考點11坐標系與參數(shù)方程2022高考（理）?？伎记皬土曋笇c搶分集訓解析版

專題一核心考點速查練考點11坐標系與參數(shù)方程1.極坐標與直角坐標的互化2.參數(shù)方程與普通方程的互化3.極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用1．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（，，為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線的極坐標方程為.（1）求，，的值；（2）已知點的直角坐標為，與曲線交于，兩點，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，則，即.因為，，所以.（2）將代入，得.設，兩點對應的參數(shù)分別為，，則，.所以.2．已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于、兩點，求.【答案】（1），；（2）【解析】(1)由直線極坐標方程為,即,根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式,可得直線直角坐標方程：,由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,則,整理得橢圓的普通方程為.(2)由已知直線與垂直,所以直線的傾斜角為,直線的參數(shù)方程為,即（為參數(shù)）,把直線的參數(shù)方程代入化簡得設,是上述方程的兩個實根,則有又直線過點故由上式及的幾何意義得3．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線經(jīng)過點，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）若，是曲線上兩點，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）將的參數(shù)方程化為普通方程得：由，得的極坐標方程為：將點代入中得：，解得：代入的極坐標方程整理可得：的極坐標方程為：（2）將點，代入曲線的極坐標方程得：，4．在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點O為極，z軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；(Ⅱ)設點．若直線與曲線C相交于A，B兩點，求的值．【答案】(Ⅰ)曲線C的普通方程，直線的直角坐標方程；(Ⅱ)【解析】（I）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得曲線C的普通方程為，直線極坐標方程為，即，所以直線的直角坐標方程.（II）直線過點，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入，化簡得，則，，設，，所以5．已知直線過點，傾斜角為，在以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的方程為.（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于兩點，設點,求的值.【答案】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標方程為.（2）【解析】（1）∵直線過點，傾斜角為∴可設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵曲線的方程為∴,∴,∴,∴曲線的直角坐標方程為.（2）由（1）知，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩點所對應的參數(shù)分別為，，將的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標方程為中，化簡得∴,∵,∴,,∴.6．已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于、兩點，求.【答案】(1).(2)【解析】（1）對于曲線的極坐標方程為，可得，又由，可得，即，所以曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，即直線的方程為，即.（2）設兩點對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線中，可得.化簡得：，則.所以.7．已知曲線C的極坐標方程是ρ＝6sinθ，建立以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸的平面直角坐標系．直線l的參數(shù)方程是，(t為參數(shù))．(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|=，求直線的斜率k．【答案】(1)．(2)．【解析】（1）由曲線的極坐標方程是，得直角坐標方程為，即．（2）把直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入圓的方程得，化簡得．設兩點對應的參數(shù)分別是，則，故得，得．8．在直角坐標系中，射線的方程為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的方程為.一只小蟲從點沿射線向上以單位/min的速度爬行（1）以小蟲爬行時間為參數(shù)，寫出射線的參數(shù)方程；（2）求小蟲在曲線內(nèi)部逗留的時間.【答案】（1）該射線的參數(shù)方程為；（2）小蟲在圓內(nèi)逗留的時間為4min【解析】（1）因為直線的傾斜角為30°，經(jīng)過時間t后，小蟲爬行的距離為2t，其所在位置為所以該射線的參數(shù)方程為．（2）曲線C1的直角坐標方程為；將射線的參數(shù)方程帶入曲線C1的方程，得，設t1，t2分別為小蟲爬入和爬出的時間，則，逗留時間，所以小蟲在圓內(nèi)逗留的時間為4min．9．如圖所示，“8”是在極坐標系Ox中分別以和為圓心，外切于點O的兩個圓．過O作兩條夾角為的射線分別交⊙C1于O、A兩點，交⊙C2于O、B兩點．（1）寫出⊙C1與⊙C2的極坐標方程；（2）求△OAB面積最大值．