2022年高考數(shù)學 第一輪復習考點59 復數(shù) 練習

考點59復數(shù)

【題組一復數(shù)的實部與虛部】

（2020.深圳市高級中學高三月考（文））

1.設，?為虛數(shù)單位，復數(shù)z="T）'8的實部為

z+1

【答案】3

【解析】

【分析】

把已知等式化簡，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

8-2z_(8—2z)(z—1)_6—10z

【詳解】（，一1）2=-27,3,

z+1-(z+l)(z-l)-2實部為

故答案為：3.

【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

（2020?寧陽縣第四中學）

2.復數(shù)（2+/）（|3+甸-。的虛部為.

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)的模的計算公式可得|3+司=5,通過四則運算計算即可得出結(jié)果.

【詳解】因為|3+44=5,故（2+i）（5—i）=ll+3i,故其虛部為3.

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的模的計算，復數(shù)的四則運算，以及考查學生對復數(shù)定

義的理解，是基礎題.

【題組二復數(shù)的幾何意義】

（2020?江蘇南京）

3.已知（3-4i）z=I+i,其中i為虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法計算出z,即可確定z對應的點所在象限.

【詳解】因為（3-4i）z=l+i

…1+z-1+7/17.

所以z=-----=-------=——+—1,

3-4/252525

故在復平面內(nèi)z對應的點為（-石1，27），在第二象限.

故選：B

【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，復數(shù)的幾何意義，屬于容易題.

（2020.浙江柯橋.高三其他）

4.復數(shù)"猾的共扼復批在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為（）

A.(1,1)B.(—1,—1)C.(1,-1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】

【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)z,則在復平面內(nèi)，之對應的點坐

標可求.

2i2i（l+i）-2+2i,.

【詳解】解：由2===言而=丁=一百，

貝匹=—1—i,

故）在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為：

故選：B.

【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，共輾復數(shù)的概念，以及復數(shù)的兒

何意義，屬于基礎題.

（2020?海南楓葉國際學校高一期末）

5.設z=j=,則目=

1+21

A.2B.乖1C.V2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】先由復數(shù)的除法運算（分母實數(shù)化），求得Z,再求|z|.

3-i(3-i)(l-2z)^17.

【詳解】因為(l+2z)(l-2z)-5-5Z所以

|z|=?。ǎ荩?+（一52=虛,

故選C.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算，復數(shù)模的計算.本題也可以運用復數(shù)模的

運算性質(zhì)直接求解.

（2020?山東濰坊）

6.歐拉是一位杰出的數(shù)學家，為數(shù)學發(fā)展作出了巨大貢獻，著名的歐拉公式：

/=cos6+isine,將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函

數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.結(jié)合

1_三

歐拉公式，復數(shù)z=4+啦在復平面內(nèi)對應的點位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用歐拉公式代入直接進行復數(shù)的運算即可求解.

1—2irz7'1—2irr(71..7t\

【詳解】z=------卜＜2e&=------I-A/2COS——usm一

1+i1+iI44)

l-2il-2i

----1----1+i+l

1+iI22J1+i

-l-3i

(l+i)(l-i)2

所以復數(shù)z在復平面對應的點為,位于第四象限,

故選：D.

（2020?黑龍江薩爾圖大慶實驗中學高三其他（理））

7.若Z=K+嚴\則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于

（1—Z）-2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)四則運算法則可將復數(shù)z化簡為-1-2，，從而得到對應點的坐標，

進而得到結(jié)果.

【詳解…高匕+泮9="+嚴--各尸1。-）-1-2,

??.Z對應的點的坐標為：（T,-2）,位于第三象限

本題正確選項：C

【點睛】本題考查復數(shù)與復平面上的點的對應關系，關鍵是能夠熟練應用復數(shù)的四

則運算法則將復數(shù)化簡為。+初的形式，屬于基礎題.

【題組三復數(shù)的分類】

（2020?武威第八中學高二期末（理））

8.若復數(shù)z=（%-l）+（m+l）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則實數(shù)團的值為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)實數(shù)的充要條件，得出關于加的關系式，求解得出結(jié)論.

【詳解】???z是實數(shù)，

.\m+l=0,

故選：B.

【點睛】該題考查復數(shù)的基本概念，屬與基礎題，正確理解相關概念是解題關鍵.

（2020?山西迎澤太原五中高三二模（文））

9.已知復數(shù)2=:土竺是純虛數(shù)，則實數(shù)。等于（）

1-1

A.B.2C.GD.72

【答案】B

【解析】

2—Q2+Q.2—a八2+0八

【分析】化簡復數(shù)2=----------1---------1，根據(jù)復數(shù)Z是純虛數(shù)，得到------=0且-----W0,

2222

即可求解.

