一二次曲線插值及曲線擬合

課題二、船體型線的數(shù)值表示（一）一、二次曲線插值及曲線擬合一、概述船體型線圖是通過船體三組不同的剖面投影得來的，是一組三向光順的曲線。

這些曲線是船舶建造的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)放樣大量應(yīng)用以前，主要是采用手工放樣，這樣的勞動強(qiáng)度大，誤差大，大大阻礙了造船工業(yè)的發(fā)展。從本世紀(jì)60年代初成功研究出了應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)放樣，大大推動了造船向數(shù)字化、自動化發(fā)展。

本課題要討論的主要內(nèi)容是：如何根據(jù)給定的型值生成需要的型線。

數(shù)學(xué)放樣就是以計(jì)算機(jī)為工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)原理和方法進(jìn)行船體放樣的工作。數(shù)學(xué)放樣的工作內(nèi)容與手工放樣基本相同，包括如下三個(gè)方面的內(nèi)容：1、船體線型放樣；2、船體結(jié)構(gòu)放樣；3、外板展開。相比手工放樣有如下優(yōu)點(diǎn)：

1、為造船自動化的完整體系奠定了基礎(chǔ)。

2、進(jìn)一步溝通了設(shè)計(jì)和建造的關(guān)系。

3、降低了勞動強(qiáng)度，降低了原材料消耗，縮短了放樣周期。4、取消了放樣間和樣板貯藏室，有效地降低了成本。二、曲線插值

給定一系列離散的點(diǎn)，通過這些點(diǎn)可以建立相應(yīng)的曲線。1、問題引出

一般情況下，我們可以選擇曲線使其點(diǎn)點(diǎn)通過這些點(diǎn)，這種生成曲線的方法，稱為插值方法。2、插值的概念

通過一系列點(diǎn)，理論上講應(yīng)存在相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，而且還不一定唯一。

已知某函數(shù)過點(diǎn)（1，3），（2，5），（4，11），那么該曲線過點(diǎn)（5，17）嗎，f（2.5）＝？

但是，反過來說，如果某函數(shù)通過規(guī)定的一系列點(diǎn)，我們也不能說它就是要求的函數(shù)表達(dá)式。如對于函數(shù)，其曲線經(jīng)過點(diǎn)，但是反過來我們不能說通過上述3點(diǎn)的曲線就是，我們知道，也過上面的3個(gè)點(diǎn)。

所謂曲線插值就是選擇的函數(shù)（曲線）表達(dá)式點(diǎn)點(diǎn)通過已知型值點(diǎn)。它要求曲線必須嚴(yán)格地點(diǎn)點(diǎn)通過已知的點(diǎn)，就像一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)“插”了上去。

所選的曲線（函數(shù)）必須要點(diǎn)點(diǎn)通過已知的型值點(diǎn)，那么這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是什么樣的呢？3、插值函數(shù)的概念

要使曲線點(diǎn)點(diǎn)通過已知型值點(diǎn)，我們必須要選取合適的函數(shù)表達(dá)式。在給的坐標(biāo)系中，給定一系列型值點(diǎn)，通過這些型值點(diǎn)必然存在一函數(shù)，但是這一函數(shù)的表達(dá)式可能很難或者根本無法寫出，我們給出一簡單函數(shù)，使其也點(diǎn)點(diǎn)通過已知型值點(diǎn)，即，我們就稱為函數(shù)的插值函數(shù)。

曲線插值是一種操作的方法。而插值函數(shù)是利用插值的方法所得到的一個(gè)新的函數(shù)，是插值的一個(gè)應(yīng)用。4、線性插值如圖某函數(shù)通過兩點(diǎn)，現(xiàn)要求出函數(shù)上另一點(diǎn)處的函數(shù)值。顯然，僅僅有通過兩點(diǎn)這一條件是無法定出函數(shù)的。

目前，我們所知道的條件只有函數(shù)通過給定的兩個(gè)點(diǎn)，也就是說我們要找到通過這兩點(diǎn)的函數(shù)。

顯然，通過兩點(diǎn)最簡單的函數(shù)為線性函數(shù)，也就是直線。通過這兩點(diǎn)的線性函數(shù)為＝令為一次多項(xiàng)式：將兩點(diǎn)代入直線方程可以得到：這就是原函數(shù)的插值函數(shù)。5、二次插值

從圖形中可以發(fā)現(xiàn)：用直線段來代替曲線來近似求處的函數(shù)值誤差是很大的。

如果再增加一個(gè)插值點(diǎn)其插值結(jié)果必然會更接近原函數(shù)值，效果要比線性插值好。

顯然：通過三點(diǎn)的簡單函數(shù)為二次函數(shù)，圖形為拋物線。

我們稱這種插值為二次插值或拋物線插值。6、基函數(shù)通過點(diǎn)和的線性插值函數(shù)寫成兩點(diǎn)式為：這里令：顯然有：于是，插值函數(shù)可以寫成：這里我們稱為基函數(shù)或者形函數(shù)

同樣，對于通過三點(diǎn)的二次函數(shù)也可以用上述的基函數(shù)的形式進(jìn)行表達(dá)。這里也顯然有：滿足通過三點(diǎn)的條件。

由上面的基函數(shù)的形式非常方便地就可以寫出相應(yīng)的插值函數(shù)，但是基函數(shù)的形式好像比較復(fù)雜，基函數(shù)的形式有沒有什么規(guī)律可以遵循呢？觀察基函數(shù)的形式：這是一系列的分式：分子中：可以發(fā)現(xiàn)除了外全部都出現(xiàn)了。分母中：可以發(fā)現(xiàn)除了外全部都出現(xiàn)了。分子、分母項(xiàng)數(shù)相同，形式非常接近。

