2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市高一下學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市高一下學期期末數(shù)學試

題

一、單選題

2

1.若復數(shù)z滿足‘-1+i,則z的虛部為()

A.1B.-1C.iD.-i

B

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得z可得答案.

2_2(l-i)_

z-------=-----------=1-1

【詳解】由題意得1+i2,故則z的虛部為一1,

故選：B

I\_

2.若。、bwR,則“4>6”是"("+1)2>("+1)2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

B

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】取〃=1，6=-2,滿足a>b,而(HD?無意義，即不能推出

(a+1)2>(6+1)2

若(4+1)2>3+1)2,則必有a+l>6+120,即a>b成立，

！￡

所以“a>b，，是“伍+1)2>3+1)2，，的必要不充分條件.

故選：B

3.為了了解某道口堵車情況，在今后的三天中，假設每一天堵車的概率均為40%.現(xiàn)

采用模擬試驗的方法估計這三天中恰有兩天堵車的概率：先利用計算器產(chǎn)生0到9之間

的隨機整數(shù)，用1、2、3、4表示堵車，用5、6、7、8、9、0表示不堵車：再以每

三個數(shù)作為一組，代表這三天的堵車情況.經(jīng)試驗產(chǎn)生了如下2。組隨機數(shù)：

807066123923471532712259507752

443277303927756368840413730086

據(jù)此估計，這三天中恰有兩天堵車的概率近似為()

A.0.25B,0.3c.035D,0.40

A

【分析】找出表示事件“三天中恰有兩天堵車”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求

得結果.

【詳解】表示事件“三天中恰有兩天堵車''的數(shù)組有：923、471、532、712、303,

共5組，

P=—=0.25

所以，這三天中恰有兩天堵車的概率近似為20

故選：A.

4.已知加，〃是兩條不同的直線，以，是兩個不同的平面，則以下命題正確的是

（）

A.若加〃mHa,〃〃夕，則B.若加〃z_La,則〃//a

C.若〃?〃a,m_L〃，則〃J_aD.若陽ml1/3則a_L/7

D

【分析】根據(jù)空間線與線、線與面、面與面的位置關系逐項判斷即可.

【詳解】解：A項中，若機〃"，m"a,〃〃），則平面出力有可能平行，也有可能相

交，故A項錯誤；

B項中，若加工"，mla,則”//a或"ua,故B項錯誤；

C項中，若m〃a,mln,則直線〃與平面a可能平行，可能相交，也可能”ua,

故C項錯誤；

D項中，若mla,m/甲,則，故D項正確.

故選：D.

5.北京時間2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙

十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預定時間精準點火發(fā)射，約582秒后，神舟

十三號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3

名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功.此次航天飛行任務中，

火箭起到了非常重要的作用.在不考慮空氣動力和地球引力的理想情況下，火箭在發(fā)

動機工作期間獲得速度增量v（單位：千米/秒）可以用齊奧爾科夫斯基公式

1\

V=691n14--

I來表示，其中，3（單位：千米/秒）表示它的發(fā)動機的噴射速度，

m（單位：噸）表示它裝載的燃料質(zhì)量，M（單位：噸）表示它自身（除燃料外）質(zhì)

