【教師資格考試】學(xué)科數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)匯編

教師資格考試學(xué)科數(shù)學(xué)

高頻考點(diǎn)匯編

目錄

模塊一初中數(shù)學(xué).................................................1

考點(diǎn)1.實(shí)數(shù).................................................1

考點(diǎn)2.代數(shù)式...............................................4

考點(diǎn)3.方程（組）...........................................8

考點(diǎn)4.不等式（組）........................................12

考點(diǎn)5.數(shù)據(jù)分析............................................13

考點(diǎn)6.一次函數(shù)與反比例函數(shù)................................15

考點(diǎn)7.二次函數(shù)............................................16

考點(diǎn)8.圖形的初步認(rèn)識(shí)......................................18

考點(diǎn)9.三角形..............................................19

考點(diǎn)10.四邊形.............................................21

考點(diǎn)11.解直角三角形.......................................24

考點(diǎn)12.圓.................................................26

考點(diǎn)13.圖形的變換.........................................29

考點(diǎn)14.圖形的相似.........................................31

模塊二高中數(shù)學(xué)................................................34

必修知識(shí)點(diǎn).................................................34

第一章集合與函數(shù)概念......................................34

考點(diǎn)1.集合................................................34

考點(diǎn)2.函數(shù)及其表示........................................36

考點(diǎn)3.函數(shù)的基本性質(zhì)......................................37

第二章基本初等函數(shù)........................................38

考點(diǎn)1.指數(shù)函數(shù)............................................38

考點(diǎn)2.對(duì)數(shù)函數(shù)............................................40

考點(diǎn)3.黑函數(shù)..............................................42

考點(diǎn)4.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)................................44

第三章空間幾何體..........................................45

考點(diǎn)1.空間幾何體的表面積和體積............................45

第四章直線與平面的位置關(guān)系................................45

考點(diǎn)1.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系....................45

考點(diǎn)2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)........................47

考點(diǎn)3.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)........................49

第五章直線與方程..........................................50

考點(diǎn)1.直線的傾斜角和斜率..................................50

考點(diǎn)2.直線方程............................................51

考點(diǎn)3.直線距離公式........................................52

考點(diǎn)4.直線的性質(zhì)..........................................52

第六章圓與方程............................................53

考點(diǎn)1.圓的方程............................................53

考點(diǎn)2.直線與圓的位置關(guān)系..................................54

考點(diǎn)3.圓與圓的位置關(guān)系....................................54

第七章算法初步............................................55

考點(diǎn)1.算法與程序框圖......................................55

考點(diǎn)2.基本算法語(yǔ)句........................................57

考點(diǎn)3.算法案例............................................60

第八章統(tǒng)計(jì)................................................61

考點(diǎn)1.隨機(jī)抽樣............................................61

考點(diǎn)2.用樣本估計(jì)總體......................................62

考點(diǎn)3.變量間的相關(guān)關(guān)系....................................63

第九章概率................................................63

考點(diǎn)1.隨機(jī)事件的概率......................................63

考點(diǎn)2.古典概型............................................64

考點(diǎn)3.幾何概型............................................65

第十章三角函數(shù)............................................65

考點(diǎn)1.任意角和弧度制......................................65

考點(diǎn)2.任意角的三角函數(shù)....................................66

考點(diǎn)3.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式..................................66

考點(diǎn)4.正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)....................67

考點(diǎn)5.函數(shù)y=/isinwx+@的圖像和性質(zhì).....................68

第十一章平面向量..........................................69

考點(diǎn)1.平面向量的基本概念..................................69

考點(diǎn)2.平面向量的線性運(yùn)算..................................70

考點(diǎn)3.平面向量的基本定理..................................71

考點(diǎn)4.平面向量的數(shù)量積....................................71

第十二章三角恒等變換......................................72

考點(diǎn)1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式....................72