2+ai_(2+ai)(l+i)_2-a2+a

【詳解】由題意，復數(shù)z=l-?-(l-z)(l+?)+

因為復數(shù)z是純虛數(shù)，可得亍=。且亍S解得a=2,

所以實數(shù)。等于2.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，以及復數(shù)的基本概念的應用，其中解答

中熟記復數(shù)的運算法則，結(jié)合復數(shù)的基本概念求解是解答的關鍵，著重考查推理與

運算能力.

(2020?廣西七星桂林十八中高三月考(理))

10.若z=(3—i)(a+2i)(ae/?)為純虛數(shù)，則z=()

A.—iB.6iC.—iD.20

33

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.

【詳解】z=(3—0(a+2Z)=3?+2+(6—?)z

???z=(3—i)(a+2i)(aGR)為純虛數(shù)，

...3a+2=0且6-。。0

得。=二，此時2=當

33

故選：C.

【點睛】本題考查復數(shù)的概念與運算，屬基礎題.

(2020.小店山西大附中高二月考(文))

2-2020

11.設，■為虛數(shù)單位，aeR,“復數(shù)z=2--是純虛數(shù)“是“a=l”的()

21-i

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

先化簡z,求出“，再判斷即可.

a~產(chǎn)a~1_a21+i_a2；一；i是純虛數(shù),

【詳解】復數(shù)zf-4一i^i-T-(i-i)(i+i)一~2

則〃=1，a=±l.

a=±l是a=l的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】本小題主要考查根據(jù)復數(shù)的類型求參數(shù)，考查充分、必要條件的判斷，屬

于基礎題.

（2020.山東臨沂）

12.己知復數(shù)4，Z2在復平面內(nèi)對應的點分別為（2,1）,（1力），若2必2是純虛數(shù)，

則匕=（）

A.2B.-C.--D.-2

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，可得4=2+i,Z2=l+而，根據(jù)復數(shù)的運算法則，即

可得答案.

【詳解】由題意得：4=2+2%=1+初,

所以2必2=（2+，）（1+友）=2+2初+1+42=2-b+（2b+l）i,

[2—0=0

又"2是純虛數(shù)，所以c,,C，

2〃+1w0

解得6=2,

故選：A.

【點睛】本題考查復數(shù)的兒何意義，復數(shù)的乘法運算，復數(shù)的分類，考查學生對基

礎知識的掌握程度，屬基礎題.

(2018?福建高二期中(理))

13.已知tGR,i為虛數(shù)單位，復數(shù)zi=3+4i,z2=t+i,且zi?Z2是實數(shù)，則t

等于()

3c4八43

A.-B.-C.——D.——

4334

【答案】D

【解析】

【詳解】因為zi=3+4i,z2=t+i,所以zi?Z2=(3t—4)+(4t+3)i,

3

又z「Z2是實數(shù)，所以4t+3=0,所以t=一；

4

故選：D.

【題組四復數(shù)的計算】

(2020?上海高三專題練習)

14.設zeC,方程z2+|z|=0的根有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】將z表示為復數(shù)的形式代入方程，利用復數(shù)相等即可求解.

2222

，、平招、6h",/r>>rOzHl^-b+yja+h=0,?,?

【詳解】設z=a+》(a,beR),代入方程得〈解得。=0,人=。

2ab=0,

或±1,所以方程z2+|z|=0的根有3個.

故答案選：C

【點睛】本題主要考查利用換元法求方程的根及復數(shù)相等的概念，屬于基礎題.

(2018?福建高二期中(理))

15.設有下面四個命題

Pi：若復數(shù)z滿足貝UzeR;

Z

P2：若復數(shù)Z滿足z2eR，則zeH;

“3：若復數(shù)Z1,Z?滿足乎2e/?,則Z1=M；

PA：若復數(shù)zwH,則彳wR.

其中的真命題為

A.Pi，P3B.pm

C.〃2，P3D.〃2，P4

【答案】B

【解析】

【詳解】令z=a+歷(a,beR),則由,=—=得匕=0,所以zwR,

za+bia'+b'

故Pi正確；

當z=i時，因為z2=i2=—leR，而2甘仁區(qū)知，故P2不正確；

當Z|=Z2=i時，滿足Z/Z2=-1GR,但Z1HZ2，故P3不正確；

對于P4,因為實數(shù)的共蛹復數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，故P4正確，故選B.

