2022考研數(shù)學一真題及答案解析

2022考研真題解析暨復試備考策略

2022考研數(shù)學一真題(完整版)

一.選擇題

1.設函數(shù)〃X)滿足=則().

Inx

(A)/(1)=O(B)hm/(x)=0(C)/*(l)=l(D)bm/F(x)=l

2.設函數(shù)二=其中/⑼可導,若逐+疼二月iny-lnx).則(

M沙ar/

(A)/(1)=；，,(1)=0<B)y(i)=o,r(i)=；,

(C)/(i)=i.r(i)=i(D)/(1)=O,/*(1)=I

3.已知數(shù)列KJ,其中一1則().

(A)當limcos(smx“)存在時，lim.、存在

(B)當limsin(cosjr)存在時，limx存在

當存在時,生存在，但工不一定存在

(C)limcoslsinxjlimsin—liin

(D)當limsin(cos5)存在時，hmcosA；存在，但limx,不一定存在

'?TXAMD

4已知六麗此"J；初0=k備產(chǎn)則().

(A)11</2<J3<B)I2<1,<1,<C)IX<I,<I2(D)"v/2V'

5.下列四個條件中，3階矩陣W可對?；囊粋€充分但不必要條件是().

(A)A有3個互不相等的特征值

(B)A有3個線性無關的特征向地

(C)A有3個兩兩線性無關的特征向量

(D)A的屬于不同特征值的特征向量正交

6.沒48為〃階矩陣.E為單位矩陣，若方程組與8廠0同解,則().

(A)方程組，卜，=0只有零解

(B)方程組：］y=0只有零解

j=0與gAy=0同解

(C)方程組

kOAt

2022考研真題解析暨復試備考策略

(D)方程組呼"二。與M:b=O同解

.oA\OB

T

1，若向量組4a2。,與因?勺等價,則入的取值

入

范圍是()

(A){0,1}(B)

(C)(川AwR/If-L2/—2}(D)(兄人€&,2f-1}

8.設隨機變星X~U(0,3),隨機變量Y服從參數(shù)為2的泊松分布,且X與Y的方差為4.

則。(2*-丫+1)=().

(A)1(B)5

(C)9(D)12

9.設隨機變甲乂.乂?…,X”獨立同分布，旦乂的4階矩陣存在，記必=￡(X；)(*=1.234).

*

則由切比雪夫不等式，對任意￡>0,有尸4fx-內(nèi)之￡￡().

\n4-1

(A)(B)HyHl(C)CD)

WEWEVME

10.設防機變量X~N(0,l),在X=x條件F.隨機變量y~N(X.l).則X與Y的相關系數(shù)為

()

(A)；(B)|(C)*(D)孝

二.埴空鹿

11.函數(shù)/(xj)=/+2/在點(0.1)處的最大方向?qū)е率?/p>

13.當時，/+/<人""恒成立.則A的取值范圍是.

14.已知級數(shù)￡與-肛的收斂域為(4+S)，則a=.

”1n

15.已知用陣/和E-/1可逆，其中E為單位矩陣，若矩陣3滿足［E-(E-.4)T,=人則

2

2022考研真題解析暨復試備考策略

B-A=.

16.設48.C為隨機事件，且力與B互不相容，力與C互不相容，6與C相互獨立，

P(/i)=P(B)=P(C)=iji|P(SUC|JU5UC)=.

三.解答題

1

17設函數(shù)y(工)是微分方程了十J，=2+NG滿足條件)，(1)=3的解,求曲線y=y(x)的漸

2-77

近線.

計算/二的臺州.

