選擇題部分(共110分)

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.在△ABC中，。在線段AC上，2AD=BD=CD=2,ZABC=6O°,則AABC的面積是.

TT27rIT

【解析】由題意，設(shè)ZD5c=4X5=8,則/43。=\一。，㈤。二牛一。且0<9<三，

1_2廠

所以，在△麗中,叱八二.冬八，則.，萬力=.’2萬小，整理得tane=包,

sinZABDsinABADsin(j-61)sin(--6>)3

所以。=g,故=則AB=JL所以5碗.=148?47=迪.

62”阮22

2八

x—，工>(),

12.已知aeR,函數(shù)〃x)=J若〃〃1))=2,則〃=.

X4----FXV0,

X

【解析】由解析式可得：/(D=-l,A/(7(l))=/(-l)=-5+a=2,可得。=7.

13.已知多項(xiàng)式“2(x+l)3=q(％一])5+4(X一])4+~+%(彳一])+%,則%=

【解析】當(dāng)x=l時(shí)，2,=%)n%=8,令，=x-l=>x=f+l

5

?+1)2(什2)3=a5t+a/+卬3+w產(chǎn)+“+4,故卬3=產(chǎn)?.2?+2C；/.2+C；/.20=25?

故6=25,故答案為：8；25.

14.在AABC中，ZC=90°,斜邊AB=6,。為BC邊上一點(diǎn)，且sinZBAD=1,則

sinZADC=,AC=.

【解析】

V6_6/T

在皿中’由正弦定理有：而如AB

即1sinZ.ADB9解得sin/A￡)8=—,

sinZADB33

又ZADB+ZADC=兀,所以sinZADC=sinNADB=逅.由已知可得cosZfiAD=—

33

則在△的中，由余弦定理有：-。=箋黑+平=33夜或35a又因?yàn)?/p>

AB>AD,故4。=5血（舍）.所以在R/AADC中，有sinZAOC=型=華=如，解得AC=2百.

AD303

故答案為：正，2月

3

15.某市有機(jī)名男教師和〃名女教師（機(jī)>〃），從中任取兩名教師去西部支教，甲被抽中的概率為一

名男教師和一名女教師被抽中的概率5為則n竺i=______,記去支教的教師中男教師的人數(shù)是則

9n

E?=

【解析】由隨機(jī)抽樣的概率可知,C"；"T=2=機(jī)+〃=9,

C"9

且^■=:'得加〃=20,且解得：〃？=5,n=4,所以'=2；4=0,1,2,

Cj9n4

」(“0)咯=[,%=[)=警《尸("2)=會(huì).，

C9oC99C9lo

分布列如下：

012

55

P

6918

E⑷=0x：+lx1+2x^=號.故答案為:py

16.已知點(diǎn)A是直線y=x在第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是直線y=-3x在第二象限上的動(dòng)點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則

tanZAOB=；當(dāng)線段A8長為2時(shí)，AAOB面積的最大值為.

【解析】設(shè)直線y=x的傾斜角為a,則tana=l,

直線y=-3x的傾斜角為夕，貝lJtan￡=-3,

,、tan0-tana-3-1.

依題意得4。8=尸一a，所以tan40B=tan(尸-a尸7T=g石=2：

因?yàn)閠anAAOB==2,即■sinNAOB=cosNAOB,

cosZAOB2

54

所以sin2N4O8+cos2NAO8=-sin2/AOB=l,解得sin?NAOB=—,因?yàn)?<ZAO8<;r,

45

所以sin/AOB=R^,cosZAOB=—sinZAOB=,

525

在.AOB中，由余弦定理得|A邦=|(?A|2+|OB|2-2|OA|-|OB|-cosZAOB,

則4=|0A「+\OB^-^-\OA\-\OB\>腎芻0A|.|OB|,所以|04］。8區(qū)而上=苧

當(dāng)且僅當(dāng)［0川=|0用=『^5時(shí)，等號成立，

所以^AOB的面積S^A0B=—。4卜|0卻?sinNAOB<1?"普?半=匕言，

所以AAO8的面積的最大值為立擔(dān)，故答案為：2,叵！1

22

17.已知平面向量S."滿足：忖=忖=忖+4,,=2|￡-4=2,則"4的最小值是.