量.若某型號的火箭發(fā)動機的噴射速度為5千米/秒，要使得該火箭獲得的最大速度

v達到第一宇宙速度（79千米/秒），則火箭的燃料質(zhì)量機與火箭自身質(zhì)量M之比

m

"約為（）

A.eL58-lB.e158C.JD.e0-58

A

v=co\n\1+—

【分析】由題意，？=7.9,8=5代入IM),運算即得解

v=tylnf1+—1

【詳解】由題意，丫=7.9,。=5代入k可得

7.9=51n(l+5)nln[l+3]=1.58

\+—=e'5i—=e158-l

故MM

故選：A

blo2

6.若。=cos2,=g3,。=晦4,則（）

A.a>h>cB.b>a>cQc>h>aph>c>a

C

【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)和余弦函數(shù)性質(zhì)比較即可

—<2<7T

【詳解】因為2,所以cos2<0,即”0,

因為V=bg3X在（。,鐘）上為增函數(shù)，旦0<6<雙〈典,

所以logs石<log3我<log,我

I2

3

所以logs32<log32<log33

—<log,2<——<b<—

所以23,即23

因為N=bg6X在（0,+s）上為增函數(shù)，且癡<痂<6,

所以logs疾<>°§6廂<log66

2

所以Iog663<log64<log66,

22

—<log,4<1—<c<1

所以3,即3,

所以c>6>”,

故選：C

7.如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點P距地面

的距離，小明同學在場館內(nèi)的力點測得尸的仰角為30°,

480=120。，/8/。=30。，AB=60（單位：m）,（點48,°在同一水平地面上）,

則大跳臺最高高度°P=（）

A.45mB.45\/2m

C.60mD.60V3m

C

【分析】在中由正弦定理算出/°=60G,在放△/尸。中，得到°尸=60.

【詳解】在中，480=120。，ZBAO=30°,所以N/OB=30°,又AB=60,

由正弦定理可得,

ABAO

sin4O8sinZABO9

，八ABsinZABO2.八A

AO=-----------------=-=60V3

sin乙4OB1

2

33。。=絲=耳=走

在RM4Po中,AO60V33

所以，00=60(m)

故選：C.

2-0…

f(x)=-

-x*2+l,x>0

8.已知函數(shù)2則不等式‘（3'T）>3的解集為（)

c.(o，i)

A(log34,+oo)B.5)D.(L"°)

D

【分析】利用分段函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求解3'TVO,3*-1>0時不等式的

解集即可.

/『I一（丁

【詳解】解：當3*-140時,，J/,所以〃3'T)41,

故當3、-14°時，不等式無解,

/(3r-l)=l(y-l)2+l

當3、-1>0時,

-(3r-l)2+l>3

令2,得3、-l>2,解得x>l.

故選：D.

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.已知數(shù)據(jù)和.…低的方差為4,則2%+3,2%+3,…,2x“+3的方差為&

B.對于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)

C.若48是兩個互斥事件，則P(7U歷=1

D,若事件48C兩兩獨立，則尸(/3C)=P(Z)尸(B)P(C)

BC

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的

估計，可判斷B;利用P(/UB)=1-P(工團可判斷c；舉反例判斷D.

【詳解】對于A,數(shù)據(jù)再K2,…，毛的方差為4,

則2演+3,2超+3,…,2相+3的方差為22x4=16,故A錯誤；

對于B,對于單峰的頻率分布直方圖而言，如果左右對稱，則中位數(shù)和平均數(shù)大致相

等，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)將變大，更遠離峰值處，中位數(shù)位于單峰附近,

故平均數(shù)大于中位數(shù)，B正確；

對于C,因為'，8是兩個互斥事件，故尸(月團=0,

所以「(Nu豆)=1-P(皿=1-0=1,故C正確;

對于D,舉例如從1、2、3、4四個數(shù)字中隨機取一個，即事件Z="取出的數(shù)字為1

或2"，事件8="取出的數(shù)字為1或3"，事件C="取出的數(shù)字為1或4”，

AB=BC=AC=N8C="取出的數(shù)字為1”，

PQ)=P(B)=P(C)=-=-P(AB)=P{AC)=P(BC)=P(ABC)=-

貝U42,4,

滿足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=尸(8)P(C),

即事件48,C兩兩獨立，但48,故D錯誤，

故選：BC

10.設復數(shù)4=石+Lz2=x+yi(X,"R),ZE對應的向量分別為

°Z”O(jiān)Z2(0為坐標原點)，則()

