三角函數(shù)高考題及練習(xí)題

422時(shí)間：二O二一年七月二十九日422三角函數(shù)高考題及練習(xí)題（含謎底）之阿布豐王創(chuàng)作時(shí)間：二二年七月二十九日1.掌正函、弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象；掌握函數(shù)y＝Asin(ωxφ)的圖象性質(zhì)．2.高試中,三函題相比較力傳統(tǒng),位置靠前,通是以簡(jiǎn)單題形式呈現(xiàn),因在本講復(fù)習(xí)中要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性,特別是要熟練掌握三角函的界說(shuō)、三角函數(shù)圖象的識(shí)別及其簡(jiǎn)單的性質(zhì)(周期、單調(diào)、奇偶、最值、對(duì)稱、圖象平移及變換等．3.三函是年考的必考內(nèi)容,大為基礎(chǔ)題,難屬檔偏易．這幾年的高考加了對(duì)三角函數(shù)界說(shuō)、圖象和性質(zhì)的考查．在這一講復(fù)習(xí)中要重解三角函數(shù)題的一些特殊方法如數(shù)法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)法等．1.函y＝2sin

π

－1是小正周期為的________(填“奇”或偶”)函數(shù)．謎底：π奇π解析：＝－cos

＝－sin2x.2.函f(x)＝lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)______．謎底：解析：在(0,＋∞)內(nèi)作出函數(shù)y、y＝sinx的象即可獲得謎底．π3.函y＋φ),則φ＝________．

π的一條對(duì)稱軸為x,12謎底：

π4ππ解析：由已知可得3×＋＋,k∈Z,即φπ122πππ,k因|φ|<,所以＝.424時(shí)間：二O二一年七月二十九日

01326min時(shí)間：二O二一年七月二十九日01326min04.若f(x)＝2sinωx(0<在區(qū)間π上的年夜值是2,則ω＝________．3謎底：4πωπ解析：由0≤x≤,得0ωx≤<,f(x)在π上333ωπ調(diào)遞增且這個(gè)區(qū)間上最年夜值是2,所2sin＝2,且3ωππωππ30<<,所＝,解得ω＝33344題型二三函數(shù)界說(shuō)及應(yīng)用問(wèn)題例設(shè)函數(shù)f(θ)＝3sinθ＋cosθ,其中角極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始與x軸負(fù)半軸重合,終經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,y),且0≤θ≤π.(1)(2)

若點(diǎn)P的標(biāo),求f(θ)值；x＋y≥1若點(diǎn)P(x,y)為面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定y≤1角θ的取值范圍并函數(shù)f(θ)最小值和最年夜值．31解：(1)根三函界說(shuō)得sinθ,cosθ＝,∴f(θ)22π＝2.(本也可以根據(jù)說(shuō)及角的范圍得角θ,從求3f(θ)＝2)．π(2)在角標(biāo)系中畫(huà)出行域知0≤θ≤,又f(θ)＝32πsinθ＋cosθ當(dāng)θ＝0,f(；當(dāng)θ時(shí)間：二O二一年七月二十九日

0時(shí)間：二O二一年七月二十九日0π,f(θ)＝2.3max(注注意條件,使用三函數(shù)的界說(shuō),一情況下,研三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)及有關(guān)計(jì)算等問(wèn)題時(shí),?？梢韵葘⒑瘮?shù)化簡(jiǎn)變形為yωxφ)的形式如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy,Ox軸為始邊作兩個(gè)銳角α、β,它們的終邊分別與單元圓相交于、B兩點(diǎn)已A、B的225橫坐標(biāo)分別為、.求：105(1)tan(α＋的值；(2)α＋2β的．0225解：由題意得cosα,cosβ,α、β∈π,所105725以sinα＝1－cos2α＝,sinβ＝1－cos2β＝,1051因此tanα＝7,tanβ＝.217＋tanα＋tanβ2(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.1－tanαtanβ11－7×21－3＋2(2)tan(α＋2＝tan[(＋β)＋β]＝＝11－（）×23π又α＋2β∈3π,所α＋2β.4題型二三角函數(shù)的圖象與解析式問(wèn)題例2函f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是數(shù)A>0,的部份圖象如圖所示．(1)求f(0)的值；時(shí)間：二O二一年七月二十九日

