第五講命題邏輯上

第五講命題邏輯上第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日第一節(jié)基本的有效推理式問題：下列推理是否有效？（1）如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán)，那么她年滿18歲。（2）張珊是中國公民，但是她還沒滿18歲。所以，張珊沒有選舉權(quán)。一個(gè)推理的有效性是有其形式?jīng)Q定的(p∧q)→rp∧r∴q第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）如果這種商品價(jià)格低廉并且品質(zhì)優(yōu)良，那么它就能夠暢銷。（2）該商品確實(shí)價(jià)格低廉，但是它不暢銷。所以，這種商品品質(zhì)不優(yōu)良。(p∧q)→rp∧r∴q第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容各異的種種具體推理則只是推理形式的代換實(shí)例，簡(jiǎn)稱為例示。一個(gè)具體推理是某個(gè)推理形式的代換例示，那么代換必須是處處進(jìn)行。所謂代換處處進(jìn)行是指，用一個(gè)具體命題對(duì)一個(gè)變?cè)M(jìn)行代換，對(duì)該變?cè)拿恳惶幊霈F(xiàn)都必須用這同一個(gè)命題來代換。

第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日什么是一個(gè)有效的推理？如果前提真時(shí)結(jié)論必然是真的，我們就稱前提和結(jié)論之間有必然的邏輯聯(lián)系。前提和結(jié)論之間具有必然邏輯聯(lián)系的推理就是有效推理。

第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日什么是無效推理？如果前提和結(jié)論之間不具有必然的邏輯聯(lián)系，那么前提真時(shí)結(jié)論是否為真不能確定，即不能由前提的真有效地推導(dǎo)出結(jié)論真，這樣的推理就是無效推理。第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日有效推理的定義

設(shè)命題序列Γ=〈p1，p2，…，pn，q〉是一個(gè)推理形式，其中p1，p2，…，pn是前提，q是結(jié)論。Γ是一個(gè)有效的推理式，當(dāng)且僅當(dāng)，Γ的每一代換實(shí)例都使得：如果p1，p2，…，pn真那么q真。Γ是無效推理式，如果至少有一個(gè)Γ的代換實(shí)例使得：p1，p2，…，pn真但q假。第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日如何判定一個(gè)推理是無（有）效式？(p∧q)→rp∧q∴r（1）如果李司是中國公民并且他有選舉選，那么他年滿18歲。（2）李司是中國公民，但是他沒有選舉權(quán)。所以，李司還沒滿18歲。第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．2基本的有效推理式1簡(jiǎn)化式（簡(jiǎn)記為∧-）p∧q∴p組合式（簡(jiǎn)記為∧+）

pq∴p∧q第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日“菊花可以觀賞。菊花可以入藥。所以，菊花既可觀賞又可入藥?！薄爱?dāng)事人訂立的合同既有書面形式又有口頭形式。所以，當(dāng)事人訂立的合同有書面形式。”第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2選言三段論（簡(jiǎn)記∨-）

p∨qp

∴q附加式（簡(jiǎn)記∨+）

p

∴p∨q第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）拍賣的物品是委托人所有的或者是委托人依法可以處分的。（2）該拍賣物品不是委托人所有的。所以，該拍賣物品是委托人依法可以處分的?！钡谑?，共四十二頁，2022年，8月28日3分離式（簡(jiǎn)記MP）

p→qp∴q（1）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪動(dòng)機(jī)。（2）王武是犯罪嫌疑人。所以，王武有犯罪動(dòng)機(jī)。第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日逆分離式（簡(jiǎn)記MT）

p→q

q∴p（1）如果天在下雨，那么地是濕的。（2）外面的地不是濕的。所以，天沒有下雨。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日假言三段論（簡(jiǎn)記HS）

p→qq→r∴p→r（1）如果這種商品定價(jià)過高，那么將使企業(yè)喪失部分銷售市場(chǎng)。（2）如果企業(yè)喪失了這部分銷售市場(chǎng)，那么企業(yè)銷售額將受到嚴(yán)重影響。所以，如果這種商品定價(jià)過高，那么企業(yè)銷售額將受到嚴(yán)重影響。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日如下推理式是無效的：

p→q

p

∴qp→qq∴p第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日4.二難推理（簡(jiǎn)記CD）

(p→q)∧(r→s)p∨r∴q∨s第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日二難推理的破壞式：

(p→q)∧(r→s)

q∨s∴p∨r第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日“半費(fèi)之訟”說明，要推出正確的結(jié)論，首先要求推理形式是有效的，形式無效的推理其結(jié)論一定不正確。但是，形式有效的推理結(jié)論是否正確還有賴于前提，如果前提象關(guān)于學(xué)費(fèi)的契約那樣是有問題的，結(jié)論也不一定正確。

第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日總結(jié):我們討論了八個(gè)基本的有效推理式。顯然，構(gòu)成推理式的基本命題公式的邏輯特征決定了這八個(gè)推理式的有效性。

