高中數(shù)學第二章一元二次函數(shù)方程和不等式22基本不等式基本不等式的應用第一冊數(shù)學教案

第2課時基本不等式的應用利用基本不等式證明不等式已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求證：1－11－11－1≥8.abc【證明】由于a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，11－ab＋c2bc所以a－1＝a＝a≥a，12ac12ab同理b－1≥b，c－1≥c.上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，1112bc2ac2ab得a－1b－1c－1≥a·b·c＝8.當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立．3111在本例條件下，求證：a＋b＋c≥9.證明：由于a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，111所以a＋b＋c＋＋c＋＋ca＋＋＝a＋b＋cbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c3＋2＋2＋2＝9.1當且僅當a＝b＝c＝3時，等號成立．利用基本不等式證明不等式的思路利用基本不等式證明不等式時，要先察看題中要證明的不等式的構(gòu)造特點，若不可以直接使用基本不等式證明，則考慮對代數(shù)式進行拆項、變形、配湊等，使之達到能使用基本不等式的形式；若題目中還有已知條件，則先察看已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換．此外，解題時要時刻注意等號可否取到．1．已知a，b都是正實數(shù)，且ab＝2，求證：(1＋2a)(1＋b)≥9.證明：由于a，b都是正實數(shù)，且ab＝2，所以2a＋b≥22ab＝4，當且僅當a＝1，b＝2時，等號成立．所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.即(1＋2a)(1＋b)≥9.2．已知

a，b，c＞0，求證：

a2＋b2＋c2≥a＋b＋c.bca證明：由于

a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得

a2b2c2b＋b≥2a，c＋c≥2b，a＋a≥2c，a2

b2

c2

a2

b2

c2所以b＋c＋a＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故b＋c＋a≥a＋b＋c，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．利用基本不等式解實質(zhì)應用題某食品廠按期購置面粉，已知該廠每日需用面粉

6噸，每噸面粉的價錢為

1800元，面粉的保存費及其余花費為均勻每噸每日

3元，購置面粉每次需支付運費

900元．求該廠多少天購置一次面粉，才能使均勻每日支付的總花費最少？【解】

設(shè)該廠每

x天購置一次面粉，其購置量為

6x噸．由題意可知，面粉的保存費等其余花費為

3×[6

x＋6(x－1)＋6(x－2)＋＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．設(shè)均勻每日所支付的總花費為

y元，1

900則y＝x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋x＋1080990029x·x＋10809＝10989(元)，900當且僅當9x＝x，即x＝10時，等號成立．故該廠每10天購置一次面粉，才能使均勻每日所支付的總花費最少．利用基本不等式解決實質(zhì)問題的思路利用基本不等式解決應用問題的重點是建立模型，一般來說，都是從詳細的幾何圖形，b經(jīng)過有關(guān)的關(guān)系成立關(guān)系式．在解題過程中盡量向模型