18.已知平加區(qū)域D二{(廠小一2。J4一廣0”42}

DA干y

19.已知Z為曲面4*、)，、工:1.。70.］，之0之之0)的上側(cè)，「是Z的邊界曲線，其正向與Z

的正法向呈滿足右手法則，計算曲線積分，=J(產(chǎn)2-8§二)&+2比孫+(2#+xsm:)d::.

r

20設函數(shù)/(x)在(9?+8)上有二階連續(xù)導數(shù)，證明:/?(x)NQ的充要條件是:對不同的實

數(shù)《竽卜右門⑴小

13

21.已知二次型/(小。，與)=工￡冉乃,

M

(1)求二次型/(4與用)的矩陣；

(2)求正交變換*=0將/(不占多)化為標準型:

(3)求/(孫超，勺)=0的解.

22.設乂,占，…，尤是來白均值為6的指數(shù)分布總體的簡單隨機樣本,,…，匚是來自均值

為2。的指數(shù)分布總體的簡單隨機樣本,旦兩樣本相互獨立.其中，(6＞。)是未知參數(shù)，利

用樣本乂，乂，…，工,m…工.求。的極大似然估計鼠譏并求?；?

3

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

一、選擇頗1-10小康保小趣5分，共50分,下列每毯給出的四個選項中，只有一個選項是符合題n

要求的，請將所選選項前的字母填在答題卡指定位置.

(1)設函數(shù)f(x)滿足lim典=1,則()

H\nx

(A)/(1)=0(B)lim/(x)=0

(0/'⑴=I(D)lim//(j：)=)

【答案】(B)

【解析】limlimlnx-0.

IInx

故選(B).

(2)設函數(shù)￡=xrf|2,其中/(〃)可導，若工三十?=二/(Iny-lnx),則()

yx)'uxdy

(A)/(1)=:,/'(D=0(B)/(l)=04/r(D=1

(。八1)=；/。)=1(D)/(D=o，AD=i

【答案】i：B)

2

i解析】v二w(馬十町八與G)r(-),

orxxxxxx

合=巾4=M、(￡)+WY馬，

C\rXXXXX

則X?+y==2x}/(2),故2可/(上)=y2(Inv-lnx),

uxdyxx

則f(—)=--In—.令上=〃,所以f(〃)=!"ln〃，

x2xxx2

牧/3=oj'⑴=；.

故選(B).

⑶已知數(shù)列｛乙｝,其中一gajwg?則()

(A)當!吧a雙sin與)存在時，!iT為存在.

1

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

⑻當limsin(cosx〃)存在時，「mx”存在.

(C)當limcolsinx,)存在時，"msin5存在，但仙】】七不一定存在.

(D)當limsin(cwiL)存在時,limccs^存隹.但limx”.不?定存在.

'「，1乃"TS，1W

【答案】(D)

【解析】舉反例，令兀=(-1)”可排除ABC.

故逸(D).

(4)已知4=J:不」----,人=［：,人=，Z：&，則()

2(l+cos,v)-J(,1+cosxJo1+sinx

(A)U</3.(B|Z2</,</v

(C)I,<L<!2.

r答案】(A)

【解析"NTT七"/寸：瞿/八力高女

2

先比較.，/,大小

令/(J)=A-|n{]+x),.r€(0J)Jl/(0)=(J,則

r(^=I-T77=:;i777)<(),即/(“)單調(diào)通減‘則‘⑴<"0)=0,

即5clMI+x),工w(0.1)?則/(</2.

中比較小/工大小

因(一小號?！?、則舊蕓X

m"+3”(__:-,從而4＞，2?

I+smx

2

綜上所述，故選/1.

⑸卜述匹個條件中，3階知阡力可對加化的一個充分但不必要條件是()

(A)4有3個互不相等的等征值

(B)A有3個找性無關的特征向量

(C)A有3個兩兩線性無關的特征向量

(0)4的屬于不同價征值的特征向量正交

【答案】⑶

■2

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

【解析】對于選項(A),因為4有三個不同的特征值，所以4營三個無關的特征向量.即，可相似

對用化，但是/1可相似對用化，不一定有三個不同的特征值，可以有也特征值.故選|A).