32333321666時(shí)間：二O二一年七月二十九日323333216660(2)若0<φ<π,求數(shù)f(x)區(qū)間π上的取值范圍．解：(1)由題圖可知A＝2,T7πππ73π∵＝－＝,∴ω＝2.＋＝2kπ＋,41234122π∴φ＝2kπ＋(k∈Z),3π6∴f(0)＝2sin＋.π(2)φ,f(x)＝2sin

π2x＋

ππ.因0≤x≤,所≤33ππ2x＋≤π,所以0≤sin[0,2]．

≤1,即的取值范圍為(注本主考正、余弦、正切函數(shù)及y＝Asin(＋φ)的圖象與性質(zhì)以及誘公式運(yùn)數(shù)結(jié)合思想,屬于中檔題已知函數(shù)f(x)＝Asinωxωx(A、是數(shù)ω＞10)的小周為2,而當(dāng)＝時(shí),f(x)＝2.3max(1)求f(x)的解析式；(2)在區(qū)間上否存在f(x)的稱？如果存在,求234出其對(duì)稱軸方程；如果不在,說(shuō)明理由．解：(1)因f(x)＝A2ωxφ),由它的最小正周2π11期為2,知＝2,ω＝π.當(dāng)＝時(shí)f(x)＝2,知πφω3max3πππ＋(k∈Z),即φ＝2kπ＋(k∈Z),所以f(x)＝26ππ2sinπ．故f(x)的析式為f(x)＝2sin

.時(shí)間：二O二一年七月二十九日

21417π－44844時(shí)間：二O二一年七月二十九日21417π－44844(2)當(dāng)直x軸的線正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí),該ππ直線就是正弦曲線的對(duì)稱令＋π(k解x621211235965＝k＋(k∈Z),由≤k≤,解≤k≤.又k知k＝5,3434121216由此可知在閉區(qū)間上在f(x)的稱,其程為x＝.233題型三三函數(shù)的性質(zhì)與圖象的移動(dòng)問(wèn)題例3把函數(shù)f(x)＝sinx－2sinxcosx＋3cosx的象沿x軸17π向左平移m個(gè)單元(m>0),所函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對(duì)8稱．(1)求m的最小值；8(2)證：當(dāng)x∈時(shí),經(jīng)過(guò)數(shù)f(x)圖象上任意兩15π－8點(diǎn)的直線的斜率恒為負(fù)數(shù)(3)設(shè)x,x∈(0,≠x且)＝f(x)求x＋x的112212值．1－cos2x(1)解：f(x)＝sinx－2sinxcosx＋3cosx＝－21＋cos2xsin2x＝cos2x－sin2x＝2cos2

π2x＋因?yàn)閷(x)的象沿x軸向左平移m個(gè)單元m>0),獲得g(x)π＝2＋m）17π對(duì)稱,8

的圖象,又的象于直線x＝π－9）所以2＋m＝kπ,即m＝π(k．π因?yàn)閙>0,所以m的小為.4時(shí)間：二O二一年七月二十九日

17π－817π17π－－1242π4π－時(shí)間：二O二一年七月二十九日17π－817π17π－－1242π4π－8π7(2)證：因?yàn)閤∈,所－4＋<－,所15π4288以在上減函數(shù)．所以當(dāng)x、x∈,且15π15－－88x<x時(shí),都有f(x)>f(x),從而經(jīng)過(guò)任兩點(diǎn)(x,f(x))和11211f）－f）(x,f(x))的直線的斜k＝<0.22x1π2(3)解令f(x)＝1,所以cos.π因?yàn)閤∈(0,π),所以2x＋∈.49ππ3ππ5πππ所以2x＋＝或2x＋＝,＝或＝.444442因?yàn)閤、x∈(0,π),x≠x,且f(x)＝f(x)所x1212112ππ3π＝＋＝424已知函數(shù)f(x)＝2sinωx,其中常數(shù)>0.4(1)若y在上調(diào)遞增,求ω的取值范圍；2π3π(2)令ω將函數(shù)y＝f(x)的象向左平移個(gè)元再向6上平移個(gè)元獲函數(shù)的象,間a,b](a,b∈R且a<b)滿：＝g(x)在a,b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn),在有足述條件的a,b]中,求b的最小值．時(shí)間：二O二一年七月二十九日