A.匕|=2B.若。ZJ/OZz,則Gx+y=0

C.若QZJOZ?,則平2=0D.若IZ2+Z1區(qū)G,貝|］匕-21］的最大值

為36

AD

【分析】對A,根據(jù)模長公式求解即可；

對B,根據(jù)向量平行的坐標公式求解即可；

對C,根據(jù)向量垂直的坐標公式求解'J的關系，再求解ZK即可；

對D,根據(jù)復數(shù)的幾何意義數(shù)形結合求解即可

【詳解】對A,%"疔+代=2；

對B,4=6+i對應的坐標為4=（反1）,Zz=x+W對應的坐標為（xj）,因為

OZJ/OZ?,故后一x=0,即》=島，故B錯誤；

對C,若°Z|_L°Z2,則任+了=0,即y=-Qx,因為°Z|_LOZ2,故6x+y=0,

即尸-底，故3=儂+為-扇A岳一2方已故c錯誤；

對D,若匕+4區(qū)石，即|（'+”>&+并百，其幾何意義為UM到（一亞一1）的

距離小于等于百，又匕-2”的幾何意義為（X/）到（。,2）的距離，故|z「2i|的最大值

J^-yfi—0）+（―1—2）+>/3=3^3

故D正確；

故選：AD

11.如圖所示，四邊形/'8'C'。'是由斜二測畫法得到的平面四邊形"8CO水平放置的

直觀圖，其中，彳。'=5,C'D'=C'B'=2t點P'在線段C'。'上，P對應原圖中的點P,

則在原圖中下列說法正確的是（）

A.四邊形”88的面積為14

_(_21)

B.與48同向的單位向量的坐標為5'5

__(2_!2

C.在向量上的投影向量的坐標為5'5

D.|3萬+而|的最小值為*

ABD

【分析】根據(jù)直觀圖可得四邊形力8。為直角梯形，從而可求得原圖形的面積，即可

判斷A；以點。為坐標原點建立平面直角坐標系，寫出而的坐標，再根據(jù)與在同向

AB

的單位向量為I'']即可判斷B；根據(jù)而在向量上的投影向量的坐標為

前.亦AB

網(wǎng)M即可判斷C；設尸(°，垃”[0,4],根據(jù)向量線性運算的坐標表示及模的

坐標表示即可判斷D.

【詳解】解：由直觀圖可得，

四邊形48co為直角梯形，且ZO=5,C￡>=4,8C=2

(2+5)x4

=14

則四邊形/8CO的面積為一廠

故A正確:

如圖，以點。為坐標原點建立平面直角坐標系,

則。(0,0),4(5,0),C(0,4),8(2,4)

則方=(-3,4),

所以與一N8同向的單位向量的坐標為命II、',故B正確:

布=(-5,0)

相詬AB_15(-3,4)(92]

則在向量力8上的投影向量的坐標為III'，故C

錯誤；

設P（0j）/w[0,4],

則方=（5f），麗=（2,4_J）,

則3萬+方=（17,4-紗）,

R苒+戶司=^172+（4-4y）2

當N=1時，+取得最小值17,故D正確.

"8=80=2,/是力。的中點.沿8。將△BCD翻折，折成三棱錐C-480,翻折過程

中下列結論正確的是（）

A.存在某個位置，使得0”與8。所成角為銳角

B.棱CD上存在一點N,使得A/N//平面/8C

C.三棱錐C-/8。的體積最大時，二面角C-4O-8的正切值為指

28萬

D.當二面角/-80-C為直角時;三棱錐C-N8D的外接球的表面積是3

BCD

【分析】證明CW8。判斷A：取CZ）的中點N,由MN//HC推理判斷B：三棱錐

C-18D的體積最大時確定點C位置判斷C：求出三棱錐C-Z8。的外接球半徑計算

判斷D作答.

