圓中知識結構圖

6/6圓中知識結構圖關于《圓》的知識結構整理

一．主要定理及其作用：

1．圓心角,弧,弦,弦心距之間的關系定理:

在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角②兩條弧,③兩條弦④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等：（等弧等角等弦……）

用的最多的依據：

①在同圓或等圓中,如果兩個圓心角相等,那么它們所對的兩條弧相等

②等弧所對的圓心角相等：

③在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的兩條弧相等

④等弧所對的兩條弦相等

2．垂徑定理:

如果一條直線①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分劣?。虎萜椒謨?yōu)弧.只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.（直角三角形等弧……）用的最多的依據：

①垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧

②平分弦(非直徑)的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.

③一條弦的垂直平分線||經過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧

④平分弧的直徑過圓心的直線垂直平分這條弧所對的弦.

3．圓周角定理:

(1)直徑所對的圓周角是直角；

(2)90°的圓周角所對的弦是直徑。

(3)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；

(4)同弧所對的圓周角相等；

(5)等弧所對的圓周角相等；

(6)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；

（等弧等角直角三角形）

4．切線的性質定理：

圓的切線垂直于經過切點的半徑（直徑）。(垂直關系)

5．切線的判定定理：

經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

6．切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（等弦等弧等角）

7．相切和相交兩圓的性質定理：

如果兩圓相切，連心線必過切點。如果兩圓相交，連心線垂直平分公共弦

二．主要輔助線及其作用：

1．作弦心距：弦的中點．弧的中點。

2．過某一點作弦：構造相等的圓周角。

3．作直徑：構造直角三角形和同弧所對的圓周角。

4．連結過切點的半徑：“題中若有圓切線圓心切點連一連”。

5．兩圓相切和兩圓相交時，作連心線和公共弦。

三．基本圖形和基本結論：

1．等邊三角形的內切圓半徑．外接圓的半徑和高的比為。

2．△ABC中，點O．I分別為外心和內心，那么∠A與∠BOC．∠BIC之間的關系。

3．如果三角形的內切圓的半徑為r，周長為c，試用r．c的代數式表示這個三角形的面積.4．圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．

5．直角三角形的兩直角邊和斜邊分別是a，b，c則其內切圓的半徑為______6.圓的內接四邊形的對角互補.

7．圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．

8．圓的內接平行四邊形一定是矩形;圓的外切平行四邊形一定是菱形．9．圓的內接梯形一定是等腰梯形．

10．弧長的計算公式和扇形面積的計算公式.11．圓柱和圓錐的側面展開計算.

四．與圓有關的兩解問題集中訓練題：

1、圓中同弦（或等弦）所對圓周角是兩個.

2、已知弦長、半徑，求弓高.

3、同圓內，兩平行弦間的距離.

4、已知圓外一點為圓心，作與已知圓相切的圓.

5、已知圓內一點為圓心，作與已知圓內切的圓.

6、兩圓相交，求圓心距．

上述內容的練習題：

1．如果圓O的弦AB將圓分成1:3兩部分，則該弦所對的圓心角是度。

2．已知一弓形半徑為5，弓形的弦長6，則弓形高為。3．在半徑為5cm的⊙O中，兩條平行弦長分別為6cm、8cm，兩條平行弦之間距離是。4．⊙O的半徑為6，點Ｍ是⊙O內一點，OM＝４，若以點Ｍ為圓心的⊙M與⊙O內切，則⊙M的半徑為．

5．⊙O的半徑為6，點Ｍ是⊙O外一點，ＯM＝10，若以點Ｍ為圓心的⊙M與⊙O相切，則⊙M的半徑是.

6．若兩圓半徑分別為R、r（R＞r），圓心距為d，且R2+d2=r2+2Rd，則兩圓的位置關系是.

7.已知相交兩圓的半徑分別是5和4，公共弦長為6，則它們的圓心距是.8.若兩個同心圓半徑分別為6、2，那么與它們都相切的圓的半徑是.

9.已知相交兩圓的半徑分別是5和4，公共弦長為6，則它們重合部分的面積是.五．作圖題：

1．如圖,M為⊙O內的一點,利用尺規(guī)作一條過點M的最短弦AB.2．平分已知弧.

3．找出殘破車輪的圓心

4.作出△ABC的內切圓。

5.作出△ABC的外接圓。

B

CB

A

六、解答題：

1．AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，AD和過C的切線互相垂直，垂足為D.

