空間坐招投標系及空間坐招投標系在立體幾何中應用有答案

-一．空間直角坐標系如圖1，為了確定空間點的位置，我們建立空間直角坐標系：以正方體為載體，以O為原點，分別以射線OA，OC，OD′的方向為正方向，以線段OA，OC，OD′的長為單位長，建立三條數(shù)軸：*軸、y軸、z軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系，其中點O叫做坐標原點，*軸、y軸、z軸叫做坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為*Oy平面、zO*平面、yOz平面，通常建立的坐標系為右手直角坐標系，即右手拇指指向*軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向．二．空間直角坐標系中的坐標空間一點M的坐標可用有序實數(shù)組(*，y，z)來表示，有序實數(shù)組(*，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(*，y，z)，其中*叫做點M的橫坐標 ，y叫做點M的縱坐標

，z叫做點M的豎坐標[例1]

在空間直角坐標系中，作出點M(6，－2,4)．[例2]長方體ABCD－ABCD中，|AB|＝a，|BC|＝1111將此長方體放到空間直角坐標系中的不同位置(如圖3)，分別寫出

b，|CC|＝c，1長方體各頂點的坐標．變式1：棱長為2的正方體，將此正方體放到空間直角坐標系中的不同位置，分別寫出幾何體各頂點的坐標。2.底面為邊長為4的菱形，高為5的棱柱，將此幾何體放到空間直角坐標系中的不同位置分別寫出幾何體各頂點的坐標。在棱長均為2a的正四棱錐P－ABCD中，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，(1)寫出正四棱錐P－ABCD各頂點坐標；(2)寫出棱PB的中點M的坐標．解：連接AC，BD交于點O，連接PO，∵P－ABCD為正四棱錐，且棱長均為2a.∴四邊形ABCD為正方形，-且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2a.PO＝