【解析】

如圖在直角坐標(biāo)系中，］^c=OC=（2,0）,a=dA,a-c=CA,

?.?同=2|萬一日=2,，A的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，T^b=OB,a+b=OE,

由忖平卜忸+5|可知<G,B>=/AO8=120,設(shè)/OC4=e,/4OC=a,/BOF=60-a,

則|C4|=1,|C￡)|=cos^,|/4￡>|=sin0,D(2-cos0),A(2-cos0,sin,

sina=咚曾cosa『OD\=2-"cos6

,設(shè)5(%%),則

\OA\\0A\\OA\\OA\

lcosa+^sina

227

12-cos0A/3sin。、

1+—sini9--cosi9,

227

(x/31.62-cos。1sin。=-3n/c°s

%=|Q4].sin(60=——cosa——sina0—,

22727

2

/--x0-1=^y-sin^-^cos0=>(x0+1)=(sin2e+；cos2e-^^sinecose①

-y()+G=，sine+正■cos?=>()‘n-G)=工皿%+3cos^^sin&os。②

°22卜。,442

①+②得：（$+1）2+（%-追）2=1,則B的軌跡是以G（—1,萬）為圓心，1為半徑的圓,

則忸一目二|而|二|。叫習(xí)61-1=26一1.故答案為：26—1.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.（本小題滿分14分）

兀兀

已知函數(shù)/（x）=sinX+一cosx--

4

⑴求噌）的值;

方+日的取值范圍.

(2)當(dāng)xeo,5,求函數(shù)y=/(x)+/

+COS

【解析】（解法一：.3兀7t2兀42+V2

1）fsin-cos—=cos"—=----------=--------?

88824

(2x+'|)]=((l+sin2x),貝(]/周二4小嗚卜2+0

解法二:/(x)=sin2x+-\=-l-cos

424

兀」("+5]]=3(1+，出2》),

⑵〃x)=sin2X+2l-cos

42

則小+；=—l+sin[2x+—兀=g(l+cos2九)

22

=l+；(sin2x+cos2x)=1+-兀

f(x)+f2x4—

4

、i,「八兀],?！肛?兀1.仁，兀1v2,rr1.,V2

當(dāng)xe[°'5_|'2x+4€1丁'sinl2x+4Is1-2~^，所以丫€2^+~T'

19.(本小題滿分15分)

如圖，四棱錐C-43Mp中，平面MBC_L平面ABC,MB=MC,PM//AB,2PM=3AB,AC=2AB,

BC=2g,ZABC=^.

(1)求證：AC1PB；

(2)當(dāng)MC=遙時(shí)，求直線MC與平面B4C所成角的正弦值.

【解析】(1)取BC中點(diǎn)。，連接"。，因?yàn)橛?=MC,所以MOL8C,因?yàn)槠矫鍹8C_L平面A8C,因?yàn)?/p>

平面M8CCI平面力BC=8C,MOu平面仞8C,所以O(shè)MJ■平面ABC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,-6,0),B(O,-G,O),C(0,5/3,0),設(shè)M(O,O,/i),則P(3,0,6)

所以衣=(-2,2y/3,0),PB=(-3,-5/3,-A),

ACPB=-2X(-3)+2>/3X(-5/3)+0X/Z=0,所以AC_LP8

(2)因?yàn)楸?=m，S.MO2+OC2=MC2,即所以

所以碇=(0,百,->/5),AP=(l,>/3,>/3),AC=(-2,273,0)

n-AC=-2x+2月y=0

設(shè)平面PAC的法向量為"=(x,y,z),，所…—?！?，則y-,所以

百=(6,1,-2),設(shè)直線MC與平面PAC所成角為凡所以

?—.-I\MC-n\3上3

sincos<MC,n>=..=-j=——『=-

I|MC|WV6X2V24

3

所以直線MC與平面PAC所成角的正弦值為;.

4

20.（本小題滿分15分）

8

已知數(shù)列｛??）的首項(xiàng)為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和S?滿足2S?=3《,-4§_3a

⑴求實(shí)數(shù)義的值，使得｛S；+"是等比數(shù)列；

⑵設(shè)2=三±,求數(shù)列代｝的前〃項(xiàng)和.

8

【解析】⑴當(dāng)〃=1時(shí)，2q=3q--，5,=a,,解得S；="：=8；

a\

當(dāng)“22時(shí)，把a(bǔ)“=S“-S,i代入題設(shè)條件得:S；=9S,，+8,即0+1=9（$3+1）,

很顯然+1｝是首項(xiàng)為8+1=9,公比為9的等比數(shù)列，，4=1；

⑵由（1）知｛S：+l｝是首項(xiàng)為S；+1=9R0,公比q=9的等比數(shù)歹IJ,

9"=l_x1

所以S：=9"-l,（9"-1乂9"'-1）—GX（9"-1）（9,,+'-1）—就9"-1

故數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為:

+9一]-一J=Wt-9""-J21

（本小題滿分15分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知拋物線C：丁=24（0>0）的焦點(diǎn)為尸（0,￡|,過點(diǎn)戶的直線

交C于A,8兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A位于第一象限），設(shè)點(diǎn)E是拋物線C上的一點(diǎn)，且滿足