二次根式專題

數(shù)學(xué)專題【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、二根式式子a）叫做二次根式

第六講：次根式提：次式

必注a___o這一條，結(jié)也一非即

②次式（a≥o）中，a可表數(shù)也以一符條的數(shù)二、二根式的性質(zhì)：（a①（=（a≥0）

=

（a＜）③

=（a≥0,b）④

ab

=

(a≥0,b≥0)提二次根的質(zhì)意逆如較233的大小逆a≥0)將根號(hào)外的整數(shù)移到根號(hào)內(nèi)再比較被開方數(shù)的大小三、最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足條件：1、被開方數(shù)的因數(shù)是，式是整式2、被開方數(shù)不含的數(shù)或因式四、二次根式的運(yùn)算：1、二次根式的加減：先將二次根式化簡(jiǎn)，再將法同合并同類項(xiàng)法則相同2、二次根式的乘除：

的二次根式進(jìn)行合并，合并的方乘除法則：.=（a≥0除法法則：3、二次根式的混合運(yùn)算順序：算再最算

（a＞0提：、次式法運(yùn)過一情下用分中根化這方進(jìn)：如

=、二根混運(yùn)過要?jiǎng)e意個(gè)法式運(yùn)3二根運(yùn)的果定化重考例考一二根有義條4例如代數(shù)式有義，則x的值范圍（）3A≠3B．x＜3C．x＞3．x≥3

思分：據(jù)二次根式的意義得出x-3，據(jù)分式得出x-3≠0即可得出x-3，求出即可．解要使代數(shù)式必須x-3，解得：＞3故選C．

4

有意義，點(diǎn)：題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件的用，注意：分式≠0，二次根式中a≥0．對(duì)訓(xùn)

中A1．使代數(shù)式

2x

有意義的x的值范圍是（）A≥0B．x≠

C≥0且x≠

D．一切實(shí)數(shù)解：由題意得：2x-1≠0，x，解得：≥0且≠考二二根的質(zhì)

，故選C．例實(shí)在軸上的位置如圖所示＞|b|簡(jiǎn)

aa|

的結(jié)果）A．2a+b．-2a+b．b．2a-b思分：根據(jù)數(shù)軸可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，么可知a+b＜0再結(jié)合二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的計(jì)算進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可．解根據(jù)數(shù)軸可知，，b，原式=-a-[-（a+b故選C．點(diǎn)：次根式的化簡(jiǎn)和性質(zhì)實(shí)數(shù)與數(shù)軸解的關(guān)鍵是注意開方結(jié)果是非負(fù)數(shù)、以及絕對(duì)值結(jié)果的非負(fù)性．對(duì)訓(xùn)2．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則解：∵由數(shù)軸可知：＜0，|b|＞|a|(a∴=|a+b|+a=-a-b+a=-b，故案為：-b．考三二根的合算

(

的化簡(jiǎn)結(jié)果為．

22222222222222例

23)2

．思分：用二次根式的分母有理化以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)別化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．解原式=

22=

23=3．二次根式的混合運(yùn)算以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，將各式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．對(duì)訓(xùn)3．計(jì)算：

48

12

1224

．解：

48

12

122443664

．考四與次式關(guān)求問例先簡(jiǎn)，再求值：

1xx()x(xx

，其中x=．思分：根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x的代入進(jìn)行計(jì)算即可．解原式=

1x(x(4

，當(dāng)

時(shí)，x+1＞0，可知

(x

，故原式

x1x(x4

2

；點(diǎn)：查的是二次根式及分式的化簡(jiǎn)求值，解答此題的關(guān)鍵是x=(x，此題難度不大．對(duì)訓(xùn)

時(shí)得出4．計(jì)算

64

之值為何？（）

222222AB．25C．50．80分析根據(jù)平方差公式求出114-64=178×50提出50得50×（178-50）=50×128，分解后開即可．解：

====

(11464)5017850)128

=

=2×5×8，=80，故選D．考查了平方差公式因分解二次根式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用解此題的關(guān)鍵是能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算【焦考1．下列運(yùn)算正確的是（）BA．