PA2－OA2＝

2a

2－

2a

2＝ 2a.以O點為坐標原點，OA，OB，OP所在的直線分別為*軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．〔1〕正四棱錐P－ABCD中各頂點坐標分別為A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．0＋02a＋00＋2a22(2)∵M為棱PB的中點，∴由中點坐標公式，得M(2，2，2)，即M(0，2a，2a)．[例3]在空間直角坐標系中，點P(－2,1,4)．(1)求點P關于*軸的對稱點的坐標；(2)求點P關于*Oy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．[解](1)由于點P關于*軸對稱后，它在*軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為(－2，－1，－4)．1(2)由于點P關于*Oy平面對稱后，它在*軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為(－2,1，－4)．2(3)設對稱點為P(*，y，z)，則點M為線段PP的中點，由中點坐標公式，可得*＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)3 3－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P(6，－3，－12)．3變式：1.寫出點P(6，－2，－7)在*Oy面，yOz面，*Oz面上的投影的坐標以及點P關于各坐標平面對稱的點的坐標．解：設點P在*Oy平面、yOz平面、*Oz平面上的投影分別為點A，B，C，點P關于*Oy平面、yOz平面、*Oz平面的對稱點分別為點A′，B′，C′，由PA⊥平面*Oy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面*Oz及坐標平面的特征知，點A(6，－2,0)，點B(0，－2，－7)，點C(6,0，－7)；根據(jù)點P關于各坐標平面對稱點的特征知，點A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱長都為2的正三棱柱ABC－ABC中，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担懗稣庵鵄BC－111ABC各頂點的坐標．111[正解]取BC，BC的中點分別為O，O，連線OA，OO，11 1 1根據(jù)正三棱柱的幾何性質，OA，OB，OO兩兩互相垂直，且13|OA|＝2×2＝3，以OA，OB，OO所在的直線分別為*軸、y軸、z軸建立直角坐標系，如圖5所示，則正三棱柱ABC—ABC各頂1 111點的坐標分別為A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A(3，0,2)，B(0,1,2)，C(0，－1,2)．1 1 1三．空間向量在立體幾何中的應用-直線的方向向量與平面的法向量直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量．如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α.此時把向量n叫做平面α的法向量．2.線面關系的判定直線l的方向向量為e＝(a，b，c)，直線l的方向向量為e＝(a，b，c)，平面α的法向量為1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n＝(*，y，z)，平面β的法向量為n＝(*，y，z)．11112222(1)如果l∥l，則e∥ee＝λea＝λa，b＝λb，c＝λc．121221212121(2)如果l⊥l，則e⊥ee·e＝0aa＋bb＋cc＝0．121212121212(3)假設l∥α，則e⊥ne·n＝0a*＋by＋cz＝0．11111111111(4)假設l⊥α，則e∥ne＝kna＝k*，b＝ky，c＝kz．11111111111(5)假設α∥β，則n∥nn＝kn*＝k*，y＝ky，z＝kz．1212121212(6)假設α⊥β，則n⊥nn·n＝0**＋yy＋zz＝0．12121212123.利用空間向量求空間角兩條異面直線所成的角 π①圍：兩條異面直線所成的角θ的取值圍是0，. 2②向量求法：設直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為φ，則有cosθ＝|cosφ|.直線與平面所成的角 π①圍：直線和平面所成的角θ的取值圍是0，. 2②向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|二面角①二面角的取值圍是[0，π]．②二面角的向量求法：假設AB、CD分別是二面角α-l-β的兩個面與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖①)．設n、n分別是二面角α-l-β的兩個面α、β的法向量，則向量n與n的夾角(或其補角)的大1 2 1 2小就是二面角的平面角的大小(如圖②③)．題型1空間向量的根本運算→ →[例1]空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．設a＝AB，b＝AC.求a和b的夾角θ；(2)假設向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．→→解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝AB，b＝AC，∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．a·b－1＋0＋01010(1)∵cosθ＝ab＝＝－，∴a和b的夾角為arccos－.||||2×51010(2)∵ka＋b＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，5∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－2或2.題型2空間中的平行與垂直-例2如下圖，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.22證明：(1)建立如下圖的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連結NE.則N，E(0，0，1)，22A(2，22→22→22.2，0)，M，，1.∴NE＝，－，1，AM＝，－，1222222→→平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE→2，－22，0，0)，F(xiàn)(2，→2，1)，(2)由(1)知AM＝－，1，∵D(2，1)，∴DF＝(0，22→→∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.題型3空間的角的計算3(2013·錫常鎮(zhèn)二模)如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F(xiàn)為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE.(1)求異面直線EF與BD所成角的余弦值；(2)求二面角F-OD-E的正弦值．解：(1)以O為原點，底面上過O點且垂直于OB的直線為*軸，OB所在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標系，則B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．→→設F(*，y，0)(*>0，y>0)，且*2＋y2＝4，則EF＝(*，y－1，－2)，DE＝(0，1，0)，00000000→→→→→→∵EF⊥DE，即EF⊥DE，則EF·DE＝y(tǒng)－1＝0，故y＝1.∴F(3，1，0)，EF＝(3，0，－2)，BD＝(0，－2，2)．00→→414EF·BD設異面直線EF與BD所成角為α，則cosα＝→→＝7×22＝7.|EF||BD|→z＝0，n⊥OD，(2)設平面ODF的法向量為n＝(*，y，z)，則1即11111→3*＋y＝0.111令*＝1，得y＝－3，平面ODF的一個法向量為n＝(1，－3，0)．設平面DEF的法向量為n＝(*，y，111222z)，23同理可得平面DEF的一個法向量為n＝1，0，.22n·n＝設二面角F-OD-E的平面角為β，則|cosβ|＝12|n1||n2|