求證:AC平分∠DAB.

求證：OC//AD

4．已知:OA是⊙O的半徑,OC⊥OA,且交弦AB于D,BC=DC.

求證:BC是⊙O的切線.

求證：DE是⊙O的切線

6．已知：A．B．C三點在圓O上，AD是△ABC的高，AE是圓O的直徑．求證：AB·AC=AE·AD

C

基礎知識練習01

1．所示，已知：AB和CE為圓O的兩條直徑，弦CD//AB,∠COD=0

30,則

∠BOE=.

2．已知⊙O的半徑為R，則長度為

5

1

πR的弧所對的圓周角是.3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則某外接圓的半徑為.

4．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM長的最小值為．

5．已知：⊙1O和⊙2O的半徑分別為5cm和3cm，兩圓的圓心距是9cm，則兩圓的位置關系是．

6．如圖，OAB是以6cm為半徑的扇形，AC切弧AB于點A交OB的延長線于點C,如果弧AB的長等于3cm,AC=4cm,則圖中陰影部分的面積為cm２

．

7．圓錐的母線長5cm,底面半徑長3cm,那么它的側面展開圖的圓心角是度．8．已知圓中一弦將圓分為1：2的兩條弧，則這條弦所對的圓周角為度．9．一條弦有弦心距的長等于它所在圓的直徑的

4

1

,則這條弦所對劣弧的度數是度．10．弓形的弦長為43cm，高為2cm，則它的弧所在圓的半徑為cm．11．如圖,正方形ABCD內接于⊙O,點E在?

AD上,則∠BEC=_______°

12．在直徑為10cm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如右圖所示，如果油面AB＝8cm，那么油的最大深度是cm.

13．如圖，在△ABC中，∠A=68°，點I是△ABC的內心，則∠BIC的度數為

D

13題

(5)

14．如圖(5),A是半徑為2的⊙O外一點,OA=4,AB是⊙O的切線,點B是切點,弦BC∥OA,連結AC,則圖中陰影部分的面積為_________15．如圖，點AB，是⊙O上兩點，10AB=，點P是⊙O上的動點（P與AB，不重合），連結APPB，，過點O分別作OEAP⊥于E，

OFPB⊥于F，則EF=

16．如圖，點P的坐標為（4,0),OP的半徑為5，且OP與x軸交于點A,B，與y軸交于點C,D,試求出點A,B,C,D的坐標．

基礎知識練習02

1．弓形的弦長為43cm，高為2cm，則它的弧所在圓的半徑為cm．

2．若面積為54π2

cm的扇形的半徑為18cm，則該扇形的圓心角的度數是．

3．相切兩圓圓心距為7．5cm,一個圓的半徑為4cm,則另一個圓的半徑是cm．．4．在半徑為12cm的圓中，一條弧長為π6cm，此弧所對的圓周角是．

5．如圖,⊙O的半徑是5cm,P是⊙O外一點,PO=8cm,∠P=30o,則AB=cm,PB=cm．6．如圖,⊙O中弦AB⊥AC,D,E分別是AB,AC的中點．⑴若AB=AC,則四邊形OEAD是形;

⑵若OD=3,半徑5=r,則AB=cm，AC=cm．7．如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=50o,⊙A與BC相切于點D,與AB相交于點E,則∠AED=o

（5題）（6題）（7題）

8．兩同心圓中，大圓的弦AB切小圓于C點，且AB=20cm,則夾在兩圓間的圓環(huán)面積是

2cm________．

9．如圖，AB是半圓O的直徑，AC=AD,OC=2,∠CAB=300，則點O到CD的距離OE=．10．如圖,在同心圓⊙O中,AB是大圓的直徑,AC是大圓的弦,AC與小圓相切于點D,若小圓的半徑為3cm,則BC=cm．

P

（第15題）

AED

BOC

BED

CA

PB

AO

AB

11．如圖,⊙1O與⊙2O相交于點A．B,且AO1是⊙2O的切線,AO2是⊙1O的切線,A是切點．若⊙1O與⊙2O的半徑分別為3和4,則公共弦AB的長為cm．

（9題）（10題）（11題）12．如圖(4),⊙O是△ABC的外接圓,AD是BC邊上的高,已知BD=8,CD=3,AD=6,則直徑AM的長為_