633231286666666時(shí)間：二O二一年七月二十九日633231286666666解：(1)因ω>0,根題意有30<ω≤.4

ππ－ω≥－422ππω≤32π(2)＝2sin2x,g(x)＝2sin2

π

＋π1π71,g(x)＝0sinx＝kπ－或xπ－π,kπ2π即g(x)的點(diǎn)相鄰隔依次為和,故y在a,b]332ππ上至少含有30個(gè)點(diǎn)則b－a的小值為14×＋15×＝3343π.3已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋－cos(ωx＋φ)(0<φ<π,ω>0)為函數(shù),且函y＝f(x)圖的相鄰對(duì)稱π軸間的距離為.2(1)求f

的值；π(2)將數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單元后,獲得函數(shù)y6＝g(x)的象求數(shù)g(x)單調(diào)遞加區(qū)間．解：(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)＝31π2sin（ωx＋φ）－cosωx＋φ）＝2sinφ2為f(x)為偶函數(shù)所以對(duì)x∈R,f(－x)恒成立,

.因因此sin

π－＋－

πωx＋φ－ππ即－sinωxsinωxcos(φπ－)＋cosωxsin

πφ－

,時(shí)間：二O二一年七月二十九日

666228466663πkπ＋4－6ππ223時(shí)間：二O二一年七月二十九日666228466663πkπ＋4－6ππ223整理得sin

πφ－因?yàn)棣厍襵∈R,πππ所以cos又0＜φ＜π,故－＝.所以f(x)＝2sin

π

2ππ由題意得＝2×,ω2π所以ω故f(x)＝2cos2x,此f＝2.ππ(2)將f(x)的圖象向右移個(gè)元后,獲f象,ππ所以g(x)＝f

π2x－

.當(dāng)2kπππ2π－≤2kππ(kkπ≤x≤kπ＋(k∈Z)時(shí),3636單調(diào)遞加因g(x)的單調(diào)遞加區(qū)間為(k．2πkπ＋3題型四

三角函數(shù)圖象及性質(zhì)、三角公式綜合運(yùn)用例

已知函數(shù)f(x)＝2sin＋x3cos2x－1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周；π(2)若h(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì),且t求的；(3)

當(dāng)∈

時(shí)不式f(x)－m|<3恒立,求數(shù)m的取值范圍．解：(1)因?yàn)?/p>

f(x)＝－cos

π3cos2x＝2sin故f(x)的最小正周期為.時(shí)間：二O二一年七月二十九日

36ππ23π－121233π＋kπ7π12時(shí)間：二O二一年七月二十九日36ππ23π－121233π＋kπ7π12(2)h(x)＝2sin

π2x＋2t－

π.令

π－π3π5π(k又∈(0,故＝或.36π(3)當(dāng)x∈時(shí)2x∈,π32π∴f(x)．又f(x)－m|＜3,即f(x)－3＜f(x)＋3,∴2－3＜m＜1＋3,－＜m已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωxφ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一π7周期內(nèi)當(dāng)x＝時(shí)f(x)得最年夜值3；x＝π時(shí)f(x)取1212得最小值－(1)求數(shù)f(x)的析；(2)求數(shù)f(x)的調(diào)加區(qū)間；3(3)若x∈時(shí)函h(x)＝2f(x)＋1－m有個(gè)點(diǎn)π6求實(shí)數(shù)m的值圍π解：(1)由意A＝3,Tπ

2π＝ω＝2.Tπππ由＋＝＋2kπφ＋2k∈Z.1223π又－π<φ<π,∴φ＝,f(x)

π2x＋

.ππ3ππ7π(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ,得＋2kπ≤23266π7ππ,即＋kπ≤＋kπ,k∈Z.1212∴函數(shù)f(x)的調(diào)遞加間為,k∈Z.＋kπ時(shí)間：二O二一年七月二十九日

366ππ－－63604232π2時(shí)間：二O二一年七月二十366ππ－－63604232π2(3)由意知,方程

sin

πm－1在

π－3π

上有兩個(gè)根．3π3∵x∈,∴2x＋∈.π32π3m－1∴∈2,∴m∈[1－33,7)．61.(2013·江西卷設(shè)f(x)3sin3x若任意實(shí)數(shù)x都|f(x)|≤a,則實(shí)a的取范圍________．謎底：≥2π解析：f(x)＝3sin3x＋cos3x＝2sin以a≥2.