1742＝7.∴sinβ＝7.7〔翻折問題〕例4.(2013第二次調研)如圖甲，在平面四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設點E、分別為棱AC、AD的中點．求證：DC⊥平面ABC；(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；求二面角B－EF－A的余弦值．解：(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為*軸建立空間直角坐標系如下列圖示，-設CD＝a，則BD＝AB＝2a，BC＝3a，AD＝233，2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，Ca，022→13→F(a，0，a)，∴CD＝a，－a，0，BF＝(a，0，a)．22BF與平面ABC所成的角為θ，由(1)知DC⊥平面ABC，1π→→a222CD·BF2＝∴cos－θ＝→→＝4，∴sinθ＝4.2a·2a|CD|·|BF|由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，F(xiàn)E⊥AE，117∴∠AEB為二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝2AC＝2AB2＋BC2＝2a，AE2＋BE2－AB2 1 1∴cos∠AEB＝ 2AE·BE ＝－7，即所求二面角B－EF－A的余弦為－7.課后穩(wěn)固練習：1.(2013·卷)如下圖，在直三棱柱ABC－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA＝4，點D是BC111 1的中點．(1)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；1 1(2)求平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值．1 1解：(1)以A為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系A－*yz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A(0，0，4)，C(0，2，4)，所以A→B＝(2，0，－4)，C→D＝(1，－1，－4)．11A→B·C→D11因為cos〈A→B，C→D〉＝1831011＝20×＝10，所以異面直線AB與CD11→→1811|AB||CD|11310所成角的余弦值為10.(2)設平面ADC的法向量為n＝(*，y，z)，11→→→→因為AD＝(1，1，0)，AC＝(0，2，4)，所以n·AD＝0，n·AC＝0，即*＋y＝0且y＋2z1111＝0，取z＝1，得*＝2，y＝－2，所以，n＝(2，－2，1)是平面ADC的一個法向量．11取平面AAB的一個法向量為n＝(0，1，0)，12設平面ADC與平面ABA所成二面角的大小為θ.11n·n225由|cosθ|＝12＝＝，得sinθ＝.|n||n|9×133125因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為3.(2013·新課標全國卷Ⅱ)如下圖，直三棱柱ABCABC中，D、E分別是AB、BB的中點，AA＝AC＝CB111 1 122AB.證明：BC∥平面ACD；(2)求二面角DACE的正弦值．1 1 1證明：連結AC交AC于點F，則F為AC中點．1 1 1D是AB中點，連結DF，則BC∥DF.1因為DF 平面ACD，BC 平面ACD，1 1 1所以BC∥平面ACD.1 12 →(2)由AC＝CB＝2AB得AC⊥BC.以C為坐標原點，CA的方向為*軸正方向，建立如下 圖-的空間直角坐標系C*yz.→→→設CA＝2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A(2，0，2)，CD＝(1，1，0)，CE＝(0，2，1)，CA＝(2，0，2)．11→*＋y＝0，n·CD＝0，設n＝(*，y，z)是平面ACD的法向量，則即11→1111n·CA＝0，11可取n＝(1，－1，－1)．1→m·CE＝0，同理，設m為平面ACE的法向量，則可取m＝(2，1，－2)．1→m·CA＝0.1n·m366從而cos〈n，m〉＝＝3，故sin〈n，m〉＝3.即二面角D-AC-E的正弦值為3.|n||m|13.(2013·)如下圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，π∠ACB＝∠ACD＝3，F(xiàn)為PC的中點，AF⊥PB.求PA的長；求二面角B-AF-D的正弦值．解：(1)如圖，連結BD交AC于O，因為BC＝CD，即△BCD為等腰三角形，又AC平分∠BCD，→→→故AC⊥BD.以O為坐標原點，OB、OC、AP的方向分別為*軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O*yz，π πOC＝CDcos3＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．