2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)試題 （文科）解析版

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=（）(A)0(B)2(C)2(D)2+2【答案】C【解析】試題分析：由題意，，故選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算．?dāng)?shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可．2.設(shè)集合,Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是（）(A)6(B)5(C)4(D)3【答案】B考點(diǎn)：集合中交集的運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】集合的概念及運(yùn)算一直是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題.一般是結(jié)合不等式，函數(shù)的定義域值域考查，解題的關(guān)鍵是結(jié)合韋恩圖或數(shù)軸解答.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)【答案】D【解析】試題分析：由題意，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.考點(diǎn)：拋物線的定義.【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的性質(zhì)是我們重點(diǎn)要掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)（）(A)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度(B)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度(C)向上平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度(D)向下平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像的平移.【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，而函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位得的圖象．左右平移涉及的是的變化，上下平移涉及的是函數(shù)值加減平移的單位．5.設(shè)p:實(shí)數(shù)x，y滿足且，q:實(shí)數(shù)x，y滿足，則p是q的（）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：由題意，且，則，而當(dāng)時(shí)不能得出，且.故是的充分不必要條件，選A.考點(diǎn)：充分必要條件.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立.這類問題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來考．有許多情況下可利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得出結(jié)論．6.已知函數(shù)的極小值點(diǎn)，則=（）(A)-4(B)-2(C)4(D)2【答案】D【解析】試題分析：，令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故極小值為，由已知得，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值．在可導(dǎo)函數(shù)中函數(shù)的極值點(diǎn)是方程的解，但是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，需要通過這點(diǎn)兩邊的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來判斷，在附近，如果時(shí)，，時(shí)，則是極小值點(diǎn)，如果時(shí)，，時(shí)，，則是極大值點(diǎn)，7.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）(參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年【答案】B考點(diǎn)：1.增長(zhǎng)率問題；2.常用對(duì)數(shù)的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問題中平均增長(zhǎng)率問題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可解得結(jié)論．8.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（）(A)35(B)20(C)18(D)9【答案】C考點(diǎn)：1.程序與框圖；2.秦九韶算法；3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)史.【名師點(diǎn)睛】程序框圖是高考的熱點(diǎn)之一，幾乎是每年必考內(nèi)容，多半是考循環(huán)結(jié)構(gòu)，基本方法是將每次循環(huán)的結(jié)果一一列舉出來，與判斷條件比較即可．9.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是（）(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積運(yùn)算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來，解題時(shí)首先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，，因此可用圓的性質(zhì)得出最值．因此本題又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．10.設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（）(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)【答案】A【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點(diǎn)為，故選A.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍.【名師點(diǎn)睛】本題首先考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其次考查最值問題，解題時(shí)可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線垂直求出這兩點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)得出切線方程，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線相交得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍．解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實(shí)而基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單而實(shí)用．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．=.【答案】考點(diǎn)：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式【名師點(diǎn)睛】本題也可以看作是一個(gè)來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本．有許多三角函數(shù)的求值問題一般都是通過三角函數(shù)的公式把函數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值而求解．12.已知某三菱錐的三視圖如圖所示，則該三菱錐的體積.【答案】【解析】試題分析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且底面積為，高為1，所以該幾何體的體積為.考點(diǎn)：1.三視圖；2.幾何體的體積.【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識(shí)圖能力．解題時(shí)要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的三視圖以及各種組合體的三視圖．13.從2、3、8、9任取兩個(gè)不同的數(shù)值，分別記為a、b，則為整數(shù)的概率=.【答案】考點(diǎn)：古典概型.【名師點(diǎn)睛】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出基本事件的總數(shù)，本題中所給數(shù)都可以作為對(duì)數(shù)的底面，因此所有對(duì)數(shù)的個(gè)數(shù)就相當(dāng)于4個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)的全排列，個(gè)數(shù)為，而滿足題意的只有2個(gè)，由概率公式可得概率．在求事件個(gè)數(shù)時(shí)，涉及到排列組合的應(yīng)用，涉及到兩個(gè)有理的應(yīng)用，解題時(shí)要善于分析．14.已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，則QUOTE=.【答案】-2考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)的周期性.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性．屬于基礎(chǔ)題，在涉及函數(shù)求值問題中，可利用周期性，化函數(shù)值的自變量到已知區(qū)間或相鄰區(qū)間，如果是相鄰區(qū)間再利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再由函數(shù)式求值即可．15．在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A.單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上.若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱④若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.其中的真命題是.【答案】=2\*GB3②=3\*GB3③【解析】試題分析：對(duì)于=1\*GB3①，若令，則其伴隨點(diǎn)為，而的伴隨點(diǎn)為，而不是，故①錯(cuò)誤；對(duì)于=2\*GB3②，設(shè)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則對(duì)曲線表示同一曲線，其伴隨曲線考點(diǎn)：1.新定義問題；2.曲線與方程.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向．它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問題時(shí)，只要通過這個(gè)載體把問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識(shí)即可．本題新概念“伴隨”實(shí)質(zhì)是一個(gè)變換，一個(gè)坐標(biāo)變換，只要根據(jù)這個(gè)變換得出新的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷，問題就得以解決．三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16、（12分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中的a值；（II）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)．說明理由；（Ⅲ）估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可知：月用水量在[0,0.5]的頻率為0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為×0.13=36000.（Ⅲ）設(shè)中位數(shù)為x噸.因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.考點(diǎn)：頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個(gè)小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ)．17、（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，.（I）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；（II）證明：平面PAB⊥平面PBD.【答案】（Ⅰ）取棱AD的中點(diǎn)M，證明詳見解析；（Ⅱ）證明詳見解析.試題解析：（=1\*ROMANI）取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：因?yàn)锳D‖BC,BC=AD，所以BC‖AM,且BC=AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM‖AB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))（=2\*ROMANII）由已知，PA⊥AB,PA⊥CD,因?yàn)锳D∥BC,BC=AD，所以直線AB與CD相交，所以PA⊥平面ABCD.從而PA⊥BD.因?yàn)锳D∥BC,BC=AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形.所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.考點(diǎn)：線面平行、線線平行、線線垂直、線面垂直.【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面垂直的判斷，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），證明面面垂直時(shí)，要證線面垂直，要善于從圖形中觀察有哪些線線垂直，從而可能有哪個(gè)線面垂直，確定要證哪個(gè)線線垂直，切忌不加思考，隨便寫．18、（本題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（=2\*ROMANII）若，求.【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，可設(shè)===k(k>0)．則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，所以sinAsinB=sinC．（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故．考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算能力.在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一般是化為代數(shù)式變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)結(jié)論，否則難以得出結(jié)論．19、（本小題滿分12分）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅱ）先利用雙曲線的離心率定義得到的表達(dá)式，再由解出的值，最后利用等比數(shù)列的求和公式求解計(jì)算.試題解析：（Ⅰ）由已知，兩式相減得到.又由得到，故對(duì)所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等差數(shù)列，可得，所以，故.所以.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.在第（Ⅰ）問中，已知的是的遞推式，在與的關(guān)系式中，經(jīng)常用代換（），然后兩式相減，可得的遞推式，利用這種方法解題時(shí)要注意；在第（Ⅱ）問中，按題意步步為營(yíng)，認(rèn)真計(jì)算．不需要多少解題技巧，符合文科生的特點(diǎn)．20、（本小題滿分13分）已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為EQ\F(1,2)的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個(gè)參數(shù)，再利用在橢圓上，可解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）首先設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得，由求得（用表示），由方程具體地得出坐標(biāo)，也可計(jì)算出，從而證得相等．試題解析：（=1\*ROMANI）