2023年四川省樂山市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)

2023年四川省樂山市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.A.A.e2/3

B.e

C.e3/2

D.e6

2.

3.A.A.1/4B.1/2C.1D.2

4.已知y=ksin2x的一個(gè)原函數(shù)為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

5.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

6.函數(shù)y=x3-3x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.A.(-∞,-1]

B.[-1，1]

C.[1，＋∞)

D.(-∞，＋∞)

7.

8.A.A.0B.1C.2D.任意值

9.

10.

11.下列命題中正確的為

A.若x0為f(x)的極值點(diǎn)，則必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，則點(diǎn)x0必為f(x)的極值點(diǎn)

C.若f'(x0)≠0，則點(diǎn)x0必定不為f(x)的極值點(diǎn)

D.若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且點(diǎn)x0為f(x)的極值點(diǎn)，則必有f'(x0)=0

12.

13.設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

14.

15.設(shè)f(x)為區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。A.

B.

C..

D.不能確定

16.

17.

18.A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在但不是∞

19.

20.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*應(yīng)取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

二、填空題(20題)21.

22.設(shè)x2為f（x)的一個(gè)原函數(shù)，則f（x)=_____

23.

24.

25.

26.為使函數(shù)y=arcsin(u＋2)與u=｜x｜-2構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則x所屬區(qū)間應(yīng)為__________．

27.設(shè)函數(shù)z=f(x，y)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則全微分出dz=______.

28.設(shè)y1(x)、y2(x)是二階常系數(shù)線性微分方程y″+py′+qy=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則它的通解為______．

29.設(shè)y=cos3x，則y'=__________。

30.若當(dāng)x→0時(shí)，2x2與為等價(jià)無窮小，則a=______．

31.

32.如果函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=________。

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計(jì)算題(20題)41.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

42.

43.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．

44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．

45.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

46.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．

47.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

48.

49.求微分方程的通解．

50.

51.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

54.

55.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，則

56.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

57.

58.

59.證明：

60.

四、解答題(10題)61.設(shè)y=(1/x)+ln(1+x)，求y'。

62.

63.

64.

65.(本題滿分10分)

66.求方程(y-x2y)y'=x的通解.

67.

68.

69.

70.設(shè)y=sinx/x，求y'。

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.討論y=xe-x的增減性，凹凸性，極值，拐點(diǎn)。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D

2.D

3.C

4.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為可變限積分求導(dǎo)。由原函數(shù)的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

5.B由導(dǎo)數(shù)的定義可知

可知，故應(yīng)選B。

6.B

7.C

8.B

9.D

10.B

11.D解析：由極值的必要條件知D正確。

y=｜x｜在x=0處取得極值，但不可導(dǎo)，知A與C不正確。

y=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0，但x0=0不為它的極值點(diǎn)，可知B不正確。因此選D。

12.A

13.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念。由于f(x)在點(diǎn)x=0連續(xù)，因此，故a=1，應(yīng)選C。

14.A解析：

15.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的幾何意義。由定積分的幾何意義可知應(yīng)選B。常見的錯(cuò)誤是選C。如果畫個(gè)草圖，則可以避免這類錯(cuò)誤。

16.D

17.B

18.D本題考查了函數(shù)的極限的知識(shí)點(diǎn)。

19.B解析：

20.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解y*的取法：

若自由項(xiàng)f(x)=Pn(x)eαx，當(dāng)α不為特征根時(shí)，可設(shè)特解為

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)為x的待定n次多項(xiàng)式．

當(dāng)α為單特征根時(shí)，可設(shè)特解為

y*=xQn(x)eαx，

當(dāng)α為二重特征根時(shí)，可設(shè)特解為

y*=x2Qn(x)eαx．

所給方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0．

特征根為r1=1，r2=2．

自由項(xiàng)f(x)=xe2x，相當(dāng)于α=2為單特征根．又因?yàn)镻n(x)為一次式，因此應(yīng)選D．

21.

22.由原函數(shù)的概念可知

23.y''=x(asinx+bcosx)

24.2xsinx2；本題考查的知識(shí)點(diǎn)為可變上限積分的求導(dǎo)．

25.

26.[-1，1

27.依全微分存在的充分條件知

28.由二階線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)可知所給方程的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù)．

29.-3sin3x

30.6；本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無窮小階的比較．

當(dāng)于當(dāng)x→0時(shí)，2x2與為等價(jià)無窮小，因此

可知a=6．

31.

32.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數(shù)f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

33.

34.

解析：

35.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)商的求導(dǎo)運(yùn)算．

考生只需熟記導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的法則

36.0

37.

38.00解析：

39.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無窮小的性質(zhì)。

40.12x12x解析：

41.

42.

則

43.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

44.

45.

46.

47.由二重積分物理意義知

48.

49.

50.由一階線性微分方程通解公式有

51.

列表：

說明

52.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

53.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

54.

55.由等價(jià)無窮小量的定義可知

56.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求解二階線性常系數(shù)非齊次微分方程．

相應(yīng)的齊次微分方程為

代入原方程可得

原方程的通解為

【解題指導(dǎo)】

由二階線性常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知，其通解y＝相應(yīng)齊次方程的通解Y＋非齊次方程的－個(gè)特解y*．

其中Y可以通過求解特征方程得特征根而求出．而y*可以利用待定系數(shù)法求解．

66.

67.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為兩個(gè)：極限的運(yùn)算；極限值是個(gè)確定的數(shù)值．

68.

69.

70.

71.∵y=xe-x

∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0；x=1∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0；x=2①∵x<1時(shí)y">0；∴x>1時(shí)y"<0；∴y在(一∞1)內(nèi)遞增；y在(1+∞)內(nèi)遞減；極大值e-1；②∵x<2時(shí)y""<0；∴x>2時(shí)y"">0；∴y在(一∞2)內(nèi)凸；y在(1+∞)內(nèi)凹；拐點(diǎn)為