考點(diǎn)2.簡(jiǎn)單的三角恒等變換..................................73

第十三章解三角形..........................................74

考點(diǎn)1.三角形的關(guān)系........................................74

考點(diǎn)2.正弦定理和余弦定理..................................74

考點(diǎn)3.三角形面積公式......................................75

第十四章數(shù)列..............................................75

考點(diǎn)1.數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法..............................75

考點(diǎn)2.等差數(shù)列............................................76

考點(diǎn)3.等比數(shù)列............................................77

第十五章不等式............................................79

考點(diǎn)1.不等式..............................................79

考點(diǎn)2.一元二次不等式及其解法..............................79

考點(diǎn)3.均值不等式..........................................80

考點(diǎn)4.含有絕對(duì)值的不等式..................................80

考點(diǎn)5.其他常見(jiàn)的不等式形式總結(jié)............................81

考點(diǎn)6.線性規(guī)劃............................................81

選修知識(shí)點(diǎn).................................................83

考點(diǎn)1.簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)........................................83

考點(diǎn)2.圓錐曲線............................................84

考點(diǎn)3.導(dǎo)線及其應(yīng)用........................................87

考點(diǎn)4.復(fù)數(shù)................................................88

考點(diǎn)5.推理與證明..........................................89

模塊三大學(xué)數(shù)學(xué)................................................91

第一章函數(shù)與極限..........................................91

考點(diǎn)1.數(shù)列極限............................................91

考點(diǎn)2.函數(shù)極限............................................92

考點(diǎn)3.無(wú)窮小及其比較......................................93

考點(diǎn)4.常見(jiàn)的函數(shù)極限的類型和求法..........................94

考點(diǎn)5.連續(xù)函數(shù)............................................95

第二章導(dǎo)數(shù)與微分..........................................96

考點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)................................................96

考點(diǎn)2.微分................................................98

第三章積分...............................................101

考點(diǎn)1.不定積分...........................................101

考點(diǎn)2.定積分.............................................102

第四章線性代數(shù)...........................................105

考點(diǎn)1.行列式.............................................105

考點(diǎn)2.矩陣...............................................106

第五章多元函數(shù)微積分學(xué)...................................111

考點(diǎn)1.二元函數(shù)的極限與連續(xù)...............................111

考點(diǎn)2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)...............................112

考點(diǎn)3.偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.......................................113

考點(diǎn)4.二重積分...........................................115

模塊四數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)..........................................118

一、學(xué)習(xí)需求分析..........................................118

二、教學(xué)目標(biāo)..............................................118

三、教學(xué)重難點(diǎn)............................................119

四、數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)......................................120

五、具體教學(xué)環(huán)節(jié)..........................................125

六、教案與教學(xué)案例........................................130

學(xué)科數(shù)學(xué)知識(shí)

模塊一初中數(shù)學(xué)

考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)

1.實(shí)數(shù)的概念及分類

(1)實(shí)數(shù)的分類

'(正有理數(shù)、

有理數(shù)(零有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù).［負(fù)有理數(shù))

(正無(wú)理數(shù)'

無(wú)理數(shù)11無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

、(負(fù)無(wú)理數(shù))

(2)無(wú)理數(shù)

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住"無(wú)限不循環(huán)”這個(gè)重點(diǎn)，歸納起來(lái)有四類：

①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如夕，好等；

②有特定意義的數(shù)，如圓周率TI,或化簡(jiǎn)后含有n的數(shù)；

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

④某些三角函數(shù)。

2.實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值和倒數(shù)

(1)相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的

相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如

果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=-b,反之亦成立。

(2)絕對(duì)值

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|>0o零的絕對(duì)值是

它本身，也可看成它的相反數(shù)。若|a|=?貝!la20；若IM=-見(jiàn)貝!JaW0。正

數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

(3)倒數(shù)

如果a與b(a、b均不為零)互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等

于本身的數(shù)是1和-1。0沒(méi)有倒數(shù)。

3.平方根、算術(shù)平方根和立方根

(1)平方根

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。

一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù);零的平方根是零;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

