2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第25講 調(diào)和點列-極點極線

第25講調(diào)和點列—極點極線一、問題綜述（一）概念明晰（系列概念）：1.調(diào)和點列：如圖，在直線上有兩基點，則在上存在兩點到兩點的距離比值為定值，即，則稱順序點列四點構(gòu)成調(diào)和點列（易得調(diào)和關(guān)系）。同理，也可以為基點，則順序點列四點仍構(gòu)成調(diào)和點列。所以稱和稱為調(diào)和共軛。2.調(diào)和線束：如圖，若構(gòu)成調(diào)和點列，為直線外任意一點，則直線稱為調(diào)和線束。若另一直線截調(diào)和線束，則截得的四點仍構(gòu)成調(diào)和點列。3.阿波羅尼斯圓：如圖，為平面中兩定點，則滿足的點的軌跡為圓，互為反演點。由調(diào)和點列定義可知，圓與直線交點滿足四點構(gòu)成調(diào)和點列。5.極點極線：如圖，互為阿圓反演點，則過作直線垂直，則稱為的極點，為的極線.6.極點極線推廣（二次曲線的極點極線）：（1）.二次曲線極點對應(yīng)的極線為（半代半不代）（2）圓錐曲線的三類極點極線（以橢圓為例）：橢圓方程①極點在橢圓外，為橢圓的切線，切點為則極線為切點弦；②極點在橢圓上，過點作橢圓的切線，則極線為切線；③極點在橢圓內(nèi)，過點作橢圓的弦，分別過作橢圓切線，則切線交點軌跡為極線；（3）圓錐曲線的焦點為極點，對應(yīng)準(zhǔn)線為極線.（二）重要性質(zhì)性質(zhì)1：調(diào)和點列的幾種表示形式如圖，若四點構(gòu)成調(diào)和點列，則有性質(zhì)2：調(diào)和點列與極點極線如圖，過極點作任意直線，與橢圓及極線交點則點成調(diào)和點列（可由阿圓推廣）性質(zhì)3：極點極線配極原則若點的極線通過另一點，則的極線也通過．一般稱、互為共軛點．推廣：如圖，過極點作兩條任意直線，與橢圓分別交于點，則的交點必在極線上，反之也成立。二、典例分析類型1：客觀題中結(jié)論的直接運用例1（2013?山東）過點作圓的兩條切線，切點分別為、則直線的方程為（）A． B． C． D．解析：直線是點對應(yīng)的極線，則方程為，即．故選A．例2（2010?湖北）已知橢圓的兩個焦點，點滿足，則的取值范圍為，直線與橢圓的公共點個數(shù)是．解析：由題知，點在橢圓內(nèi)部且與原點不重合．則當(dāng)點在線段上除原點時，，當(dāng)在橢圓上時，，則的取值范圍為．點和直線恰好是橢圓的一對極點和極線，因為點在橢圓內(nèi)，所以極線與橢圓相離，故極線與橢圓公共點的個數(shù)為0．點評：因客觀題不需要嚴(yán)格證明，所以一些高觀點的運用，往往能達到秒解的效果，從這兩個高考題也可看出，用普通方法也可解出結(jié)果，但用極點極線理論基本秒解，這就拉開了尖子生和普通生的差距，達到了高考選拔人才的功能。類型2：解答題中高觀點分析——記2010年江蘇卷一題多解（硬解/整體代換/仿射變換/調(diào)和點列/曲線系/極點極線）例3（2010江蘇18）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右頂點為F，設(shè)過點（）的直線與橢圓分別交于點，，其中,.（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設(shè)，求點的坐標(biāo)；（第18題圖）（3）設(shè),求證：直線必過軸上的一定點.（其坐標(biāo)與無關(guān)）（第18題圖）解析：方法一（高考標(biāo)準(zhǔn)答案1）：直線，直線，設(shè)，聯(lián)立與橢圓，則得，即，同理★處理一（特殊+驗證）：當(dāng)（垂直軸），解得，方程為，過定點；當(dāng)，，及三點共線，即過定點處理二（硬解直線方程）：由★得方程為：，令，解得，即過定點方法二（多元未知數(shù)整體處理此法適用于過橢圓兩頂點問題）：直線，直線，設(shè)，帶入直線消去得①由橢圓可得：，即，帶入①得，即②，①可變形（取倒）為③（②+③）/3得：（對比直線兩點式或與（1，0）斜率），即過定點方法三（伸縮（仿射）變換+調(diào)和點列）：補充知識.（1）放射變換為另一專題（2）如圖，在中，三條高交于點，高的垂足交于，則成調(diào)和點列，即本題證明：如圖，可將橢圓伸縮變換為，因為，則為高的交點，由上述性質(zhì)運用知成調(diào)和點列，即，設(shè)，則，解得，即過定點方法四（二次曲線系）：補充：二次曲線系性質(zhì)：若三個二次曲線系過4個相同的點，則一定存在兩實數(shù)，使得.（可根據(jù)六個單項式系數(shù)關(guān)系求解問題）本題證明：如圖，本題過四點的二次曲線有拋物線；直線和；直線和直線所以，觀察與的系數(shù)有，則，所以，則過定點方法五（極點極線）：補充：性質(zhì)3本題證明（利用性質(zhì)3）：如圖，點的軌跡方程為，即，又交點在上，由性質(zhì)2知，為極點,為對應(yīng)的極線，即交點為，即過定點點評：2010年江蘇高考題被公認(rèn)為史上最難高考之一，又一次把葛軍老師推向風(fēng)口浪尖，此題官方解答為常規(guī)解法，看似簡潔，其實其中計算量很大，據(jù)說當(dāng)年沒有考生在考場上將此題拿到滿分，難度可想而知，但通過高觀點（仿射變換/調(diào)和點列/二次曲線系/極點極線）分析，我們會發(fā)現(xiàn)原來如此“簡單”（直接是結(jié)論的考察），所以在平時教學(xué)中滲透高觀點下的解題思路十分必要，特別是對尖子生的培養(yǎng)。三、鞏固練習(xí)1.已知點為上一動點．過點作橢圓的兩條切線，切點分別，當(dāng)點運動時，直線過定點，該定點的坐標(biāo)是．2．（2014?遼寧）已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，過點的直線與在第一象限相切于點，記的焦點，則直線的斜率為（）A． B． C． D．3.（2011?希望杯）從直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點為，則弦長度的最小值為．4.（2009?安徽）已知點在橢圓上，，，直線與直線垂直，為坐標(biāo)原點，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為．（I）證明:點是橢圓與直線的唯一交點；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.5.（2011?四川）橢圓有兩頂點、，過其焦點的直線與橢圓交于、兩點，并與軸交于點．直線與直線交于點．（1）當(dāng)時，求直線的方程；6.（2008?安徽）設(shè)橢圓過點，且左焦點為．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交于兩不同點，時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上． 參考答案1.解析：設(shè)點的坐標(biāo)是，則切點弦的方程為，化簡得，令，可得，故直線過定點．2．解析：由題知，，則拋物線方程為，設(shè)過點作直線與拋物線相切與另一點，則經(jīng)過這兩個切點的連線就是點對應(yīng)的極線，其方程是。由于點在拋物線的準(zhǔn)線上，則焦點在點的極線上，三點共線，故選D．3.解析：設(shè)，易知的極線方程為，即可得弦必過，易得圓上，過的最短的弦長為．4.分析：（Ⅰ）由題知，與直線是橢圓的一對極點極線，則直線與橢圓相切，點為切點，5.解析：（2）此題可以用常規(guī)方法和曲線系法，具體內(nèi)容請參考上一講，本專題研究一下其