(6)設48為M階矩區(qū),E為單位矩陣.若方程組4丫三0與樂?二0同解，順)

A

聞方程組丁二0只有奉蟀.

ER)

、

出)方程組(E、A卜=。只仃零解.

dB)

一口仍八J8八八

(C)方程組八,,「=°勺1，=0同解.

()3(Z)1A

(ABB>(BAA

①)方程凱，、/y二0與y二0同蟀.

I。A)I。B

【答案】(C)

【解析】令J'=(:

尸。九78A8丫(BAVU

“1J7=0同解等價于=0與=0同解.

Ax)

〃=。與卜q

(力/=Au+Bx=即+4丫=0~

即4同解.

以=04t=0

Ait=0=0

所以霽價于八同解.

Bx=qAx=0

Au=0Bu=0

因為〃=0勺/%=0同解，所以與t同解.所以C正確.

Bx=0Ax=U

⑴zI'

⑺設％=1?a.=A]A，若向量"%.生?生與等價.則之

a

的取伯;電田是(

聞{0,1}(B)

(0口|/is火/7谷-2}(D)|A；Z€K/=-1}

【答案】?

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

ZII「F?A萬

【解機】因為(q,%,&,c)=IAI4-0乂-1l-AA-A2

JIA1J[o1-A1一儲l一萬

rI1zA2

—>02-11—2九一

J0(2+2)(1—⑷U+l)七一刈/

①,當4工1且乂w—2且4w—l時.

I%,。2?。4）二3

故41,/,&與4。2，%等價.

②.當;1=1時

I1II、

(?,生,％9%)—>0000

X0000/；

可得r(％,%,以J二尸I%,%,4)二1

故ai,a”a,與因:&力。4等價.

③,當4=—2時

II-24、

—0-33-6

0003,

可得廠（。]?2，4）二2工〃（口】?%.4）=3

故a”%,%與4,%，%不等價.

④.當％=-1時

1]-11s

（小a”a、，M）->0-22-2

0020）

可得Ma'%，％）=3#r（佝,％9aJ=2

故風,見.%與4?巴?4不等價?

綜上,（C）正確.

⑻設隨機變量x~u（o,3）,隨機變量y服從參數(shù)為2的泊松分布，且x與y的協(xié)方差為一i.則

。（2萬-了+1卜（）

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

(A)1(B)5⑼12

【答案】(C)

(3-0f

【解析】不~以0.3),二=|；y~0(2),D(y)=2,

12

因此。(2Xy+!)=4D(X)+D(r)2Cpv(2Xr)^4--+24?(1卜9,故選(C),

w4

⑼設隨機變量M.占，…，天獨立同分仙.tig的4階矩存在，記4="片)代=1,2,3,4),

則由切比雪夫不等太，對任意6>0〃。)口￡*，一必>6^<()

(A)

汽6sins"

<，7匚

【答案】(A)

【睇機】E［含叼樣片(用=￡(用).，

D二￡。(明似*：卜四叼丫卜加一用，

"M/n(.1，7i.i'/fi

D

根據(jù)切比雪夫不等式，尸?一至3二守.故選⑹.

(10)設的機變般X-N(0.1)?&X=x條件卜，隨機殳髭丫一。(?11)?則X與丫的相關系數(shù)為

(A)：

(B)-(q(。)—

T2

【答案】(D)

q

［解析］法?：由雙m，Y的概率密度為八(1)二“2?當犬二工時,y的條件概率密度為

、⑵T

I11F：I±"/Irz

fv..(y\x)=-=e~.所以(X,>')的概承您應為〃x.y)=—e^~=—c?丁.

。2燈,2不2不

5■

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

Ir2ML牝Ia]

由二雒止態(tài)分布的概率密度〃刈)，)=------1----re"處"；?可知,

2wJ]”？

(X,y)-N(0,012；T).故選(D).

