遼寧省沈陽市第31中學2023屆高三下學期一?？荚嚁?shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．2．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．3．設不等式組表示的平面區(qū)域為，若從圓：的內部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．5．設，且，則（）A． B． C． D．6．已知關于的方程在區(qū)間上有兩個根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．復數(shù)的實部與虛部相等，其中為虛部單位，則實數(shù)()A．3 B． C． D．8．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．210．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，11．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．12．已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標原點若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.14．一個村子里一共有個人，其中一個人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個人，這個人又把謠言告訴了第三個人，如此等等．在每一次謠言傳播時，謠言的接受者都是在其余個村民中隨機挑選的，當謠言傳播次之后，還沒有回到最初的造謠者的概率是_______．15．在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中．現(xiàn)從中隨機取出的種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是_____．16．已知內角，，的對邊分別為，，．，，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點，與交于點，，都垂直于平面，且，，是線段上一動點.（1）當平面，求的值；（2）當是中點時，求四面體的體積.18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內角，，所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關系式：，且，求的面積的值（或最大值）．19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個實數(shù)根，且，證明：.20．（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，為橢圓上一動點（異于左右頂點），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于點兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．22．（10分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現(xiàn)出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究，一名同學在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國累計報告確診病例數(shù)量（單位：萬人）之間的關系如下表：日期1234567全國累計報告確診病例數(shù)量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運用相關系數(shù)進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關系？（2）求出關于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.并預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.2、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結合的方法，屬于基礎題.3、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應的圓心角，根據(jù)幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內部的區(qū)域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎題.4、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質的應用．5、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關系即可求解，屬于簡單題目.6、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構造新的函數(shù)，將方程的解的問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)圖象，再結合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結合法，求得范圍.屬于中檔題.7、B【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.8、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論．【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．9、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質,考查基本量的計算,難度容易.10、D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用，關鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎題.11、A【解析】

進行交集的運算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．12、A【解析】

設出A，B的坐標，利用導數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是解題的思路，由于與切線有關，所以一般先設切點，先設A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設點P的坐標，計算量就大一些.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設根據(jù)橢圓的幾何性質可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質可得，,即故答案為14、【解析】

利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播，謠言一定不會回到最初的人；從第2次傳播開始，每1次謠言傳播，第一個制造謠言的人被選中的概率都是，沒有被選中的概率是．次傳播是相互獨立的，故為故答案為：【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎題.15、【解析】

求解占圓柱形容器的的總容積的比例求解即可.【詳解】解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率．故答案為：．【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎題.16、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）利用線面垂直的性質得出，進而得出，利用相似三角形的性質，得出，從而得出的值；（2）利用線面垂直的判定定理得出平面，進而得出四面體的體積，計算出，，即可得出四面體的體積.【詳解】（1）因為平面，平面，所以又因為，都垂直于平面，所以又，分別是正方形邊，的中點，且，所以.（2）因為，分別是正方形邊，的中點，所以又因為，都垂直于平面，平面，所以因為平面，所以平面所以，四面體的體積，所以.【點睛】本題主要考查了線面垂直的性質定理的應用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.18、見解析【解析】

若選擇①，結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當且僅當時等號成立．∴，故的面積的最大值為，此時．若選擇②，，結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導分析函數(shù)的單調性,并構造函數(shù)根據(jù)單調性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結論可知,在上恒成立,再分別設的解為、.再根據(jù)不等式的性質證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點處的切線方程為.（Ⅱ）設恒成立,故.設函數(shù)則,故在上單調遞減且,又在上單調遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當時，此時,且在上,單調遞減.在上,單調遞增.故,滿足題意；當時，此時有解,且在上單調遞減,與矛盾；當時，此時有解,且在上單調遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調遞減且,又在上單調遞增,故最多一根.又因為,,故設的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故.結合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設的解為,則；設的解為,則.故,.故,得證.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構造函數(shù)結合前問的結論證明不等式的方法.屬于難題.20、（1）見解析（2）直線過定點.【解析】

（1）設出兩點的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，設出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐標代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標，由此求得點坐標，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設切點，，，∴切線的斜率為，切線：，設，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.21、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設軸上存在點，是以為直角頂點的等腰直角三角形，設，，線段的中點為，根據(jù)韋達定理求出點的坐標，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點的坐標.【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設軸上存在點，是以為直角頂點的等腰直角三角形設，，線段的中點為由，消去可得：，解得：∴，，依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡可得：則：，解得：當時，點滿足題意；當時，點滿足題意故軸上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形【點睛】本題考查了橢圓的方程，直線和橢圓的位置關系，斜率公式，考查了運算能力和轉化能力，屬于中檔題.22、（1）可以用線性回歸模型擬合與的關系；（2）