第六講連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

第六講連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日所以飛機(jī)被擊落的概率為三解（1）A,B互不相容，則第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日（2）A,B相互獨立，則也相互獨立，從而第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日四解：電路系統(tǒng)如圖設(shè)M為事件“電路發(fā)生斷電”，A,B,C分別為事件“電池A,B,C正?！保瑒t第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日

第六講連續(xù)型隨機(jī)變量的分布5第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)

X

是一隨機(jī)變量，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念1、定義第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日xf(x)xF(x)分布函數(shù)F(x)與概率密度f(x)的幾何意義第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、概率密度f(x)的性質(zhì)1)

2)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，或求其中的未知參數(shù)第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日

故X的密度f(x)

在x

這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則：3.對f(x)的進(jìn)一步理解:3)在f(x)

的連續(xù)點處，X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.,f(x)描述了

第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)xo第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日若不計高階無窮小，有：它表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因為需要指出的是:第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日1)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2)對于連續(xù)型隨機(jī)變量Xbxf(x)a（等于以曲線y=f(x)為曲邊，底為(a,b]的曲邊梯形的面積)第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日xf(x)a第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日例1有一批晶體管，已知每只的使用壽命X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為(c

為常數(shù))求常數(shù)c(3)已知一只收音機(jī)上裝有3只這樣的晶體管，每只晶體管能否正常工作相互獨立，求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)求X的分布函數(shù)F(x)第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日解(1)c=1000(3)設(shè)事件A

表示一只晶體管的壽命小1500小時設(shè)在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y(2)第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日例2在高為h

的ABC中任取一點M,點M到AB

的距離為X,求X的概率密度函數(shù)

f(x).

EFABCh.MXx解作

當(dāng)時使EF

與AB間的距離為x第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日于是第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日求（1）F(x).（2）例3

設(shè)X的概率密度為第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日=01解（1）(2)第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日1、均勻分布(a,b)上的均勻分布記作二、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布若X

的概率密度為，則稱X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日xf(x)abxF(x)ba第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日即X

的取值在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、指數(shù)分布若X

的概率密度為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日1xF(x)0xf(x)0第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日若X~Ｅ(),則所以，又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日例4假定一大型設(shè)備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的Poisson分布,求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布(2)求設(shè)備已經(jīng)無故障運行８小時的情況下，再無故障運行10小時的概率.解(1)第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日3、正態(tài)分布若X的概率密度為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日N(-3,1.2)第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應(yīng)的點處有拐點(±,f(±

)).曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應(yīng)的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應(yīng)的拐點前者取第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日Show[fn1,fn3]大小第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為(x)，其值有專門的表可查(x)

是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對稱第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日-xx第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換即若X~N(,2),則～N(0,1)第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日3原理設(shè)

X~N(,2),求解在一次試驗中,X

落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間的可能性很小由3原理知，當(dāng)?shù)谒氖?，共四十九頁?022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的上分位數(shù)

z常用的幾個數(shù)據(jù)第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

例5

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日因為X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.第四十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日例6

設(shè)X~N(1,4),求P{0X1.6},

P{|X|4}解第四十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日例7

已知且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}.