2

廣,比,4c、rf

法二：EY=LL.17(乂)')"寸=1/(K)aq一如入(用#)公

rMCIr2X

=I-7=-e2E{Y\X=x^=I-7=eJcZr=0

JsVZTJ"J2況

yjxyj\x.y)dxdy二J：xj\(x)dxjJx]dx

=[T-4=xe^E(Y\X=x)dx=dx=EX?=1

JT42TTJa缶

￡尸=J：]二/7(My)&fy=匚八⑶肛〉/》。I》)小

=[2以yrX=K)心=f2〃=￡(X-+D=2

Jr72%Jy<27

故Coi(X,y)=L)=2

所以°=溪常=9’故送⑼-

二、境空整小題,攤小題5分，共30分.

(II)函數(shù)〃MJ)=K?+2/在點(0,1)的最大方向?qū)?shù)是

【答案】4

【解析】?(cosa,sin?)-(2x,4v)Lri-(cosa,sina)

=4sina04,其中方響丁=(cosa,sina),故最大伯為4.

⑴)I5Inx,

【答案】4

'竿2力=4/lnr|；一4,八/=4e—4/|；=4.

【解析)弓二Zv

yfx

(13)當XN。，j)0時戶2+/4心門-怛成立，則4的取位范匝是

■6

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

【答案】[々a）十引

【解析】悚式等價為+/%3叼式力

令1/（Xv）-（x2+y~

f'—2xe""—（『+]/）《M二（2工一工？一y，■'"=0

/；=2”《小一，十J"七+＞）=（2）-—/『"刁=0

,[2x-x2-y2=0

*|2y-x2-/=0

得_r=y=1或x=y=0

2

/(0.0)=0,./(Ll)-2f-

：.k>2e".

（14）已知級數(shù)

故X>—1,(1=—1.

（15）一知即陣4和E-4可逆，其中￡為單位矩陣，若雨陣8滿足（K—（E—片廠）/?=/,則

B-A=.

【答案】-E

【解析口由散可得.

8-(￡一4'3=4n8-A=(E-A)'8=(￡一力)(4一/)=3

=>(E-A)(R—A)—A+A=>[E-A—E)(R-A)-AB—A--E.

（16）設48,C為通機擠K，nMOBU不相容,/JOU不相容,84c相4：獨匯

P(A)=P(B)=P(C)=-,則P(HUCAUB(JC)=

p(^uc)

【解析】P（BUC|』U“UC）—

。(/U/?Ur)

7■

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

因為尸（力Uc）二尸（〃）+P（C）-尸（，。）二產(chǎn)（。）+P（C）-P（。）尸（。）二:

p（/<UfiUc）=p（/i）+P（z?Uc）-p（/in（z?Uc））=p（j）+P（fiUc）=-

■

所以P（AUCMU3UC）=±.

三、解答牌:17~22小題，共加分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（17）（本題滿分10分）

設函數(shù)乎卜）是微分方程+滿足條件y（））=3的解，求兩戰(zhàn)y=y（x）的漸

2\x

近線.

［解析】

jl乩.（1濡-___

火燈=/2小卜2+石冒茄dx+C=夕a［J（2+4）￡5出+0］二?&（加忑+，：）

一—

=2x+a?T"其中。為任意常數(shù)，又MD=3,則C=e,故y（x）=2x+￥7工

v)犬主￡-Jx

lim^=lim------------=2,b=lim(y-2x)=limeK^r=O,貝]y二2人為曲線y=乎(刈的

XK-2XX->+ocK-K

斜漸近線.

(18)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域D={(二,)|v-2<^<V4-.r.0<,v<2；,計算/="("：心如

(解析]/=JJI；dxify=j2(c(w0-sindoRjdr+J：(cos/?-sin"d叱?<8。汨/

Dx+y2

=2^(]-2sincos9)d0+2dO-2(^-sin?9*+笈=2(^-1)+^=2^-2.