【詳解】對于A,取8。中點E,連接CE,ME,如圖，因△88是正三角形，有

CE1BD,而M是Z。的中點,

有ME"AB,而4BLBD,則A/￡_L8。，CEcME=E,CE,MEU平面CME,

于是得3D_L平面CNE,CMu平面CME,所以CML8O,A不正確；

對于B,取CQ的中點N,連MN,因"是“。的中點，則MN//ZC,4Cu平面

4BC,"NU平面48C,所以MN//平面48C,B正確；

S.?n=-AB-DB=2

對于C,因“2,要三棱錐C-"80的體積最大，當且僅當點C到平

面/8D距離最大，

由選項A知，點C到直線8。的距離CE=￡,NCEM是二面角Z-8O-C的平面角，

當Z.CEM=90°時，CEJ?平面ABD,

即當C到平面距離最大為CE=W時，三棱錐C-/8O的體積最大，此時點C在平

面48。上的投影為點E,從而可知A。。在平面41。上的投影為A"。，設二面角

C-AD-B的平面角為0,則有S.CAD?cos9=S^EAD,

在中，可知北=石，皿。2"BD22,

在AC/Z）中，可知ZC=2V^,又AD=2\[^.,CD=2,

22

/rAn_AC+AD--CD_8+8-4_3不

所以024CZD-2x2區(qū)2及?于是有sm"D=7,

所以晨皿=丁252后丁行，從而有限os6=l,

cosd=-4=nsin6=牛=>tan0=&

所以SV7,c正確；

對于D,三棱錐C-的外接球被平面BCD所截小圓圓心0是正ABCD的中心,

被平面“8。所截小圓圓心為點”，設球心為0,連°a,ow,則。aJ?平面sc。，

OM_L平面480,

當二面角4-8O-C為直角時，由選項c知，CEJ_平面is。，平面8CQ,有

0M/iO\E,OOJIME,

g/OM=O,E=

四邊形。為矩形，3,連/O,在中，

AO=^AM2+OM2=J(0>+哼>=

S=4nAO2=—

所以三棱錐C-Z8O的外接球的表面積3,D正確.

故選：BCD

關鍵點睛：幾何體的外接球的表面積、體積計算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出

球心位置是解題的關鍵.

三、填空題

13.高一某班舉行黨史知識競賽，其中12名學生的成績分別是：

61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98,則該小組12名學生成績的75%

分位數(shù)是.

92

【分析】利用百分位數(shù)的計算公式進行計算.

12x750/=9

【詳解】/。一，故選取第9個和第10個數(shù)的平均數(shù)作為75%分位數(shù)，

二二92

即2

故92

1tan(a_/]=；

14.已知12>,1*2,則cosa=_

Vio

lo-

【分析】利用兩角差的正切公式，可以求出tana,根據(jù)同角三角函數(shù)的關系，結合

a心巧

12人可以求出cosa的值.

(消1

tana----=—

【詳解】???,M2,

tana-1_1

1+tana2,

解得tana=3,

...sin2<74-cos2a=1…①

sina-

tana=-----=3

cosa,…②

Vio

cosa=-----

解①②得10

Vio

故一記.

15.已知定義在R上的函數(shù)/（X）滿足：函數(shù)/（X-D的圖象關于點（1，°）中心對稱，函數(shù)

/Uki?=

f（x+l）是偶函數(shù)，且I2J,則\2）

【分析】根據(jù)函數(shù)/a-D的圖象關于點（L°）中心對稱，可得函數(shù)/（龍）為奇函數(shù)，再

根據(jù)函數(shù)“x+D是偶函數(shù)，可得/（x+l）=/（r+l）,函數(shù)"x）關于x=l對稱，從而

可得函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性和對稱性即可得出答案.