ax＋x≥2

ab(a>0，b>0，x>0)上靠攏．1．某企業(yè)購置一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場剖析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲取的總收益2*y(單位：萬元)與機器運行時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x＋18x－25(x∈N)，則當每臺機器運行________年時，年均勻收益最大，最大值是________萬元．分析：每臺機器運行x年的年均勻收益為y＝18－x＋25，且，故y≤18－225＝，xxx>0x8當且僅當x＝5時等號成立，此時年均勻收益最大，最大值為8萬元．答案：582．用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為xm、寬為ym，則2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜園的面積為xym2.x＋y18由xy≤2＝2＝9，可得xy≤81，當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝y(tǒng)＝9時，等號成立．所以，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積為81m2.基本不等式的綜合問題2若不等式9＋a≥＋1(常數(shù)a＞0)對全部正實數(shù)x成立，求a的取值范圍．xxa22【解】常數(shù)＞0，若9＋a≥＋1對全部正實數(shù)x成立，則＋1≤9＋a的最小值，axxaaxx22又9＋a≥6a，當且僅當9＝a，xxxx即x＝a時，等號成立．31故必有6a≥a＋1，解得a≥.1所以a的取值范圍為a≥5.a≤f(x)恒成立?a≤f(x)的最小值．a(chǎn)≥f(x)恒成立?a≥f(x)的最大值．[注]f(x)表示有關(guān)x的代數(shù)值a已知不等式(x＋y)x＋y≥16對隨意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為( )A．1B．2C．4D．64a4yax4yax分析：選C.(x＋y)(x＋y)＝4＋a＋x＋y，由于x＞0，y＞0，a＞0，所以x＋y≥4a，當且僅2x·y＝444＋a＋4a≥16，即a＋4a－12≥0，解得a≥2或a當x＝y(tǒng)時取等號．由已知可得≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值為4.1．若，∈R，判斷大小關(guān)系：2＋2________2||.()abababA．≥B．＝C．≤D．＞分析：選A.由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，當且僅當|a|＝|b|時，等號成立．2．某企業(yè)一年購置某種貨物400噸，每次都購置x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲花費為4x萬元，要使一年的總運費與總儲存花費之和最小，則x＝________噸．400分析：每年購置次數(shù)為x次．所以總花費＝400·4＋4x≥26400＝160，x16004x，當且僅當＝x即x＝20時等號成立．答案：203．已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.證明：由a，b，c，d都是正數(shù)，得ab＋cdab·cd，2ac＋bd≥ac·bd，2所以（ab＋cd）（ac＋bd）≥abcd，4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.[A基礎(chǔ)達標]1．設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不必定成立的是( )1A．a(chǎn)＋b＋≥22ab2aba＋b≥aba2＋b2≥a＋bab11D．(a＋b)a＋b≥4分析：選B.由于a>0，>0，b112，當且僅當a＝b且2ab＝12所以a＋b＋≥2ab＋≥2即a＝b＝時取ababab2等號，故A必定成立．由于a＋≥2>0，所以2ab≤2ab＝，當且僅當＝b時取等號，baba＋b2ababa2ab所以a＋b≥ab不必定成立，故B不可立．由于2ab≤2ab＝，當且僅當a＝b時取等號，a＋b2abab所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab2ab≥2ab－ab，當且僅當a＝b時取等號，a＋b＋b＝a＋b－＋baaa2＋b2ab，所以a＋b≥a2＋b2所以

≥a＋b，故

C必定成立．a(chǎn)b由于(a＋b)

11a＋b

ba＝2＋a＋b≥4，當且僅當

a＝b時取等號，故

D必定成立，應選

B.12．若

0<a<b，a＋b＝1，則

a，2，2ab中最大的數(shù)為

(

)A．a(chǎn)

B．2ab1C.2

D．沒法確立1分析：選

C.由于

0<a<b，a＋b＝1，所以

a<2，由于

ab<

a＋b2

2

1＝4，所以

12ab<2，11則a，2，2ab中最大的數(shù)為2，應選C.3．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備花費為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平x1元．為使均勻到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費均倉儲時間為8天，且每件產(chǎn)品每日的倉儲花費為用與倉儲花費之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品( )A．60件B．80件C．100件D．120件分析：選B.設(shè)每件產(chǎn)品的均勻花費為y元，800x800x由題意得y＝x＋8≥2x·8＝20.800x當且僅當x＝8(x>0)，即x＝80時“＝”成立，應選B.b－a＋14．已知a<b，則b－a＋b－a的最小值為()A．3B．2C．4D．1分析：選A.由于a<b，所以b－a>0，由基本不等式可得b－a＋1＋－＝1＋1＋(b－)≥1＋21·（－）＝3，b－abab－aab－aba當且僅當1>)，即當－＝1b－a＋1的最＝－(時，等號成立，所以，b－a＋－b－ababababa小值為3，應選A.5．已知2112＋≥9恒成立，則的最大值為()>0，>0，＋＝，若不等式abab6abmmA．8B．7C．6D．5分析：選C.由已知，21可得6a＋b＝1，所以

2a＋b＝6

21a＋b

·(2a＋b)＝65＋

2ab＋

2ba

≥6×(5＋4)＝54，當且僅當

2ab＝

2ba時等號成立，所以

9m≤54，即

m≤6，應選

C.a6．已知

y＝4x＋x(x>0，a>0)在

x＝3時獲得最小值，則

a＝________．a(chǎn)

a

a分析：y＝4x＋x≥2

4x·x＝4

a(x>0，a>0)，當且僅當

4x＝x，即x＝

a時等號成立，此時2

y獲得最小值

4

a.又由已知x＝3時，y的最小值為4a，a所以2＝3，即a＝36.答案：3617．若a＜1，則a＋a－1與－1的大小關(guān)系是________．分析：由于a＜1，即1－a>0，所以－a－1＋1＝(1－a)＋1≥2（－）·1＝2.a－11－a1a1－a1即a＋a－1≤－1.1答案：a＋a－1≤－18．(2019·揚州期末

