2020北京西城初三（上）期末數(shù)學(xué)備考解直角三角形（教師版）含答案

20/202020北京西城初三（上）期末數(shù)學(xué)備考解直角三角形（教師版）一．選擇題（共12小題）1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D．若BC＝24，cosB＝，則AD的長為（）A．12 B．10 C．6 D．5【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cosB＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求出BD與AB的長是解題的關(guān)鍵．2．下表是小紅填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容：題目測量鐵塔頂端到地面的高度測量目標(biāo)示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)CD＝10m，α＝45°，β＝50°設(shè)鐵塔頂端到地面的高度FE為xm，根據(jù)以上條件，可以列出的方程為（）A．x＝（x﹣10）tan50° B．x＝（x﹣10）cos50° C．x﹣10＝xtan50° D．x＝（x+10）sin50°【分析】過D作DH⊥EF于H，則四邊形DCEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x﹣10，得到CE＝x﹣10，根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：過D作DH⊥EF于H，則四邊形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan50°，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，由實際問題抽象出一元一次方程，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sinB等于（）A． B． C． D．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinB的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sinB＝＝．故選：A．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，則BC的長度為（）A．2 B．8 C． D．【分析】根據(jù)角的正切值與三角形邊的關(guān)系求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tanA＝＝＝，∴BC＝2．故選：A．【點評】此題考查了解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是能夠選擇合適的邊角關(guān)系求解，難度不大．5．當(dāng)太陽光線與地面成40°角時，在地面上的一棵樹的影長為10m，樹高h(yuǎn)（單位：m）的范圍是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20【分析】利用坡度算出坡角最大或最小時樹高的范圍即可．【解答】解：AC＝10．①當(dāng)∠A＝30°時，BC＝ACtan30°＝10×≈5.7．②當(dāng)∠A＝45°時，BC＝ACtan45°＝10．∴5.7＜h＜10，故選：B．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)的定義求得相應(yīng)角度時樹的高度是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則cosA的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cosA＝＝，故選：A．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．7．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向上的B處．這時，B處與燈塔P的距離BP的長可以表示為（）A．40海里 B．40tan37°海里 C．40cos37°海里 D．40sin37°海里【分析】根據(jù)已知條件得出∠BAP＝37°，再根據(jù)AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的長．【解答】解：∵一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP?sin37°＝40sin37°海里；故選：D．【點評】本題考查解直角三角形，用到的知識點是方位角、直角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于點D，那么sin∠BCD的值是（）A． B． C． D．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根據(jù)同角的余角相等得出∠A＝∠BCD，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sinA＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義，得出sin∠BCD＝sinA是解題關(guān)鍵．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，則sinA的值為（）A． B． C． D．2【分析】首先利用勾股定理求得AB的長度，然后利用三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝，則sinA＝＝＝．故選：A．【點評】本題考查三角函數(shù)的定義，理解定義是關(guān)鍵．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，則tanA的值為（）A． B． C． D．2【分析】首先根據(jù)勾股定理求得直角邊AC的長度；然后由銳角三角函數(shù)的定義求得tanA的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tanA＝＝；故選：C．【點評】本題綜合考查了解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理．掌握相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值的求法是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tan∠ACB的值為（）A． B． C． D．3【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：由圖形知：tan∠ACB＝＝，故選：A．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．12．小莉站在離一棵樹水平距離為a米的地方，用一塊含30°的直角三角板按如圖所示的方式測量這棵樹的高度，已知小莉的眼睛離地面的高度是1.5米，那么她測得這棵樹的高度為（）A．（）米 B．（a）米 C．（1.5+）米 D．（1.5+a）米【分析】過小莉的視點作樹的垂線，通過構(gòu)建直角三角形來求這棵樹的高度．【解答】解：如圖．過A作CD的垂線，設(shè)垂足為E點，則AE＝BC＝a，AB＝CE＝1.5米．Rt△ADE中，AE＝a，∠DAE＝30°，∴DE＝AE?tan30°＝a（米），∴CD＝CE+DE＝（a+1.5）米．故選：C．【點評】此題考查了仰角的定義及通過解直角三角形解決實際問題的能力．構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．二．填空題（共3小題）13．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，O，B都在格點上，tan∠AOB的值為．【分析】連接AB，在直角△AOB中利用正切函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：如圖，連接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案為．【點評】本題考查了解直角三角形，正切函數(shù)的定義．作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．2017年9月熱播的專題片《輝煌中國﹣﹣圓夢工程》展示的中國橋、中國路等超級工程展現(xiàn)了中國現(xiàn)代化進(jìn)程中的偉大成就，大家紛紛點贊“厲害了，我的國！”片中提到我國已成為擁有斜拉橋最多的國家，世界前十座斜拉橋中，中國占七座，其中蘇通長江大橋（如圖1所示）主橋的主跨長度在世界斜拉橋中排在前列．在圖2的主橋示意圖中，兩座索塔及索塔兩側(cè)的斜拉索對稱分布，大橋主跨BD的中點為E，最長的斜拉索CE長577m，記CE與大橋主梁所夾的銳角∠CED為α，那么用CE的長和α的三角函數(shù)表示主跨BD長的表達(dá)式應(yīng)為BD＝1154cosα（m）．【分析】根據(jù)題意和特殊角的三角函數(shù)可以解答本題．【解答】解：由題意可得，BD＝2CE?cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案為：1154cosα．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用特殊角的三角函數(shù)解答．15．如圖，線段AB和射線AC交于點A，∠A＝30°，AB＝20．點D在射線AC上，且∠ADB是鈍角，寫出一個滿足條件的AD的長度值：AD＝10．【分析】過B作BE⊥AC于E，由∠A＝30°，AB＝20，得到AE＝10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到結(jié)論．【解答】解：過B作BE⊥AC于E，∵∠A＝30°，AB＝20，∴AE＝10，∵∠ADB是鈍角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共18小題）16．計算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．【點評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17．