【詳解】解：因為函數(shù)/a-D的圖象關于點。，°）中心對稱，

所以函數(shù)/（X）關于原點對稱，即函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，

又函數(shù)/（x+D是偶函數(shù)，

所以"x+l）=/（-x+l）,函數(shù)/（X）關于x=l對稱，

則f（x+2）=/（-x）=-/（x）,

所以，（x+4）=/（x）,

所以函數(shù)/（X）是以4為周期的一個周期函數(shù)，

又所以/圖…/出

所以?嗎卜一

故答案為.T

四、雙空題

16.已知某班男女同學人數(shù)之比為5：4,該班所有同學進行踢健子比賽，比賽規(guī)則如

下：每個同學用腳踢起健子，在翅子落地前用腳接住并踢起，腳沒有接到健子則比賽

結束.現(xiàn)記錄了每個同學用腳踢起健子開始到健子落地，腳踢到健子的次數(shù)，已知男

同學用腳踢到毯子次數(shù)的平均數(shù)為21,方差為17,女同學用腳踢到健子次數(shù)的平均數(shù)

為12,方差為17,那么全班同學用腳踢到穰子次數(shù)的平均數(shù)為,方差為.

1737

【分析】設男女生分別有加，4a人，利用平均數(shù)的求法求全班的￡（'）,再由

E（X?）-E\X）=O（X）求出男女生對應E（X?）值，進而求全班的方差.

【詳解】設男女生分別有50，4a人，則全班同學用腳踢到鍵子次數(shù)的平均數(shù)為

21X5〃+12X4Q153「

---------------------=-----=17

5。+4Q9,

15a22i4a22

—fx,-21=17—fZ-12=17

對于男生，5aI；對于女生，4a；

=458x5“gy；=[6]x4a

所以i,

15a4a

—（YX,2+Y^2）-172=37

而全班同學用腳踢到鍵子次數(shù)的方差為94,-=,,-=.

故17,37

五、解答題

17.甲、乙兩名射擊運動員分別對一個目標射擊1次，甲射中的概率為0-8,乙射中的

概率為09,求：

（1）2人中恰有1人射中目標的概率；

（2）2人至少有1人射中目標的概率.

⑴0.26;⑵098.

【詳解】試題分析：記“甲射擊1次，擊中目標”為事件A,“乙射擊1次，擊中目標”

為事件B,（I）根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，2人

中恰有1人射中目標的概率為：0（4'）+P（'l）=尸⑷尸⑻+尸?）尸⑻，代入數(shù)據(jù)

求出結果；（2）2人至少有1人射中目標的概率（法1）:

P=P（48）+[P?.8）+P?.8）],代入數(shù)據(jù)求出結果;（法刀：

/>=1-2?.8）=尸?*（8）,代入數(shù)據(jù)求出結果

試題解析:記“甲射擊1次，擊中目標”為事件A,“乙射擊1次，擊中目標”為事件B,則

A與B,A與B,A與B,A與B為相互獨立事件，

（1）”2人各射擊1次，恰有1人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中

（事件/發(fā)生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事件A-B發(fā)生）根據(jù)題意，事件

4?7與1-B互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，

所求的概率為：

P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（3）=0.8x（1-0.9）+（l-0.8）x0.9=0.08+0.18=0.26

???2人中恰有1人射中目標的概率是0.26.6分

（2）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為

P=P{A-5）+\jP（A-B）+P（A-5J|=0.72+0.26=0.98

（法2）：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”為對立事件，2個都未擊中目標的概率

,,P（AB）=P（A）P（B）=（1-0.8）（1.09）=0.02

皿1k?A++口P=1—P（A-B）=1—0.02=0.98

??.“兩人至少有1人擊中目標”的概UlT率為MI）.

點睛：設A、B為兩個事件，如果P（AB）=P（A）P（B）,則稱事件A與事件B相互獨

立.若A與B是相互獨立事件，則A與豆，）與B,N與豆也相互獨立.相互獨立事

件同時發(fā)生的概率.尸（"8）=°⑷°⑻一般地，如果事件…4相互獨立，那么這

n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積.