(19)(本題滿分12分)

已知￡為曲面4工？+y+z?=l[x>0.>>0.z>0)的卜側(cè).Z為Z的邊界曲線,其正向與Z的

止法向吊滿足右手法則，計算曲線枳分

/=j(jxz:-coszJcZv+2皿：心，+(2町北十工$汕2)出.

【解析】由斯托克斯公式/=J(〉N'-COSZ)小十2人？-力+(2砂Txsine)應

■8

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

dvdzdzdxdxch：

J?r

aa

jj一x2zdyd二+二]dxcfy

不

E

Jvr2-cos-2E2xi二+xsin-

JJ|_2jvJ]_4/_y2+]_41二一產(chǎn)四苗,

Jjl-12/一j.2dMi=￡—]J]2x2+y2M

令X=2xJ=匕趾式化為

2:

---ffSY+r^\w=--i3rcos^+rsiirOd0=O.

°乙.“Wimzu0乙

201本網(wǎng)滿分12分)

設函數(shù)/(》)在(F,+8)內(nèi)只有2階連續(xù)步數(shù).證明：20的充分必要條件是：對不同實

數(shù)a,b,/(￡±^)^―!—C/(xk&.

2卜一。」“

I解析】必耍卷令F(x)=(工—。)/(管)-[f⑺丸產(chǎn)⑷=0，

/⑴=/(審)+3?4)“彳>f(x)=；(￥-〃)/,(—)-1/(r)-/(審)

NL乙乙—乙一

2*>22L*?」4?

I月為/?(x)20n/'a)單科說增=F'(x)W0=F(x)單膽通戰(zhàn)，F(xiàn)(b)￡F(G=0,4不等式成

立：

充分性：(反證法〉假設3Ao，使褥/"(凡)<0，山./"(X)的范續(xù)性以及極限的同部保號性可得；

我的小鄰域(j4)使得CMv0.時FVx￡(cM,從而-CM>5

令。(幻=1/⑺M-(x-c)八一)，G(c)=0,

.

G(r)二〃/"⑷)一八\^),其中”

=(a-e)(ij-^-Yf*(/)<0,共中丁亡.77).

——‘

9■

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

故僅工）單調(diào)遞減，所以G'm）v（j（c）=On」一「〃力c〃v/（士1，這個與題設條件

d-c2

〃小）4—!—「“*皿矛盾,故對于版x,有f”（x）NO,證畢.

28一小

（21）（本題滿分12分）

aA

已知一次型/（工”三，心）=ZZ>j/?

i-lj=l

（1）寫出/（』,上,XJ對應的矩防：

⑵求止交變換X=0將/（X,m,.0）化為標準形；

⑶求/住1，三.々）二0的胞

33

【解析】（1）二次型/（3,巧,=辦'=*：+4工；+9工：+4*6+6為工3+12可工，

，工?

j23'

則二次生矩陣為A=246.

136刃

Z-1-2-3

（2）\AE-A\=-2A-4-6=*（4-14）=0,特征值為4=14,4=4=0.

-36"9

4=14時,—力卜=0的息咄解系為因=（1,2.3）‘：

/=4=0時.由（久我一力）工=0的域礎解系為%=（一210）‘，?=（-3,—6,5）1

%,%，%已經(jīng)正交，將它們單位化得到

幺=2（123）/,4=312.1.0），氏二」（一3,-6.5），

，令正交矩陣0=（方.旦.左）,

x/5弋70

棄過正交變換x=Qy,二次鞭化為/（M，）wJ=I4y；.

⑶/（不芍，-）=°時，則/（+%，%）=1"；=0故必=0.

22年碩士研究生入學考研數(shù)學一真題

1赤

2

則

6

6必

=%一

《占

所以

.

實數(shù)

任意

尤為

y＞

2

J

Z

3

二5%

、七

0

VM

）

17分

淌分

（本題

（〃）

為

均值

樂門

，匕為

九…

本.小

機樣

單隨

的簡

總體