正數(shù)a的平方根記做"±傷"。

(2)算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作"正"。

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

而”|=丫第受)；注意荷的雙重非負(fù)性：嚕

(3)立方根

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根)。

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根;一個(gè)負(fù)數(shù)由一個(gè)負(fù)的立方根;零的立方根是零。

注意：口=-近，即三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

4.科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)

(1)有效數(shù)字

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)

不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)為止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

(2)科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)寫(xiě)做±ax1(P的形式，其中1<a<10,n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫

做科學(xué)記數(shù)法。

5.實(shí)數(shù)大小的比較

(1)數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸(畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)

定的三要素缺一不可)O

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并

能靈活運(yùn)用。

(2)實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

①數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

②求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，a—b>O=a>b；a—b=O=a=b；a—

b<0<=>a<bo

③求商比較法:設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù),￡>l=a>b；￡=loa=b；汴

1<=>a<bo

④絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),則|a|>聞

2

⑤平方法：設(shè)a、b是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，則a?>ba<bo

6.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)加法交換律a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律ab=ba

(4)乘法結(jié)合律(ab)c=a(be)

(5)乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac

(6)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

考點(diǎn)2.代數(shù)式

1.整式的有關(guān)概念

(1)代數(shù)式

用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)

或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

(2)單項(xiàng)式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)

表示，如-4/2仇這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成—葭42d一個(gè)單項(xiàng)式中，所有

字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如-4a3b2c是6次單項(xiàng)式。

2.多項(xiàng)式

(1)多項(xiàng)式

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式

中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的

次數(shù)。

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果，叫做代

數(shù)式的值。

注意:①求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡(jiǎn),然后再將字母的取值代入。

②求代數(shù)式的值，有時(shí)求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體”代入。

(2)同類項(xiàng)

所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)

項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

(3)去括號(hào)法則

(1)括號(hào)前是,把括號(hào)和它前面的"+"號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都

不變號(hào)。

(2)括號(hào)前是"」，把括號(hào)和它前面的號(hào)一起去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都

變號(hào)。

(4)整式的運(yùn)算法則

整式的加減法：①去括號(hào)；②合并同類項(xiàng)。

整式的乘法：am-an=am+n(m,九都是正整數(shù))

(am)n=amn(m,九都是正整數(shù))

(協(xié)產(chǎn)=anbn(n都是正整數(shù))

(a+b)(a—b)=a2—b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2—2ab+b2

整式的除法：a7n+a"=am~n(m,n都是正整數(shù)，aH0)

注意：①單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其頊數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)

相同。

③計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要

注意單項(xiàng)式的符號(hào)。

④多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中，有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。

⑤公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

⑥a。=l(a豐0)；a~p='(a/0,p為正整數(shù))

⑦多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得

的商相加，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。

3.因式分解

(1)因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫

做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

(2)因式分解的常用辦法

①提公因式法：ab+ac=a(b+c)

②適用公式法：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2-2ab+b2

(a+6)(a—b)=a2—b2

③分組分解法：ac+ad+be+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

(3)因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。

②在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：

2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法

分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式。

(3)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。

4.分式

(1)分式的概念

A

一般地，用48表示兩個(gè)整式，A+B就可以表示成/勺形式，如果8中含有

D

A

字母，式鎧就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和

整式通稱為有理式。

(2)分式的性質(zhì)

①分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變。

②分式的變號(hào)法則：

分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

③分式的運(yùn)算法則：

acac

—x——__,

bdbd1

acadad

__：__——x-=___?

bdbcbe1

(丁=1(偽整數(shù));

aba+b

-±-=-----;

ccc

?+-—士加

b-dbd°

5.二次根式

(1)二次根式

式子＞0)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號(hào)"，：被

開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

(2)最簡(jiǎn)二次根式

若二次根式滿足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能

開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的方法和步驟：

①如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)

把它寫(xiě)成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。

②如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開(kāi)得盡

方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。

(3)同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式

叫做同類二次根式。

(4)二次根式的性質(zhì)

2

①(⑷=a(a>0)