)如圖，在半徑為

4(單位：cm)的半圓形

(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形資料

ABCD，其極點

A，B在直徑上，極點

C，D在圓周上，則矩形

ABCD面積的最大值為________(單位：

2cm)．分析：如下圖，連結(jié)，設(shè)＝(0<x<4)，則＝2－2＝16－x2，＝2＝2，OCOBxBCOCOBABOBx所以由基本不等式可得，矩形的面積為＝·＝2x·16－2＝2（16－2）2ABCDSABBCxxx(16－x2)＋x2＝16，當且僅當16－x2＝x2時，即x＝22時，等號成立．答案：169．已知x＞0，y＞0，z＞0.yzxzxy求證：x＋xy＋yz＋z≥8.證明：由于x＞0，y＞0，z＞0，yz2yz＞0，所以x＋x≥xxz2xzy＋y≥y＞0，xy2xyz＋z≥z＞0，yzxzxy所以x＋xy＋yz＋zyz·xz·xy≥

xyz

＝8，當且僅當

x＝y(tǒng)＝z時等號成立．21m10．已知a＞b＞c且a－b＋b－c≥a－c恒成立，務實數(shù)m的最大值．解：由題意，a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，又2＋1≥m，即2（a－c）＋a－c≥，a－bb－ca－ca－bb－cm即2（a－b＋b－c）a－b＋b－c＋≥，a－bb－cm又2＋2（b－c）a－b≥3＋22(當且僅當a－b＝2(b－c)時取等號)．a(chǎn)－b＋1＋b－c所以實數(shù)m的最大值為3＋22.[B能力提高]11．若實數(shù)x>0，y>0，且x＋4y＝xy，則x＋y的最小值為()A．7B．8C．9D．10分析：選C.依據(jù)題意，實數(shù)x>0，>0，若x＋4＝xy，則1＋4＝1，yyyx14x4yx4yx＋y＝(x＋y)y＋x＝y(tǒng)＋x＋5≥2y×x＋5＝9，當且僅當x＝2y時等號成立，即x＋y的最小值為9，應選C.21m12．已知a＞0，b＞0，若不等式a＋b≥2a＋b恒成立，則m的最大值等于()A．10B．9C．8D．7分析：選B.由于a＞0，b＞0，21m2（2a＋b）2a＋b2b2a2b2a所以a＋b≥2a＋b?a＋b＝5＋a＋b≥m，由a＞0，b＞0得，a＋b≥2b2aa·b＝4(當且僅當a＝b時取“＝”)．2b2a所以5＋a＋b≥9，所以m≤9.應選B.1113．已知正實數(shù)a，b知足a＋b＝4，求a＋1＋b＋3的最小值．11解：由于a＋b＝4，所以(a＋1)＋(b＋3)＝8，所以8a＋1＋b＋3＝[(a＋1)＋(b＋3)]11b＋3a＋1b＋3a＋1a＋1＋b＋3＝＋＋b＋＋2≥2＋·b＋＋2＝4，a13a13111所以a＋1＋b＋3≥2，當且僅當a＋1＝b＋3時，等號成立，111所以a＋1＋b＋3的最小值為2.14．(2019·福建莆田八中期中考試)某品牌電腦體驗店估計整年購入360臺電腦，已知該品牌電腦的進價為3000元/臺，為節(jié)儉資本決定分批購入，若每批都購入x(x∈N*)臺，且每批需付運費300元，儲藏購入的電腦整年所付保存費與每批購入電腦的總價值(不含運費)成正比(比率系數(shù)為k)，若每批購入20臺，則整年需付運費和保存費7800元．(1)記整年所付運費和保存費之和為y元，求y對于x的函數(shù)；若要使整年用于支付運費和保存費的資本最少，則每批應購入電腦多少臺？360解：(1)由題意，得y＝x×300＋k×3000x.當x＝20時，y＝7800，解得k＝0.04.360360*所以y＝x×300＋0.04×3000x＝x×300＋120x(x∈N)．360360×300(2)由(1)，得y＝x×300＋120x≥2x×120x＝2×3600＝7200.當且僅當360×300＝120x，即x＝30時，等號成立．x所以要使整年用于支付運費和保存費的資本最少，每批應購入電腦30臺．[C拓展研究]15．志愿者團隊要設(shè)計一個如下圖的矩形隊徽，已知點E在邊上，＝，ABCDCDAECEAB>AD，矩形的周長為8cm.(1)設(shè)AB＝