計算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【點評】考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于識記性題目，基礎(chǔ)題．18．如圖，線段BC長為13，以C為頂點，CB為一邊的∠α滿足cosα＝．銳角△ABC的頂點A落在∠α的另一邊l上，且滿足sinA＝．求△ABC的高BD及AB邊的長，并結(jié)合你的計算過程畫出高BD及AB邊．（圖中提供的單位長度供補(bǔ)全圖形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用銳角三角函數(shù)求出AB，AD，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，作BD⊥l于點D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cosC＝cosα＝，∴CD＝BC?cosC＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sinA＝，∴tanA＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作圖，以點D為圓心，9為半徑作弧與射線l交于點A，連接AB，【點評】此題是解直角三角形，主要考查了基本作圖，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是求出AB和AD．19．計算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°?cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【點評】此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．測量建筑物的高度在《相似》和《銳角三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)中，我們了解了借助太陽光線、利用標(biāo)桿、平面鏡等可以測量建筑物的高度．綜合實踐活動課上，數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)制作了一種簡單測角儀：把一根細(xì)線固定在量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個重物（如圖1）；將量角器拿在眼前，使視線沿著量角器的直徑剛好看到需測量物體的頂端，這樣可以得出需測量物體的仰角α的度數(shù)（如圖2，3）．利用這種簡單測角儀，也可以幫助我們測量一些建筑物的高度．天壇是世界上最大的祭天建筑群，1998年被確認(rèn)為世界…文化遺產(chǎn)．它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕ㄖ植?，奇特的建筑?gòu)造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世．祈年殿是天壇主體建筑，又稱祈谷殿（如圖4）．采用的是上殿下屋的構(gòu)造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦為藍(lán)色，象征藍(lán)天．祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇．請你利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，設(shè)計一個測量方案，解決“測量天壇祈年殿的高度”的問題．要求：（1）寫出所使用的測量工具；（2）畫出測量過程中的幾何圖形，并說明需要測量的幾何量；（3）寫出求天壇祈年殿高度的思路．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)正切的概念解答即可．【解答】解：（1）測量工具有：簡單測角儀，測量尺；（2）設(shè)CD表示祈年殿的高度，測量過程的幾何圖形如圖所示；需要測量的幾何量如下：①在點A，點B處用測角儀測出仰角α，β；②測出A，B兩點之間的距離s；（3）設(shè)CD的高度為xm．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB＝AC﹣BC，∴，解得，x＝．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．計算：4cos30°?tan60°﹣sin245°．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．22．奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯落有致的獨(dú)立塔組成．在綜合實踐活動課中，某小組的同學(xué)決定利用測角儀測量這五座塔中最高塔的高度（測角儀高度忽略不計）．他們的操作方法如下：如圖，他們先在B處測得最高塔塔頂A的仰角為45°，然后向最高塔的塔基直行90米到達(dá)C處，再次測得最高塔塔頂A的仰角為58°．請幫助他們計算出最高塔的高度AD約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根據(jù)已知條件求出BD＝AD，設(shè)DC＝x，得出AD＝90+x，再根據(jù)tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，設(shè)DC＝x，則BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD約為240米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的運(yùn)用．23．計算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．【解答】解：原式＝3×+（）2﹣2×＝+﹣＝．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．24．如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在它的北偏東60°方向上，在A的正東400米的B處，測得海中燈塔P在它的北偏東30°方向上．問：燈塔P到環(huán)海路的距離PC約等于多少米？（取1.732，結(jié)果精確到1米）【分析】根據(jù)等角對等邊得出PB＝AB＝400米，再利用三角函數(shù)求出PC的長即可．【解答】解：如圖，由題意，可得∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAC＝30°，∴∠PAC＝∠APB．∴PB＝AB＝400米．在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB＝400米，∴PC＝PB?sin∠PBC＝400×＝200＝346.4≈346（米）．答：燈塔P到環(huán)海路的距離PC約等于346米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．25．計算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．【分析】首先把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后計算求解即可．【解答】解：原式＝2×+3×﹣2×﹣＝﹣．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶函數(shù)值是關(guān)鍵．26．如圖，為了估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且點B，C，D在同一條直線上．若測得CD＝30米，求河寬AB（結(jié)果精確到1米，取1.73，取1.41）．【分析】設(shè)河寬AB為x米．分別解直角三角形ABC和直角三角形ABD即可求出x的值．【解答】解：設(shè)河寬AB為x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x．∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝x，∴CD＝BD﹣BC＝x﹣x，∴x﹣x＝30解得x＝15+15≈41．答：河寬AB約為41米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解此類題目的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．27．計算：sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后合并運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，一些特殊角的三角函數(shù)值是要求同學(xué)們熟練記憶的內(nèi)容．28．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它計劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處．（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險．請判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險，并說明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PC的長，即可得出答案；（2）首先求出OB的長，進(jìn)而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如圖）在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣45°＝45°．∴．在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°．∴．答：B處距離燈塔P有海里．（2）海輪到達(dá)B處沒有觸礁的危險．理由如下：∵，而，∴．∴OB＞50．∴B處在圓形暗礁區(qū)域外，沒有觸礁的危險．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出線段PC的長是解題關(guān)鍵．29．計算：．【分析】將cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝代入原式，即可得出答案．【解答】解：∵cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝，∴原式＝+×