②m=|a|=IQ(Q-0)

?11l-a(a<0)

③VHF=Va■Vb>0,b20)

④b>。)

(5)二次根式混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣,先乘方，再乘除,最后加減，

有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去括號(hào))。

考點(diǎn)3.方程(組)

1.一元一次方程的概念

(1)方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

(2)方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

(3)等式的性質(zhì)

①等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,所得結(jié)果仍是等式。

②等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是

等式。

(4)一元一次方程

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次

方程，其中方程ax+b=0(%為未知數(shù)，a。0)叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，

a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng)。

2.一元二次方程

(1)一元二次方程

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方

程。

(2)一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0(a。0),它的特征是:等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次

多項(xiàng)式,等式右邊是零,其中a/叫做二次項(xiàng),a叫做二次項(xiàng)系數(shù);bx叫做一次項(xiàng)，

b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

3.一元二次方程的解法

(1)直接開(kāi)平方法

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方

法。直接開(kāi)平方法適用于解形如(％+a)2=b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定

義可知,%+a是b的平方根,當(dāng)b>。時(shí),x+a=±Vb,x=-a+亞當(dāng)b<0時(shí)，

方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

(2)配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且

在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式(a±

療=a2±2ab+b2,把公式中的a看做未知數(shù)%,并用%代替，則有(％±b)2=

22

x±2bx+bo

(3)公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一

般方法。

一元二次方程a/+打+c=0(a。0)的求根公式:

(4)因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單

易行，是解一元二次方程最常用的方法。

4.一元二次方程根的判別式

一元二次方程a/+打+c=0(a。0)中，b2—4ac叫做一元二次方程

22

ax+bx+c=0(aH0)的根的判別式，通常用來(lái)表示,△=b-4aco

5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程a/+bx+c=0(aH0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是打,%2，那么+%2=-

%1牝=也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方

程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二

次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

6.分式方程

(1)分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將"分式方程"轉(zhuǎn)化為"整式方程"。它的一般解法是：

①去分母，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母；

②解所得的整式方程；

③驗(yàn)根：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若

不等于零，就是原方程的根。

(3)分式方程的特殊解法

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程

具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。

7.二元一次方程組

(1)二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方

程，它的一般形式是y=ax+bo

(2)二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的

一個(gè)解。

(3)二元一次方程組

兩個(gè)(或兩個(gè)以上)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。

(4)二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做

二元一次方程組的解。

(5)三元一次方程

把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程。

(6)三元一次方程組

由三個(gè)(或三個(gè)以上)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做

三元一次方程組。

考點(diǎn)4.不等式(組)

1.不等式的概念

(1)不等式

用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

(2)不等式的解集

對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都

叫做這個(gè)不等式的解。

對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集

合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集。

求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。

2.不等式基本性質(zhì)

(1)不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

3.一元一次不等式

(1)一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊

都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

(2)一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤將%項(xiàng)的系數(shù)化為1。

4.一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的概念

幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式

組的解集。

求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為

空集。

(2)一元一次不等式組的解法

①分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求出這些不等式的解

集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

考點(diǎn)5.數(shù)據(jù)分析

1.平均數(shù)的計(jì)算方法

(1)定義法

當(dāng)所給的數(shù)據(jù)%2,%3,…，馬比較分散時(shí)，一般選用公式法：1aL+

x2+x3+■■■+xn)

(2)加權(quán)平均數(shù)法：

當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，一般采用加權(quán)平均數(shù)公式：%=

(X1A+X2/2+^3+，+Xfc/fe),其中fl+f2+%+…+加=%

(3)新數(shù)據(jù)法：

當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化公式：%=P+ao

其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較"整"的數(shù)，%'1=石-處

x'2=x2~a,???,x'n=xn-aox'=(x\+x'2+4-%二)是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)

