拉格朗日乘數(shù)法

§4條件極值教學目的：了解拉格朗日乘數(shù)法，學會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值．教學內(nèi)容：條件極值；拉格朗日乘數(shù)法．基本要求：了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法．較高要求：用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式．教學建議：(1)本節(jié)的重點是用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值．要求學生熟練掌握．(2)多個條件的的條件極值問題，計算量較大，可布置少量習題．在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個好方法．可推薦給較好學生．在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設計一個容積為V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高,使水箱的表面積最小.設水箱的長、寬、高分別為x,y,z，則水箱容積 V=xyz焊制水箱用去的鋼板面積為 S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy這實際上是求函數(shù)S(x,y,z)在V=xyz限制下的最小值問題。這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題，其一般形式是在條件申(x,x,…,x)=0,k=1,2，?八,m,(m<n)k1 2n限制下，求函數(shù)f(x,x,…,x)的極值1 2 n條件極值與無條件極值的區(qū)別條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。例如，求馬鞍面z=x2-y2+1被平面XOZ平面所截的曲線上的最低點。請看這個問題的幾何圖形(x31馬鞍面)從其幾何圖形可以看出整個馬鞍面沒有極值點，但限制在馬鞍面被平面XOZ平面所截的曲線上，有極小值1，這個極小值就稱為條件極值。

二. 條件極值點的必要條件設在約束條件9(x,y)=0之下求函數(shù)z=f(x,y)的極值?當滿足約束條件的點(x,y)是函數(shù)f(x,y)的條件極值點,且在該點函數(shù)9(x,y)滿足隱函數(shù)存在條件時,00由方程9(x,y)=0決定隱函數(shù)y=g(x),于是點x就是一兀函數(shù)z=f(x,g(x))的極限0點,有dz=f+dx x代入g代入g'(x0)=9(x,y)■0 0—,9(x,y)y00就有f(xf(x,y)-fx9(x,y)0 0 9y(x,y) n(x,y)00(以下f、f、9x(以下f、f、9xy、9均表示相應偏導數(shù)在點(x0,y0)的值?)=0,亦即(f,f)-(9xy-9)=0?x可見向量(f)與向量可見向量(f)與向量(9 , -9 )正交?yx注意到向量(9 ,9)也與x向量(-9)正交,向量(-9)正交,即得向量(f,f)與向量(xy9 , 9 )線性相關,即存在實xy,9xy,9xy(f,f)+九(9，9)=0?xy亦即=0,=0.亦即yyLagrange乘數(shù)法:由上述討論可見，函數(shù)z=f(x,y)在約束條件9(x,y)=0之下的條件極值點應是方程組f(x,y)+九9(x,y)=0,xx<f(x,y)+九9(x,y)=0,yy、9(x,y)=0.的解?

引進所謂Lagrange函數(shù)L（x,y,九）=f（x,y）+塚（x,y）, （稱其中的實數(shù)九為Lagrange乘數(shù)）則上述方程組即為方程組L(x,y,九)=0,x<L(x,y,九)=0,y、L九(x,y,九)=0.因此，解決條件極值通常有兩種方法1）直接的方法是從方程組（1）申(x,x，…,x)=0,k=1,2,???,m,k1 2 n中解出x,x，…，x 并將其表示為1 2 mx),k=1,2,…,mn代入f代入f(x,x,…,x)消去x,x12n12x成為變量為x,…,x的函數(shù)m m+1 n,x)nf(x,…,x)=f(g,…,g,x,…,x)=,x)nTOC\o"1-5"\h\z1 n 1 mm+1 n m+1將問題化為函數(shù)F（x，…,x）的無條件極值問題；m+1 n2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出x,x，…，x 來是困難的，甚至是不可1 2 m能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求f（x,…x）的條件極值問題化為求下面拉格朗日函數(shù)1nL（x,…,x;九,…,九）=f（x,…,x）+E九甲（x,…,x）1n1 m 1n kk1nk=1的穩(wěn)定點問題，然后根據(jù)所討論的實際問題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點是所求的極值的一. 用Lagrange乘數(shù)法解應用問題舉例:例1拋物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一個橢圓?求該橢圓到坐標原點的最長和最短距離.例3求函數(shù)f(x,y,z)=xyz在條件1111—+—+—=—(x>0,y>0,z>0,r>0)xyzr下的極小值.并證明不等式3^丄+1+1V1<皿，其中a,b,c為任意正*abc丿常數(shù).現(xiàn)在就以上面水箱設計為例，看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過程解：這個問題的實質(zhì)是求函數(shù) S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy在條件xyz-V=0下的最小值問題，應用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx=2*z+y+v*y*zdLdy=2*z+x+v*x*zdLdz=2*x+2*y+v*x*ydLdv=x*y*z-V令L的各偏導等零，解方程組求穩(wěn)定點s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v=-2*2八(2/3)/V八(1/3)][-8*(-1/4*2八(1/3)*廠(1/3)+1/4*i*3八(1/2)*2八(1/3)*廠(1/3)廠2/V][-8*(-1/4*2"(1/3)*V"(1/3)-1/4*i*3"(1/2)*2"(1/3)*V"(1/3))"2/V]x0=[2八(1/3)*廠(1/3)]y0=[2八(1/3)*廠(1/3)]z0=[1/2*2"(1/3)*V"(1/3)]這里顯然只有實數(shù)解才有意義，所以L的穩(wěn)定點只有下面一個x=y=32V,z=—32V2又已知所求的問題確實存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點就是最小值點，即水箱長寬與為高的2倍時用鋼板最省。下面再看一個條件極值求解問題例2拋物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標原點的最長最短距離。(x73)解 這個問題的實質(zhì)是求函數(shù) f(x,y,z)=x2+y2+z2在條件x2+y2-z=0與x+y+z-1=0下的最大、最小值問題，應用拉格朗日乘法，令L='x"2+y"2+z"2+v*(x八2+y八2-z)+h*(x+y+z-1)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdh=diff(L,'h')dLdx=2*x+2*v*x+hdLdy=2*y+2*v*y+hdLdz=2*z-v+hdLdv=x"2+y"2-zdLdh=x+y+z-1

s1='2*x+2*v*x+h';s2='2*y+2*v*y+h';s3='2*z-v+h';s4='x"2+y"2-z';s5='x+y+z-1';[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5);x0,y0,z0x0=[3/4-1/4*i*13"(1/2)][3/4+1/4*i*13"(1/2)][-1/2+1/2*3"(1/2)][-1/2-1/2*3八(1/2)]y0=[3/4+1/4*i*13"(1/2)][3/4-1/4*i*13八(1/2)][-1/2+1/2*3"(1/2)][-1/2-1/2*3"(1/2)]z0=-1/2,-1/2, 2-3"(1/2),2+3"(1/2)即L的穩(wěn)定點有兩個z=2—731zz=2—731z=2+\32x=y= 112-1-x=y= 222因為函數(shù)f(x,y,z)在有界閉集｛(x,y,z)Ix2+y2=z,x+y+z=1｝上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它