二階常系數(shù)非齊次線性微分

本文格式為Word版，下載可任意編輯——[二階常系數(shù)非齊次線性微分教學目的掌管二階常系數(shù)線性方程的求解方法教學重點二階常系數(shù)齊次和非齊次線性方程的求解教學難點二階常系數(shù)非齊次線性方程的特解二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式為這里p、q是常數(shù)，是x的已知函數(shù)．當恒等于零時，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，否那么稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．二階常系數(shù)線性微分方程證證與為為方程的解，那么那么，又，，定理即為為方程的解．于是在不恒等于常數(shù)的條件下，中含有兩個相互獨立的任意常數(shù)和所以是方程的通解．定理設(shè)設(shè)與為為的相互獨立的兩個特解即不恒等于常數(shù)，為為方程的通解，這這里與那么為任意常數(shù)．設(shè)為方程8-22的解，那么，代入方程8-22得.由于，所我們把代數(shù)方程8-23稱為微分方程8-22的特征方程，特征方程的根稱為特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三種不同的處境，相應地可得到微分方程8-22的三種不同形式的通解．以有（8-23）只要r得志8-23式，函數(shù)就是微分方程8-22的解．特征方程與特征根i當時，特征方程8-23有兩個不相等的實根和，此時可得方程8-22的兩個特解，ii當時，特征方程8-23有兩個相等的實根，此時得微分方程8-22的一個特解且常數(shù)，故是方程8-22的通解．為求8-22的通解，還需求出與相互獨立的另一解.特征方程與特征根不妨設(shè)，那么，，．將及代入方程8-22，得將上式約去并合并同類項，得由于是特征方程8-23的二重根，因此，且于是得不妨取由此得到微分方程8-22的另一個特解且常數(shù)，從而得到微分方程8-22的通解為即證明iii當時，特征方程8-23有一對共軛復根將和改寫成于是得到兩個新的實函數(shù)故微分方程8-22的通解為于是得到微分方程8-22的兩個特解但它們是復數(shù)形式，為應用便當，利用歐拉公式可以驗證它們?nèi)允?-22的解，且常數(shù)，證明綜上所述，求微分方程通解的步驟可歸納如下第一步寫出微分方程8-22的特征方程，求其次步根據(jù)特征根的不同形式，按照下表寫出微分方程出特征根；

8-22的通解表6-1求通解步驟例1求微分方程的通解．解所給微分方程的特征方程為特征根為于是，所求微分方程的通解為例2求微分方程的得志初始條件解所給微分方程的特征方程為特征根．故所求微分方程的通解為求導得將初始條件及代入以上兩式求得的特解．例題故所求特解為例3設(shè)函數(shù)可導，且得志試求函數(shù).解由上述方程知．方程兩邊對x求導得由此可得．上式兩邊再對x求導得這是二階常系數(shù)齊次線性方程，其特征方程為特征根于是，所求微分方程的通解為例題由此得由，得所以本節(jié)介紹的求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高階的常系數(shù)齊次線性方程．例4求四階微分方程的通解．解所給微分方程的特征方程為，即其特征根為于是得方程的通解例題二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程從其次節(jié)的議論知，一階非齊次線性微分方程的通解等于對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和．而二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有相類似的性質(zhì)．定理2設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，而為對應于方程8-24的齊次線性微分方8-24為方程8-24的通解．程的通解，那么二階常系數(shù)非齊次線性微分方程由此結(jié)論可知，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解，可按下面三個步驟來求②求非齊次線性微分方程的一個特解③原方程的通解為①求其對應的齊次線性微分方程的通解Y二階非齊次方程解題步驟i其中是常數(shù)，是的次多項式求齊次線性微分方程的通解Y的方法前面已議論過，所以只要研究一下如何求非齊次方程的一個特解就行．限于篇幅這里只議論fx為以下兩種形式的情形．多項式，其中有一個可為零．、ii，其中和是常數(shù)，分別是的次和次特解的求法中的待定系數(shù)．代入到原方程中，確定對于以上兩種情形，下面用待定系數(shù)法來求方程的一個特解，其根本思想是先根據(jù)的特點，確定特解的類型，然后把Ⅰ.型由于方程8-24右端是多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積，而多項式與指數(shù)函數(shù)乘積的導數(shù)依舊是同一類型的函數(shù)，因此，我們揣測其中是某個多項式可能是方程8-24的一個解，把、及代入方程8-24，求出的系數(shù)，使得志方程8-24即可．，為此將待定系數(shù)法代入方程8-24并消去，得．8-25假設(shè)不是方程8-24的特征方程的根，由于是一個次多項式，要使方程8-25的兩端恒等，可令為另一個次多項式，即設(shè)為其中為待定系數(shù)，將代入8-25，對比等式兩端同次冪的系數(shù)，可得含有的個方程的聯(lián)立方程．得到所求特解組，解出第一講初等函數(shù)并且可用同樣的方法確定的系數(shù)．假設(shè)是特征方程的重根，即且要使兩端恒等，務(wù)必是次多項式，此時可令并且利用同樣的方法確定的系數(shù)．特征方程要使兩端恒等，假設(shè)是特征方程的單根，即，但務(wù)必是次多項式，此時可令l綜上所述，我們有以下結(jié)論同次m次的多項式，而k按不是特征方程的根、解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且右端，那么二階常系數(shù)非齊次線性微分方假設(shè)的特解；

其中是與程8-24具有形如是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2.例5求方程的通解．，其中函數(shù)形如先求對應齊次方程的通解，其特征方程是特征方程特征根對應齊次方程的通解為由于不是特征根，因而所求方程有形如的特解．由于將它們代入原方程中對比上式兩端的同次冪的系數(shù)可得解方程組得故所求方程的一個特解為從而所求方程的通解為得恒等式特解類型1解所求方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且右端函，其中所求解的方程對應的齊次方程的通解為由于是二重特征根，所以設(shè)所求方程有形如的特解．將它代入所求方程可得對比等式兩端x的同次冪的系數(shù)，得于是得所求方程的一個特解為結(jié)果得所求方程的通解為例6求方程的通解．數(shù)形如例題可以推證，假設(shè)那么二階常系數(shù)非齊次線性微分方程8-24的特解可設(shè)為其中是m次多項式，而k按不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0II．型或1.特解類型2解所求解的方程對應的齊次