/（x）=2sin|2x+—|+2

18.已知函數(shù)I.

⑴若/（a）=3,且。€（0,兀），求a的值;

16兀兀

（2）若對任意的.’2」，不等式/（、）>加-3恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

兀

（1）3

（2）S4）

sin[2cr+—j=—zn、

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得I6J2,結合ae”,町即可求解;

（2）根據(jù)X的范圍求得f（X）的范圍，只需/"）而">'”-3即可求解.

1

2sin(2a+-^-1+2=3sinl2a+—

【詳解】（1）因為/（°）=3,所以即V62

Tl_7113K

又由a?。，兀),得**<T,

c兀5兀兀

2a+—=—ct=-

所以66,解得3.

兀兀2兀兀，7兀

⑵對L42」，有366,

所以十面,+篇當，可得］"（*2+色

所以要使/G）>"-3對任意的由‘5」恒成立，

只需/0）而“>”-3,

所以m-3<1,解得.加<4

故所求實數(shù)〃?的取值范圍為（一°°'4）.

19.已知正三棱柱"8C-4耳G中，AB=2,〃是4G的中點.

（1）求證："G〃平面

（2）點尸是直線"G上的一點，當'G與平面”8C所成的角的正切值為2時，求三棱錐

P-4M8的體積.

（1）證明見解析

2百

⑵3

【分析】（1）連接,與交48于點N,連接MN,利用中位線的性質(zhì)可得出MN/〃G,

再利用線面平行的判定定理可證得結論成立;

(2)利用線面角的定義可求得CG的長，分析可知點P到平面4河8的距離等于點

G到平面A'MB的距離，可得出=,結合錐體的體積公式可求

得結果.

【詳解】(1)證明：連接/用交""于點N,連接MN,

因為四邊形"448為平行四邊形，'耳c48=N,則N為'片的中點,

因為M為4G的中點，則MN//AC,t

,「幺。]2平面4朋5,MNU平面4歷8,故4C]〃平面4MB

(2)解：因為CG，平面/8C,,"G與平面/8C所成的角為/C4G,

因為A/8C是邊長為2的等邊三角形，則”C=2,

cc

ccAC

；CG■1■平面/BC,HCu平面ABC,i-Ly貝JanNC/q

所以，CG=2/C=4,

?"G〃平面4M8,PGAG,所以，點p到平面4M8的距離等于點&到平面

4MB的距離，

&3_12%_也

因為M為8G的中點，則叼「5w-ixTx一了,

_1AAq_1A拒_2拒

=-BB

則,2="G-AMB=%一4GM]-5A4CIA/=-X4X—=—^~

20.在△4BC中，內(nèi)角的對邊分別為a,b,c.選擇下列兩個條件之一作為已知條

cos2C=2sin2，"+']一1—L

件：①I2J；②力+。+".解答以下問題:

（1）求角C的大小;

.3

C/Tsin4sin8=—

⑵若“8C的面積為2J3,14,求c的值.

（備注：若兩個條件都選擇作答，按第一個條件作答內(nèi)容給分）

C=—

（1）3

⑵2療

【分析】（1）選擇條件①，根據(jù)三角形內(nèi)角和結合已知條件可得2cos2C-cosC-l=0,

cosC=—

即可解得2,即可求解角C的大??；選則條件②，利用余弦定理結合條件②

即可求解；

27?=^1

（2）利用三角形面積公式可得必=8,利用正弦定理可得3,結合角C的大

小，利用整理即可求解.

【詳解】（1）解：（1）若選擇條件①：

?:在△XBC中，4+3+。=乃，...cos（4+8）=-cosC,

cos2C=2sin2f"+'］一1

...v2J即cos2C=1-cos（Z+4）-l,

即2cos2C-cosC-1=0,

.(2cosC+l)(cosC-l)=0,..c°sC--]或cosc=l(舍去),

??0<C<7Tt3

若選擇條件②：

&q+1=且,,,,

22222

vabab,,-,a~+b+ab=cfgpa+Z7-c=-ab9

c=—

...0<C<zr,...3.