(

B．

1()4

C．x÷x

D．（x

）

=x

2.計(jì)：

．03．計(jì)算：

(

．7【考題關(guān)一選題1．要使式子有義，則x的取范圍是（D）A＞0B．x≥-2C．x≥2D．x≤22．計(jì)算2（A）A．

B．5C．

52

D．

1023.計(jì)：

=（）

4．已知

m

33

)21)

，則有（）A＜mB．4＜5．-5＜m＜-4D．-6＜m＜-5解：

m

33

)21)23273728

，∵

25

2836

，∴

5

28

，即5＜m＜6，故選A．5．下列計(jì)算正確的是（D）A=x

B．m?m=mC．

3

D．

1476．下列等式一定成立的是（B）A．

94

5

B．

5315

C．

9

D．

(

7．使式子A．x≥﹣1解：根據(jù)題意，得，解得，≤x≤2；故選B．

有意義的x的值范圍是（）B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜28．下列各式中，二次根式

的有理化因式是（）A．

B．

C．D．解：∵∴二次根式

×

=a﹣b，的有理化因式是：．故選：．主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出是解題關(guān)鍵．9．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A．B．．D．分析：根二次根式的乘法對(duì)A、B行判斷；根據(jù)二次根式的除法對(duì)C進(jìn)判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行斷．解：A、=，以A選的計(jì)算正確；B、與不是同類二次根式，不能合并，所以B選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C、÷===2，以選項(xiàng)計(jì)算正確；D、==×=2，所以選項(xiàng)計(jì)算正確．故選B．10．列計(jì)算正確的是（）A．B．．D．分析：根同類二次根式才能合并可對(duì)A行判斷；根據(jù)二次根式的乘法對(duì)B進(jìn)判斷；先把化最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行合并，即可對(duì)進(jìn)行斷；根據(jù)二次根式的除法對(duì)D進(jìn)行判斷．解：A、與不能合并，所以A項(xiàng)不正確；B、×=，所以B選不正確；C、﹣=2=，以項(xiàng)正確；D、÷=2÷=2，以D項(xiàng)不正確．故選C．11．列計(jì)算或化簡(jiǎn)正確的是（）A+a=a

B．C．D．分析：A、根據(jù)合并同類項(xiàng)的則計(jì)算；B、化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式即可；C、計(jì)算的是算術(shù)平方根，不是方根；D、利用分式的性質(zhì)計(jì)算．解：A、a+a=a+a，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、C、D、

+3=+，選項(xiàng)錯(cuò)誤；=3，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；=，選項(xiàng)正確．故選D．考查了合并同類項(xiàng)二根式的減法算術(shù)平方根、分式的性質(zhì)題的關(guān)鍵是靈活掌握有關(guān)運(yùn)算法則，并注意區(qū)分算術(shù)平方根、平方根．12．列計(jì)算正確的是（）A．B．．D．分析：根二次根式的乘除法則，及二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案．解：A、?=1，故本選項(xiàng)正；B、﹣≠1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤C、=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．

二填題13．x=-4時(shí)，

6x

的值是．

3214．是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為．5解：∵20n=2×5n∴整數(shù)的小值為5．故答案是：．15．二次根式x有義，則x的值范圍．x≥-116．當(dāng)x

時(shí)，二次根式

1

有意義．＞017知

(

b=2-a的值范圍是23解：∵

(3)

，∴

0,

，解得a且a＜∴0＜a＜，

，∴

30

，∴

3

，即

2

．故答案為：

2

．18．算

20

15

的結(jié)果是．219．算

的結(jié)果是．

2解：原式

2)22

．故答案為：20.計(jì)算：

。322

．

32

21．算

2418

13

．

22．式子

有意義的最小整數(shù)m是．分析：根被開方數(shù)大于等于0列式算即可得解．解：根據(jù)題意得，m≥0，解得m，所以最小整數(shù)m是2．故答案為：．三解題123．算：（-1）+（π-3）+()-2

2)