z→z→3，因為PA⊥底面ABCD，可設P(0，－3，z)，由F為PC邊中點，得F0，－1，，又AF＝0，2，，PB＝(22→→z2→3，－z)，因AF⊥PB，故AF·PB＝0，即6－2＝0，z＝23(舍去－23)，所以|PA|＝23.→→→3)．設平面FAD的法向量為n＝(*，y，(2)由(1)知AD＝(－3，3，0)，AB＝(3，3，0)，AF＝(0，2，z)，平面FAB的法向量為n＝(*，y，z)．11112222由n→→·AD＝0，n·AF＝0，11＋3y＝0，→→－3*11因此可取n＝(3，3，－2)．由n得·AB＝0，n·AF＝0，2y＋3z＝0，122113*＋3y＝0，n·n故可取n＝(3，－3，2)．從而向量n，n的夾角的余弦值為cos〈n，n〉＝得2212＝2y＋3z＝0，21212|n|·|n|122218.7故二面角B-AF-D的正弦值為8.(2013·調研)在三棱錐SABC中，底面是邊長為23的正三角形，點S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點，側棱SB和底面成45°角．假設D為側棱SB上一點，當DB為何值時，CD⊥AB；求二面角S-BC-A的余弦值大?。猓阂設點為原點，OB為*軸，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系O-*yz.由題意知∠SBO＝45°，SO＝3.O(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．-→→→→→→3，3λ)．(1)設BD＝λBS(0≤λ≤1)，則OD＝(1＋λ)OB＋λOS＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD＝(3(1－λ)，－→→→2因為AB＝(3，3，0)，CD⊥AB，所以CD·AB＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝3.SD1故DB＝2時，CD⊥AB.→(2)平面ACB的法向量為n＝(0，0，1)，設平面SBC的法向量n＝(*，y，z)，則n·SB122→3*－3z＝0，*＝z，＝0，n·SC＝0，則解得取n＝(1，3，1)，223y－3z＝0，y＝3z，所以cos〈n，n〉＝3×0＋1×0＋1×15＝.1212＋12＋〔3〕2·155又顯然所求二面角的平面角為銳角，故所求二面角的余弦值的大小為5.在直四棱柱ABCD-ABCD中，AA＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱BB、DA的中點．1111 1 1求二面角D-AE-C的大小；1求證：直線BF∥平面ADE.1解：以D為坐標原點，DA、DC、DD分別為*、y、z軸建立空間直角坐標系如圖．1→則相應點的坐標分別為D(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED＝1 1(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，→AE＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，→AC＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．設平面AED、平面AEC的法向量分別為m＝(a，b，1)，n＝(c，d，1)．1→→－a－b＋1＝0，a＝2，－c＋d＝0，c＝－1，ED·m＝0，AC·n＝0，由1由→b＋1＝0b＝－1，→d＋1＝0d＝－1，AE·m＝0AE·n＝0∴m＝(2，－1，1)，n＝(－1，－1，1)，∴cosm，nm·n－2＋1＋1＝＝＝0，∴二面角DAEC的大|m|·|n|6×31小為90°.證明：取DD的中點G，連結GB、GF.1∵E、F分別是棱BB、AD的中點，1∴GF∥AD，BE∥DG且BE＝DG，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴DE∥BG.11111又DE、DA平面ADE，BG、GF平面ADE，1111∴BG∥平面ADE，GF∥平面ADE.11∵GF、GB平面BGF，∴平面BGF∥平面ADE.1∵BF平面ADE，∴直線BF∥平面ADE.11(或者：建立空間直角坐標系，用空間向量來證明直線BF∥平面ADE，亦可)1(2013·調研)三棱柱ABC－ABC在如下圖的空間直角坐標系中，AB＝2，AC＝4，AA＝3.D是BC的中111 1點．求直線DB與平面ACD所成角的正弦值；111求二面角BAD-C的正弦值．1-1 1解：(1)由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A(0，0，3)，1→ →B(2，0，3)，C(0，4，3).AD＝(1，2，－3)，AC＝(0，4，0).1