S=-ahsinC=2y/3C=—

(2)解：的面積2，結合(1)中3,

ab=8,

sin力sin8=----3-34而

由正弦定(2幻一142R=F

「2萬0D,廠4V21石n歷

C=—c=27?smC=----x—=2"

V3,32

21.某學校為了了解高二年級學生數(shù)學運算能力，對高二年級的200名學生進行了一

次測試.已知參加此次測試的學生的分數(shù)七('=1，2，.“200)全部介于45分到95分之間

(滿分100分)，該校將所有分數(shù)分成5組：145,55),［55,65),…，［85,95］,整理得

到如下頻率分布直方圖(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表).

(1)求加的值，并估計此次校內(nèi)測試分數(shù)的平均值X;

(2)學校要求按照分數(shù)從高到低選拔前20名的學生進行培訓，試估計這20名學生的最

低分數(shù)；

(3)試估計這200名學生的分數(shù)占《=1，24-200)的方差S2,并判斷此次得分為52分和

94分的兩名同學的成績是否進入到了卜一2s,x+2s］范圍內(nèi)？

S2=_Z_4(X,_X)-,---

(參考公式："I,其中/為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：629"11.4)

(1>=0.024,75分

(2)90分

(3)s,=129,得分為52分的同學的成績沒有進入到［x-2s,x+2s］范圍，得分為94分

的同學的成績進入到比-2s,x+2s］范圍了

【分析】(1)先由各組的頻率和為1,求出加，然后利用平均數(shù)的定義可求出X,

(2)先求出這20名學生的最低分數(shù)就是該次校內(nèi)測試分數(shù)的90%分位數(shù)，然后利用

百分位的定義求解即可，

(3)先利用方差公式求出方差后再判斷即可

【詳解】(l)v(0.006+0.014+m+0.036+0.020)x10=1

???m=0.024

二該次校內(nèi)考試測試分數(shù)的平均數(shù)的估計值為：50x0.06+60x0.14+70x0.24+80x

0.36+90x0.2=75分;

跑工9。％

⑵:200,

???這20名學生的最低分數(shù)就是該次校內(nèi)測試分數(shù)的90%分位數(shù)，

???0.06+0.14+0.24+0.36=0.8<0.9,

0.06+0.14+0.24+0.36+0.2=1>0.9,

0908

85+--°-X10=90

該次校內(nèi)考試測試分數(shù)的90%分位數(shù)為1-0.8

二這20名學生的最低分數(shù)的估計值為90分；

⑶尸容力Ge

=0.06x(50-75)2+0.14x(60-75)2+0.24(70-75)2+0.36x(80-75)2+0.2(90-75)2

=129

...s==11.4,二x_2s=52.2,x+2s=97.8,

二得分為52分的同學的成績沒有進入到［52.2,97.8］內(nèi)，

得分為94分的同學的成績進入到了［52.2,97.8］內(nèi).

即：得分為52分的同學的成績沒有進入到b-2s，x+2s］范圍,

得分為94分的同學的成績進入到b-2s,x+2s］范圍了

22.如圖，在四棱錐「一"CD中，底面“8CO是邊長為2的菱形，44)=60。,

是正三角形，E為線段力。的中點，點F為棱PC上的動點.

⑴求證：平面P8CJ?平面P8E；

(2)若平面PADI平面ABCD

①當點尸恰為PC中點時，求異面直線PD與BF所成角的余弦值；

BH

②在平面P3E內(nèi)確定一點，，使+的值最小，并求此時防的值.

（1）證明見解析

（2）①二相；②答案見解析

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的而判定定理證明即可；

（2）①作輔助線，根據(jù)平移法找到異面直線尸。與8尸所成角，解三角形即可求得其