．解：原式-1+1+2-（

）=3-

．24．算：+|-4|-9×32．解：3+|-4|-9×3-2012=

-1=6+4-3-1=6．25．算：．分析：先括號(hào)得到原式=﹣到原式2﹣+．后合并可．解：原式=﹣+=2﹣+=2．

+，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘法法則得26．算：+（）﹣

+1﹣1分析：原第一項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式二利用負(fù)指數(shù)公式化簡(jiǎn)三利用平方差公式化簡(jiǎn)，合并后即可得到結(jié)果．解：=2=2=2

+（）﹣+4﹣（5﹣1）+4﹣4．

+1﹣1）二根綜練題一、亮你的觀點(diǎn)，明智選擇?。啃☆}2，共16）

2

是二次根式，則

x

的取值范圍是（）.（A）

（B）

（C）

1（D）22.下各式中屬于最簡(jiǎn)二次根式是（）.（A）

（B）

x

y

（C

（D）

3

是同類二次根式的是（）.（A）

（B）

8

（C）

（D）

4.下運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）.（A）

23

6

（B）

273（C）

a22a)2

（D）

(23)

5.化二次根式3（A）

(

得（）.53）

）

（D）306.把

化去分母中的根號(hào)后得（）.（A）7.已（A）

，那么

a

b（B））可化簡(jiǎn)為（）.aa））

12

b

（D）

（D）a

8.計(jì)32

的結(jié)果是（）（A）

2（B）C.2（D2二、寫出你的結(jié)論，完美填空！（每小題3，共24分x

滿足條件_______時(shí)，式子x是二次根式10.計(jì)算：

_______，

(2

_，－

5

的倒數(shù)是_____________.11.化簡(jiǎn)：32_________，2.5，

23

________________.12.直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，6）到原點(diǎn)距離___________.

13.如所示，矩形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為和2，那么陰影部分的面積為___________．14.如△ABC的邊

a

=7

50

，

=4

，

=2

98

，則周長(zhǎng)為_______________.15.已2＜

＜5，化簡(jiǎn)

(

+

(x

＝________.16.觀下列各式：1

111111,2,3,....33455

請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n

(

n

≥1)的等式表示出來．三、展示你的思維，規(guī)范解答！（共60分）17.（24分計(jì)算：（1）

3

(

；（2）（3

+

35

）÷

5

；（3）

32

117538

；（4）

(26)(26)

.18.（12分某中學(xué)有一個(gè)長(zhǎng)方形水池，長(zhǎng)是140m寬是m，校要重新規(guī)劃，現(xiàn)要將其改成一個(gè)面積相等的圓形游泳池，那這個(gè)圓形游泳池的半徑是多少？119.（12分）生活經(jīng)驗(yàn)表明：靠擺放梯子時(shí)，若梯子底端離墻距離約為梯子長(zhǎng)度的，3梯子比較穩(wěn)定，現(xiàn)有一長(zhǎng)度為的梯，當(dāng)梯子穩(wěn)定擺放時(shí)，它的頂端能達(dá)到5.6m高的墻頭嗎？

20.（12分閱讀下面的文字后，回答問題：甲、乙兩人同時(shí)解答題目：“化簡(jiǎn)并求值1a

，其中

．”甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：

a

2

a)

2

a

；乙的解答是：

aaa2)aa

．（1）的答是錯(cuò)誤的（2）錯(cuò)誤的解答在于未能正確用二次根式的性質(zhì)：．（3）模上題解答：化簡(jiǎn)并求：

a

，其中

．四、（附加題）提升你的潛能，快樂探索！分）（20分）大家知道，因式分是數(shù)學(xué)中的一種重要的恒等變形，應(yīng)用因式分解的思想方法有時(shí)能取得意想不到的效果，如化簡(jiǎn)：(2(22222

2

；(3)22)(32)(32)2223

.（1）化簡(jiǎn)：

14

.（2以化簡(jiǎn)結(jié)果中找出規(guī)律出

（

n

為

的正整數(shù)表示上面規(guī)律的式子.（3）根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算：（

1111）（+）.3243520082007

22參答：；2.A；3.C；4.D；5.B；6.D；7.C；8.A9.

；10.45，

55

；11.

2

10，，；212.

38

；13.2－2；14.73；15.3；16.

n

11nn

；17.（1）3；（2

163；（3）253

3

；（4）6.18.解

14035

7