高中數(shù)學(xué)選修2-2反證法

直接證明與間接證明反證法直接證明：(1)綜合法——(2)分析法——由因?qū)Ч麍?zhí)果索因已知條件結(jié)論……已知條件結(jié)論……

古時候有個人叫王戎，7歲那年的某一天和小伙伴在路邊玩，看見一棵李子樹上的果實多得把樹枝都快壓斷了，小伙伴們都跑去摘，只有王戎站著沒動。他說：“李子是苦的,我不吃?！毙』锇檎獊硪粐L，李子果然苦得沒法吃。

路邊苦李小故事小伙伴問王戎:“這就怪了!你又沒有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎說:“如果李子是甜的,樹長在路邊,李子早就沒了！李子現(xiàn)在還那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”例:小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了。”您能對小華的判斷說出理由嗎？如果昨天晚上沒有下雨，那么地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。定義:在證明一個命題時，人們有時先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法。發(fā)生在身邊的例子:媽媽:小華,聽說鄰居小芳全家這幾天都外出旅游.小華:不可能,我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢!上述對話中,小華要告訴媽媽的命題是什么?他是如何推斷該命題的正確性的?在你的日常生活中也有類似的例子嗎?請舉一至兩個例子.小芳全家沒外出旅游.小芳全家沒外出旅游，假設(shè)小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，與上午在學(xué)校碰到小芳和她媽媽矛盾，所以假設(shè)不成立，所以小芳全家沒外出旅游．證明：在一個三角形中至少有一個角不小于60°.引例已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個不小于60°已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個不小于60°證明：假設(shè)的三個內(nèi)角A，B，C都小于60°，所以∠A

60°，∠B

60°，∠C

60°<<<∴∠A+∠B+∠C<180°這與

相矛盾.三角形內(nèi)角和等于180°∴

不能成立，所求證的結(jié)論成立.假設(shè)反證法的一般步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

反設(shè)歸謬結(jié)論??歸繆矛盾：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。反證法：反設(shè)——?dú)w謬——存真

適宜使用反證法的情況（1）結(jié)論以否定形式出現(xiàn)（2）結(jié)論以“至多-------，”，“至少------”形式出現(xiàn)（3）唯一性、存在性問題（4）結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究的命題。常見否定用語是－－－不是有－－－沒有等－－－不等成立－－不成立都是－－不都是，即至少有一個不是都有－－不都有，即至少有一個沒有都不是－－部分或全部是，即至少有一個是唯一－－至少有兩個至少有一個有（是）－－全部沒有（不是）至少有一個不－－－－－全部都反饋練習(xí)1、寫出用“反證法”證明下列命題的第一步“假設(shè)”.

(1)互補(bǔ)的兩個角不能都大于90°.

(2)△ABC中,最多有一個鈍角

假設(shè)互補(bǔ)的兩個角都大于90°.假設(shè)△ABC中,至少有兩個鈍角2、“已知:△ABC中,AB=AC.求證:∠B<90°”.下面寫出了用反證法證明這個命題過程中的四個推理步驟.

(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.

(2)所以∠B<90°.(3)假設(shè)∠B≥90°.

(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.

這四個步驟正確的順序應(yīng)是()

A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)

C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)反饋練習(xí)C用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.例1證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，連結(jié)

AD、BD、BC、AC,

DPOBAC因為弦AB、CD被P點平分，所以四邊形ADBC是平行四邊形所以因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形所以因此所以，對角線AB、CD均為直徑，這與已知條件矛盾，即假設(shè)不成立所以，弦AB、CD不被P平分。用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.POBADC例1由于P點一定不是圓心O，連結(jié)OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有所以，弦AB、CD不被P平分。證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，即過點P有兩條直線與OP都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成立證法二OP⊥AB，OP⊥CD，1.用反證法證明：如果a>b>0，那么演練反饋2.已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。演練反饋

3.求證：是無理數(shù)。演練反饋總結(jié)提煉1.用反證法證明命題的一般步驟是什么?

用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與題設(shè)矛盾,與假設(shè)矛盾,與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等．①反設(shè)②歸謬③結(jié)論2.用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些?推理

合情推理演繹推理（歸納、類比）（三段論）證明

直接證明間接證明（分析法、綜合法）（反證法）數(shù)學(xué)—公理化思想【探究2】已知a≠0,關(guān)于x的方程

ax=b有解嗎？【探究1】將9個球分別染成紅色或白色無論怎樣染色，至少有5個球一定是同色的。正確嗎？反證法解唯一嗎？【例1】給定實數(shù)設(shè)函數(shù)求證：經(jīng)過函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸?！痉椒偨Y(jié)】推出矛盾，可通過特殊值進(jìn)行說明。[例4]已知0<a≤3，函數(shù)f(x)＝x3－ax在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，設(shè)當(dāng)x0≥1，f(x0)≥1時，f(f(x0))＝x0，求證：f(x0)＝x0.[分析]

要求證明存在某個對象具有某種特殊性質(zhì)，而我們又無法具體地指出這個對象來，如本例，此時應(yīng)考慮用反證法來解決．[證明]

假設(shè)f(x0)≠x0，則必有f(x0)>x0或f(x0)<x0，若f(x0)>x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(f(x0))>f(x0)，又f(f(x0))＝x0，∴x0>f(x0)，與假設(shè)矛盾，若x0>f(x0)≥1，則f(x0)>f(f(x0))，又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)>x0也與假設(shè)矛盾．綜上所述，當(dāng)x0≥1，f(x0)≥1且f(f(x0))＝x0時有f(x0)＝x0.已知p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2.[證明]

假設(shè)p＋q＞2，那么p＞2－q，∴p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.將p3