第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二節(jié)推理有效性的形式證明

2．1推理有效性與命題演算邏輯研究的目的是判定一個(gè)推理是否有效及分析其根據(jù)，有了以上八個(gè)基本的有效推理式之后，我們就能判定一個(gè)由復(fù)合命題構(gòu)成的推理是否有效了。第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日對(duì)于簡(jiǎn)單的由復(fù)合命題推理，我們可以直接根據(jù)這些基本有效式來判定推理是否有效。（1）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪動(dòng)機(jī)。（2）王武有犯罪動(dòng)機(jī)。所以，王武是犯罪嫌疑人。第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）如果商品短缺日益嚴(yán)重，那么物價(jià)會(huì)上漲。（2）如果存在生產(chǎn)過剩，那么物價(jià)不會(huì)上漲。（3）如果存在通貨膨脹威脅，那么財(cái)政控制將繼續(xù)。（4）如果政府改組，那么財(cái)政控制將取消。（5）或者存在生產(chǎn)過剩，或者政府改組。因此，商品短缺不會(huì)日益嚴(yán)重，或者不再存在通貨膨脹威脅。第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日建立命題演算系統(tǒng)有兩種方法，一是公理化方法，一是自然演繹方法。公理化的命題演算系統(tǒng)是在形式語言基礎(chǔ)上增添公理和變形規(guī)則建構(gòu)起來的。公理是推演的出發(fā)點(diǎn)，由公理根據(jù)推理規(guī)則推演出的是定理。在公理化系統(tǒng)中，所有定理的可靠性依賴于公理是否成立和推理規(guī)則是否可靠。

第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日自然演繹系統(tǒng)與公理系統(tǒng)有何不同？自然演繹系統(tǒng)沒有公理，只有一系列推理規(guī)則。它引入特定前提為假設(shè)，根據(jù)推理規(guī)則推演出結(jié)論而建構(gòu)起來的演算系統(tǒng)。由于這個(gè)系統(tǒng)描述的推演關(guān)系比較直接而自然地反映了人們的思維過程，因而被稱作自然演繹系統(tǒng)。在自然演繹系統(tǒng)中，所有定理的可靠性則只依賴于推理規(guī)則是否可靠。

第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．2有效推理的形式證明

在命題演算系統(tǒng)中對(duì)推理有效性的證明稱作形式證明。形式證明的定義一個(gè)形式證明是一個(gè)命題公式序列A1，A2，…，An。其中的任一Ai（1≤i≤n）或者是前提，或者是由前面的公式根據(jù)推理規(guī)則得到的。序列的最后一個(gè)公式An恰好是結(jié)論。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日自然演繹系統(tǒng)形式證明是建立在推理規(guī)則基礎(chǔ)之上的。這些規(guī)則大約可分為四部分：一、基本推導(dǎo)規(guī)則，二、等值替換規(guī)則，三、條件證明規(guī)則，四、間接證明規(guī)則。

第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、基本推導(dǎo)規(guī)則1組合規(guī)則（∧+）

pq∴p∧q2簡(jiǎn)化規(guī)則（∧-）

p∧q∴p第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日3否定消去規(guī)則（∨-）

p∨qp∴q4附加規(guī)則（∨+）

p∴p∨q第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日5分離規(guī)則（MP）

p→qp∴q

6逆分離規(guī)則（MT）

p→qq∴p第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日7假言三段論（HS）

p→qq→r∴p→r8二難推理（CD）(p→q)∧(r→s)p∨r∴q∨s第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日如何運(yùn)用規(guī)則建立形式證明？（1）如果商品短缺日益嚴(yán)重，那么物價(jià)會(huì)上漲。（2）如果存在生產(chǎn)過剩，那么物價(jià)不會(huì)上漲。（3）如果存在通貨膨脹威脅，那么財(cái)政控制將繼續(xù)。（4）如果政府改組，那么財(cái)政控制將取消。（5）或者存在生產(chǎn)過剩，或者政府改組。因此，商品短缺不會(huì)日益嚴(yán)重，或者不再存在通貨膨脹威脅。①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D⑥（C→B）∧（F→E）

②④∧+⑦B∨E⑥⑤CD⑧（A→B）∧（D→E）

①③∧+⑨A∨D⑦⑧CD第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日首先將該推理形式化，在此基礎(chǔ)上建立該推理有效性的形式證明。①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．3等值替換規(guī)則為什么要引入等值替換規(guī)則？例如：（A∨B）→C\∴A→C第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

等值替換規(guī)則9、交換律（COM）

(p∧q)(q∧p)(p∨q)(q∨p)

10、結(jié)合律（Ass）((p∧q)∧r)(p∧(q∧r))((p∧q)∧r)(p∧(q∧r))第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日11、德摩根律

（DeM）

(p∧q)(p∨q)(p∨q)(p∧q)

12、分配律（Dist）(p∧(q∨r))((p∧q)∨(p∧r))(p∨(q∧r))((p∨q)∧(p∨r))第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日13、實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵（Impl）

(p→q)(p∨q)

14、假言易位（Tran）(p→q)

(q→p)第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日15、移出律（Esp）

((p∧q)→r)(p→(q→r))16、實(shí)質(zhì)等值（Equi）

(pq)((p→q)∧(q→p))第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日17雙否律（DN）p

p18重言律

（Taut）

p(p∧p)p(p∨p)第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日（A∨B）→C\∴A→C解：①（A∨B）→CP\∴A→C②（A∨B）∨C①Impl③(A∧B)∨C②DeM④(A