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11→ →設平面ACD的一個法向量為n＝(*，y，z)．∵n·AD＝*＋2y－3z＝0，n·AC＝4y＝11

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11-0.∴*＝3z，y＝0.令z＝1，得*＝3.n＝(3，0，1)．設直線DB與平面ACD所成角為θ，111→→3×1＋0×〔－2〕＋1×3335∵DB＝(1，－2，3)，∴sinθ＝|cos〈DB·n〉|＝10×14＝35.11(2)設平面ABD的一個法向量為m＝(a，b，c)．11→→→AB＝(2，0，0)，∵m·AD＝a＋2b－3c＝0，m·AB＝2a＝0，∴a＝0，2b＝3c.11111c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．設二面角BADC的大小為α，111|m·n||0×3＋3×0＋2×1|2373455∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝＝＝，則sinα＝＝.|m|·|m|13×106565653455∴二面角BADC的正弦值為65.1117.(2013·二模)如圖，在三棱柱ABCABC中，AB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝AB＝2.11111求棱AA與BC所成的角的大??；125(2)在棱BC上確定一點P，使二面角P－AB－A的平面角的余弦值為5.111解：(1)如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A(0，2，1→→→→→→→AA·BC12)，B(0，4，2)，AA＝(0，2，2)，BC＝BC＝(2，－2，0)．cos〈AA，BC〉＝→→11111|AA|·|BC|1－41π＝＝－，故AA與棱BC所成的角是.8·8213→→(2)P為棱BC中點，設BP＝λBC＝(2λ，－2λ，0)，則P(2λ，4－2λ，2)．11111→設平面PAB的法向量為n＝(*，y，z)，AP＝(2λ，4－2λ，2)，1→n·AP＝0，λ*＋2y－λy＋z＝0，z＝－λ*，則1→2y＝0.y＝0.1故n＝(1，0，－λ)，1而平面ABA的法向量是n＝(1，0，0)，則cos〈n，n〉＝n·n125112＝＝5，解得λ＝，即P1212|n|·|n|1＋λ2212為棱BC中點，其坐標為P(1，3，2)．11近六年高考題1.【2010高考理第16題】(14分)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大?。敬鸢浮吭OAC與BD交與點G。因為EF//AG，且EF=1，AG=1AC=1.2所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF//平面EG，因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.〔II〕因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.-如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz.則C〔0，0，0〕，A〔2，2，0〕，B〔0，2，0〕.所以CF(2,2,1)，BE(0,2,1)，DE(2,0,1).所以CFBE0110,CFDE101022所以CFBE,CFDE.所以CFBDE.220，(III)由〔II〕知，CF(2,2,1)是平面BDE的一個法向量.設平面ABE的法向量n(x,y,z),則nBAnBE0.(x,y,z)(2,0,0)0所以x0,且z2y,令y1,則z2.所以n(0,1,2).即(x,y,z)(0,2,1)0從而cosn,CFnCF3。因為二面角ABED為銳角，所以二面角ABED的大小為.|n||CF|262．【2011高考理第16題】〔共14分〕如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCDABCD，底面是菱形，AB＝2，BAD＝60.〔1〕求證：BD平面PAC；〔2〕假設PA＝PB，求PB與AC所成角的余弦值；〔3〕當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.P3.【2012高考理第16題】〔本小題共14分〕如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到DAC△ADE的位置，使AC⊥CD,如圖2.B11(I)求證：AC⊥平面BCDE；1(II)假設M是AD的中點，求CM與平面ABE所成角的大?。? 1(III)線段BC上是否存在點P，使平面ADP與平面ABE垂直？說明理由11∴cosCMn1342|CM||n|143132222，∴CM 與平面ABE所成角的大小45。14.【2013高考理第17題】(本小題共14分)如圖，在三棱柱ABC－ABC中，AACC是邊長為4111 11-的正方形．平面ABC⊥平面AACC，AB＝3，BC＝5，11(1)求證：AA⊥平面ABC；1(2)求二面角A－BC－B的余弦值；1 1 1(3)證明：在線段BC上存在點D，使得AD⊥AB，并求BD的值．11BC1【答案】解：(1)因為AACC為正方形，所以AA⊥AC.11 1因為平面ABC⊥平面AACC，且AA垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA⊥平面ABC.11 1 1(2)由(1)知AA⊥AC，AA⊥AB.由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.1 1如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A－*yz，則B(0,3,0)，A(0,0,4)，B(0,3,4)，C(4,0,4)．1 1 1nAB0,3y4z0,設平面ABC的法向量為n＝(*，y，z)，則1即11nAC0,4x0.11令z＝3，則*＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．同理可得，平面BBC的法向量為m＝(3,4,0)．11所以cos〈n，m〉＝nm16.由題知二面角A－BC－B為銳角，所以二面角A－BC－B的余弦值為16.|n||m|25111111255.【2014高考理第17題】〔本小題總分值13分〕如圖，正方體MADE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐PABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱FD，PC分別交于G，H.〔1〕求證：AB//FG；〔2〕假設PA底面ABCDE，且PAAE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長.6.【2015高考，理17】如圖，在四棱錐AEFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EF∥BC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O為EF的中點．(Ⅰ)求證：AOBE；(Ⅱ)求二面FAEB的余弦值；假設BE平面AOC，求a的值．【解析】解：〔Ⅰ〕證明：AEF為等邊三角形，O為EF中點，AO⊥EF又平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO⊥平面EFCB，AO⊥BE，O〔Ⅱ〕以為原點建