【答案】（1）；；（2）解析:(1)因為在極坐標系中圓和圓的圓心分別為和,所以圓和圓的極坐標方程分別為和.(2)由(1)得,,,則.所以當時,面積最大值為.10．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線的極坐標方程為，射線與曲線交于點，點滿足，設傾斜角為的直線經(jīng)過點．（1）求曲線的直角坐標方程及直線的參數(shù)方程；（2）直線與曲線交于、兩點，當為何值時，最大？求出此最大值．【答案】（1）曲線的直角坐標方程為，直線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)（2）當時，取得最大值【解析】（1）∵，∴曲線的直角坐標方程為．∵點的極徑為，又∵，∴點的極徑為，∴點的直角坐標為，∴直線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)．（2）將的參數(shù)方程代入，得，設交點，所對應的參數(shù)分別為，，則，∴，當即時取等．11．在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線，的極坐標方程；（2）在極坐標系中，射線與曲線，分別交于，兩點（異于極點），定點，求的面積【答案】（1），；（2）【解析】（1）曲線的極坐標方程為：，因為曲線的普通方程為：，曲線的極坐標方程為．（2）由（1）得：點的極坐標為，點的極坐標為點到射線的距離為的面積為.12．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線和的直角坐標方程；（2）若點為上任意一點，求點到的距離的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】（1）由消去參數(shù),得,則曲線的普通方程為．由,得,即．則曲線的直角坐標方程為．（2）曲線上的任意一點到曲線的距離為,故點到曲線的距離的取值范圍為．13．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且與交于，兩點，已知點的極坐標為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程，并求的值；（2）若矩形內(nèi)接于曲線且四邊與坐標軸平行，求其周長的最大值.【答案】（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為；（2）【解析】（1）依題意，得點的直角坐標為，曲線的普通方程為.由直線，得其直角坐標方程為.所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入中，可得，所以.（2）不妨設點在第一象限，且，.由橢圓的對稱性可知，矩形的周長為.而，所以當時，矩形的周長取最大值，最大值為.14．在極點為O的極坐標系中，直線上有一動點P，動點M在射線OP上，且滿足，記M的軌跡為C．（1）求C的極坐標方程，并說明C是何種曲線；（2）若，，均在曲線C上，求的面積．【答案】（1），C是除去極點的圓；（2）.【解析】（1）設，，由題意得所以又，所以C是除去極點的圓：．（2）由已知，，因為所以且∴．15．在極坐標系中，直線，圓.以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系.（1）求直線的直角坐標方程和圓的參數(shù)方程；（2）已知點在圓上，到和軸的距離分別為，，求的最大值.【答案】（1）直線的直角坐標方程為：；圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）；（2）7【解析】（1）由得，；所以直線的直角坐標方程為：；由圓得，，因為，，，所以圓直角坐標方程為：由得，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），（2）設點坐標為，則，．那么，當時，取得最大值7．16．在直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓C的極坐標方程；（2）直線l的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段的長.【答案】（1）；（2）2【解析】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標方程為.（2）設，則由解得，，得；設，則由解得，，得；所以17．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足|，求點的軌跡的直角坐標方程；（2）射線與曲線分別交于兩點，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）設點，點，為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，，，代入點的軌跡方程為：，，點的軌跡的直角坐標方程為．（2）設點，點，分別代入的極坐標方程中，則，解得，18．在直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)）.以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與，在第一象限分別交于，兩點，為上的動點.求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)依題意得,曲線的普通方程為,曲線的極坐標方程為,直線的直角坐標方程為．(Ⅱ)曲線的直角坐標方程為,設,,則,即,得或(舍),,則,到的距離為,以為底邊的的高的最大值為,則的面積的最大值為19．在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）若射線分別交于A，B兩點，求的最大值.【答案】(1),(2)【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為消去參數(shù)，得，轉(zhuǎn)化為極坐標方程為曲線的參數(shù)方程為消去參數(shù)，得，轉(zhuǎn)化為極坐標方程為（2）因為射線分別交于A，B兩點，所以所以.所以，當時，的最大值為20．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，以