二重積分的變量變換公式_第1頁
二重積分的變量變換公式_第2頁
二重積分的變量變換公式_第3頁
二重積分的變量變換公式_第4頁
二重積分的變量變換公式_第5頁
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文檔簡介

關于二重積分的變量變換公式第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×證

根據(jù)定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標軸的

直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy

面上得到一個四邊形,其對應頂點為則第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×同理得當h,k

充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四

邊形,

故其面積近似為第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標轉化為極坐標時,

第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×例1

計算其中D是x=0,y=0,

x+y=1所圍區(qū)域.解則令第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×例2

求拋物線y2=mx,y2=nx

和直線所圍區(qū)域D

的面積.解令第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×當積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,

或者被積函數(shù)含有x2+y2

時，采用極坐標變換往往能簡化二重積分的計算.此時,

二、用極坐標計算二重積分第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×則(ii)若原點在D

內(nèi)，則(i)若原點在D

外，第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×(iii)若原點在D

的邊界上，(iv)若區(qū)域D

可表示為則第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×例4

求球體

被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解由對稱性可知第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×例5

計算

其中解的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于坐標計算.作極坐標系變換，有第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期二首頁×例6

試計算橢球體解

由對稱性令則的體積V.第13

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