點睛:分式形式的復數(shù)，分子、分母同乘以分母的共輒復數(shù)，化簡成

z=a+bi(a,beR)的形式進行判斷，共輾復數(shù)只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼?/p>

相反數(shù)即可.

(2020.山東臨沂)

16.設，■為虛數(shù)單位，復數(shù)z=(a+i)(l+2i),則下列命題正確的是()

A.若z為純虛數(shù)，則實數(shù)4的值為2

B.若z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，則實數(shù)。的取值范圍是(-/，2)

2

C.實數(shù)。=-1是z=N(5為z的共輾復數(shù))的充要條件

2

D.^z+\z\=x+5i(xeR),則實數(shù)a的值為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先應用復數(shù)的乘法得z=a-2+(1+201,再根據(jù)純虛數(shù)概念、復數(shù)所在

象限，以及與共輾復數(shù)或另一個復數(shù)相等，求參數(shù)的值或范圍，進而可確定選項的

正誤

［詳解］z=(a+z)(l+2/)=?-2+(1+2a)i

a—2=0

，選項A：z為純虛數(shù)，有八可得a=2,故正確

J+2aH0

a—2<0］

選項B：z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，有《解得?！匆还叔e誤

l+2tz<02

1-51

選項C：a=—時，z=z=—；z—zfft，1+2。=0即。=—,它們互為充要條

222

件，故正確

選項D：z+|z=x+5i(xeR)時，有l(wèi)+2a=5,即a=2,故正確

故選：ACD

【點睛】本題考查了復數(shù)的運算及分類和概念，應用復數(shù)乘法運算求得復數(shù)，再根

據(jù)復數(shù)的概念及性質(zhì)、相等關系等確定參數(shù)的值或范圍

【題組五復數(shù)的最值】

(2020?全國高一課時練習)

17.已知復數(shù)z滿足等式卜-1卜上+2力(i是虛數(shù)單位).則|z-的最小值是

【答案】述

10

【解析】

【詳解】設z=x+yi(x,y￡R),

1|二憶+2i|,

A|x-l+yi|=|x+(y+2)i|,

即,(x-if+V+6+2)2

整理得：2x+4y+3=0.

復數(shù)z的對應點的軌跡是2x+4y+3=0.

1-i|的最小值即為點(0,1)到直線2x+4y+3=0的距離為：d=-^L=—

V2010

故答案為述.

10

（2020?遼寧沈陽）

18.己知復數(shù)z滿足等式|zr］=l,則|z-1］的最大值為.

【答案】V2+1

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是以（（）/）為圓心,

半徑為1的圓，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求出|z-l|的最大值為圓心（0,1）到點A（l,0）

的距離加1.

【詳解】因為=所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是以（0,1）為圓心，半徑為

1的圓，如圖所示:

則|z-1］的最大值為圓心（0,1）到點A（l,0）的距離加1,即

^（0-1）2+（1-0）2+1=72+1.

故答案為：及+L

【點睛】本題主要考查復數(shù)的幾何意義的應用，復數(shù)的模的求法，考查數(shù)形結(jié)合思

想的應用，屬于基礎題.

19.已知求|z+i|的最小值等于,最大值等于.

【答案】①.V5-1②.V5+1

【解析】

【分析】

由于復數(shù)滿足|Z-1-4=1,表示以（1,1）為圓心，以1為半徑的圓，|z+i|表示點Z

到點（0,-1）的距離，求出即可.

【詳解】V|z-1

???復數(shù)z的對應點z在以（1,1）為圓心，以1為半徑的圓上.

而|z+i|表示點z到點(0,-1)的距離等于71+22=x/5-

??.|z+i|的最小值等于后-1,最大值等于6+1.

故答案為6-1,V5+1.

【點睛】本題考查了圓的復數(shù)形式的方程、復數(shù)的幾何意義、兩點之間的距離公

式，屬于基礎題.

(2019?黑龍江讓胡路)

20.滿足條件Iz-i|=|3+4/|的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡方程是.

【答案】x2+(y-l)2=25

【解析】

【分析】設2=工+加，利用條件|z—i|=|3+4”即可得出

【詳解】設z=x+yi,因為Iz-i|=|3+4i|,

即|x+(y-l)i|=|3+4i|,

所以Jd+(y—=V32+42，

即X?+(>-1)2=25,

所以滿足條件|z-i|=|3+4i|的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡方程是

22

x+(y-l)=25,

故答案為：x2+(y-l)2=25.

【點睛】本題考查的是復數(shù)的模的計算及其幾何意義.

(2018?上海市寶山中學)

21.若復數(shù)z