,|f(x)|≤2,所π2.(2013·天津卷)函f(x)間π上的最小值是________．謎底：－

223.全卷函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(π≤π)的π象向右平移個(gè)元與數(shù)y＝sin象合則|φ|＝________．謎底：

5π64.北卷函f(x)＝Asin(ωxφ)(A、ω、φ是常數(shù)A>0,．f(x)在區(qū)間上有單調(diào)性,且fπ2時(shí)間：二O二一年七月二十九日

＝

36π263231222643πkπ－36π263231222643πkπ－f

時(shí)間：二O二一年七月二十九日,則f(x)的最小正周期________．謎底：π解析：由f(x)在間上有單調(diào)性,fπ2π函數(shù)的對(duì)稱中心,函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝

122π7π1ππ＋,設(shè)函數(shù)f(x)的小正周期為T(mén),所以T≥－,2π7ππT即T≥,所－＝解Tπ.3123415.(2014·福建卷)已知函數(shù)f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.2π2(1)若0<α<,且sin＝,求f(α)值；22(2)求數(shù)f(x)的小周期及單調(diào)遞增區(qū)間．π22解：(解法因?yàn)?<α<,sin＝,以cosα.22222211所以f(＝＋－＝2222111＋cos2x1(2)因f(x)＝sinxcosx＋cosx－＝－2222112＝sin2x＋cos2x＝sin222

π

2π,所T＝＝由2kπ－2πππ3π≤2x＋≤2kπ,k∈Z,得kπ≤xπ,k∈Z.所242888以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,k∈Z.πkπ＋8111＋cos2x1(解2)f(x)＝sinxcosx＋cosx－＝sin2x＋－2222時(shí)間：二O二一年七月二十九日

4222242423πkπ－824429π4時(shí)間：二O二一年七月二十九日4222242423πkπ－824429π4112π＝＋cos2x＝sinπ2π(1)因0<α<,sinα,所＝.2242從而f(＝sin

π23π12α＋sin＝2π(2)T＝＝2πππ3π由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋,k∈Z,kπ－≤x≤kπ2428π8＋,k所f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k8π6.(2013·北京卷)已函數(shù)x－1)sin2x＋cos4x.

12(1)求f(x)的最小正周及最年夜值；π2(2)若α,且f(＝,求α的．21解：(1)因?yàn)閒(x)＝(2cosx－1)sin2x＋cos4x＝2112＋＝＝sin222

π4x＋

,所以π2f(x)的小周為,最年夜值為.222π(2)因f(α),以sin因?yàn)棣痢?17ππ時(shí)間：二O二一年七月二十九日

004π2442時(shí)間：二O二一年七月二十九日004π2442π5π9π所以4α＋＝,故＝.4216(本題模擬高考評(píng)分標(biāo),滿14分設(shè)a>0,函f(x)＝asinxcosx－sinx－cosx,x∈π的最年夜值為G(A)．(1)設(shè)t＋cosx,xπ,t的值范圍,并f(x)暗示為t的數(shù)m(t)；(2)求G(A)．π解：(1)t＝sinx＋cosx＝2sinπ∵x∈π,∴x＋∈,43π2π∴≤sin

≤1,∴1≤t≤2,即t的值范圍[1,2]分0(另解：∵x∈π,∴t＝sinx＋cosx＝1＋sin2x.由2x∈[0,得≤sin2x∴≤t2)t2－1∵t＝sinx＋cosx,∴sinxcosx＝,(5分2t2－111∴m(t)＝a·－t＝－t－a,t∈[1,2],a>0.(7分222(2)由次數(shù)的圖象與質(zhì)得：11＋21①當(dāng)<,即a>2(2－1)時(shí)G(A)＝m(2)＝a－2；a22(10分11＋2②當(dāng)≥,即0<a≤2(2－1)時(shí)G(A)＝m(1)＝－2.(13a2時(shí)間：二O二一年七月二十九日

123333322223332222時(shí)間：二O二一年七月二十九日123333322223332222分a－2∴G(A)＝2－1）20<a≤2（2－1）.

(14分ππ1.若＜x＜,則數(shù)y＝tan2xtan3的最年值為42________．謎底：解析：令tanx＝∈(1,＋∞),y

2t41－t2

,y′(t)＝－4t