（1）分子中不出現(xiàn)項(xiàng)；（2）分母中不出現(xiàn)項(xiàng)；（3）分子分母項(xiàng)數(shù)相同，形式類似?；瘮?shù)書寫規(guī)律：例題1

由四位自然對數(shù)表查得

用線性插值求解：這里我們?nèi)∥覀兝没瘮?shù)的形式求解。代入數(shù)據(jù)得：由插值函數(shù)概念f(x)≈p(x)，所以ln3.16≈1.1505。例題2已知函數(shù)通過下列三個(gè)點(diǎn)：

利用二次插值求的近似值。解：令簡單函數(shù)為函數(shù)的插值函數(shù)應(yīng)用基函數(shù)的形式，根據(jù)基函數(shù)的書寫規(guī)律寫出基函數(shù)。

代入數(shù)據(jù)得：

由

得因

故

6、拉格朗日（Lagrange）插值

由前面的討論，我們可以發(fā)現(xiàn)二次插值比一次插值要精確，那么如果我們再增加一個(gè)插值點(diǎn)則可以得到三次插值勢必更加精確。

根據(jù)基函數(shù)的形式，我們只要根據(jù)基函數(shù)的書寫規(guī)律，很容易就可以寫出其插值函數(shù)。當(dāng)插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)取i+1時(shí)：(i=0,1,2,…,n)

則：

可見，拉格朗日插值其實(shí)就是將線性插值、二次插值推廣到一般形式的產(chǎn)物。那么是不是插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)越多得到的插值函數(shù)就越精確呢？

事實(shí)上，在一定的范圍內(nèi)確實(shí)是這樣，但是一旦插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過6個(gè)后就會出現(xiàn)“龍格”現(xiàn)象。圖2-4-1龍格現(xiàn)象

在實(shí)際的應(yīng)用中，一般都不采用高次插值，大家思考為什么？（1）當(dāng)插值的次數(shù)較高時(shí)，得到的插值函數(shù)必然也是高次的，求解比較困難，失去了“簡單”函數(shù)的意義。（2）當(dāng)函數(shù)的次數(shù)越高時(shí)，函數(shù)越不穩(wěn)定，容易出現(xiàn)局部振蕩現(xiàn)象，即所謂的“龍格”現(xiàn)象?！褒埜瘛爆F(xiàn)象三、曲線擬合

曲線插值要求所選用的曲線必須點(diǎn)點(diǎn)通過已知點(diǎn)，但是有些時(shí)候由于種種原因可能致使型值點(diǎn)本身就不準(zhǔn)確，甚至有錯(cuò)誤，這樣插值得到的曲線也必然是不合理的。

在實(shí)際的應(yīng)用中，我們還經(jīng)常采用另外一種得到曲線的方法，即曲線擬合。

這種方法不要求曲線嚴(yán)格地通過所有的型值點(diǎn)，而只是要求曲線符合離散點(diǎn)分布的總體輪廓，同時(shí)保證偏離原始點(diǎn)盡可能地小。

曲線擬合的方法有許多種，這里主要介紹最小二乘法。最小二乘法1、最小二乘法原理ABCx2x1AC＝80.325CB＝25.675AB＝105.998

根據(jù)測量結(jié)果：根據(jù)幾何學(xué)AC＋CB＝AB

顯然二者之間是矛盾的，究其原因是因?yàn)樵跍y量過程中存在一定的誤差。

誤差是無法完全消除的，但是要使誤差達(dá)到最小，也就是說要找到最優(yōu)值。由于誤差存在，無論取什么值x1－80.325＝0，x2－25.675＝0，x1＋x2－105.998＝0都將不可能同時(shí)成立。x1x2為了解決這一矛盾，把方程寫成如下形式：x1－80.325＝r1x2－25.675＝r2x1＋x2－1055.998＝r3r1，r2，r3表示誤差

要使誤差r1，r2，r3達(dá)到最小只要使他們的平方和最小就可以了

r12＋r22＋r32＝(x1－80.325)2＋(x2－25.675)2＋(x1＋x2－105.998)2這是一個(gè)關(guān)于x1，x2的二元函數(shù)，記為

我們要做的就是找到合適的和使得取得最小值這就是，的最優(yōu)值2、用最小二乘法擬合曲線對m組試驗(yàn)數(shù)據(jù)找到一個(gè)合適的函數(shù)來擬合該組數(shù)據(jù)。

設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為n次多項(xiàng)式(n<m)：

=應(yīng)用最小二乘法原理可以得到m個(gè)方程：

取右端誤差的平方和的最小值，通過求偏導(dǎo)的方式求出待定系數(shù)。這里給出求待定系數(shù)的方法：＝

＝解上述線性方程組就可以得到要求的待定系數(shù)。這里的m表示擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)，n表示擬合函數(shù)的次數(shù)。例題3已知函數(shù)值表：

12345－2－101220.520.721.221.822.3用最小二乘法作二次多項(xiàng)式=

擬合這組數(shù)據(jù)。解：這里m=5,n