(通常把x2,x3l???,%n叫做原數(shù)據(jù),x'2,x'3l???,x'n叫做新數(shù)據(jù))。

2.方差的計(jì)算

(1)基本公式：

1

2222

S=—[(%i—X)+(%2—%)+—卜(xn—X)]

n

(2)簡(jiǎn)化計(jì)算公式：

2222

①S?=；[(%/+x2H----Fxn)-nx],也可以寫(xiě)成52=；[(%/+%2H------1-

22

Xn)]-xo

②S2=i[(x\2+x'2+…+x'n}-nx'2],

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，可以依照化簡(jiǎn)平均數(shù)的計(jì)算方法，將每個(gè)數(shù)據(jù)同

時(shí)減去一個(gè)與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)x'l=-a,3

%2—a,…，x'n=xn-al那么S2+必2+…+%/)]—％'2。

⑶新數(shù)據(jù)法:

原數(shù)據(jù)%1，%2,%3,…，與新數(shù)據(jù)x'l=-a,x'2=x2-a,-??,x'n=xn-

a的方差相等，也就是說(shuō)，根據(jù)方差的基本公式，求得x'l，x'2lx'3l%'n的方

差就等于原數(shù)據(jù)的方差。

3.標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算術(shù)平方根就叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用"S"表示，即

__]

222

S=yfs^=—[(%i—X)+(%2—X)+---F(xn—%)]

4.概率及其計(jì)算

(1)公式法：PG4)=拳(2)列舉法；(3)樹(shù)狀圖法

規(guī)律與方法：

利用列表法和樹(shù)狀圖法求概率的關(guān)鍵

①注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；

②其中某一事件發(fā)生的概率=某一事件發(fā)生的次數(shù)各種情況出現(xiàn)的次數(shù)

在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏。

考點(diǎn)6.一次函數(shù)與反比例函數(shù)

1.一次函數(shù)的性質(zhì)

k.b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像的位置

y/圖像過(guò)第一、

b>0

70~*二、三象限

k>0y隨x增大而增大

j圖像過(guò)第一、

b<0

/三、四象限

圖像過(guò)第一、

b>0J

二、四象限

k<0y隨x增大而減小

J圖像過(guò)第二、

b<0\

K三、四象限

2.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟

(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式；

(2)把已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)帶入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的

方程或方程組；

(3)解方程或方程組，求出待定系數(shù)；

(4)將求得的待定系數(shù)的值帶入解析式。

3.反比例函數(shù)

公式k的符號(hào)圖像性質(zhì)

(1)%的取值范圍是工。0,反比例函數(shù)的圖

像既是軸對(duì)稱圖

y的取值范圍是y。0o

k>0(2)函數(shù)兩個(gè)分支分別在第形，又是中心對(duì)

一、三象限內(nèi)，在每個(gè)象限稱圖形，它有兩

k內(nèi)，隨%的增大而減小。條對(duì)稱軸，分別

二一y

yX

也豐0)(1)%的取值范圍是％。0,是直線y=久和

y的取值范圍是y。0?y=-x,對(duì)稱中

k<0(2)函數(shù)兩個(gè)分支分別在第心為坐標(biāo)原點(diǎn)

二、四象限內(nèi)，在每個(gè)象限(0,0)。

內(nèi)，y隨匯的增大而增大。

考點(diǎn)7.二次函數(shù)

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖像與性質(zhì)

關(guān)系式一般式頂點(diǎn)式

2

解析式y(tǒng)=ax+bx+c(aW0)y=a(%一九>+k(aH0)

圖像形狀拋物線

開(kāi)口方向當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下

(b4ac—b2\

頂點(diǎn)坐標(biāo)2a4a)(h,k)

b

對(duì)稱軸X=--------x=h

2a

圖像TA

a>0a<0

對(duì)稱軸左側(cè)，即X＜一/或％y隨X增大而減小

a>0

對(duì)稱軸右側(cè)，即％＞一/或%＞兒y隨X增大而增大

增減性

對(duì)稱軸左側(cè)，即或％y隨%增大而增大

a<0

對(duì)稱軸右側(cè)，即%＞-/或%＞九，y隨%增大而減小

當(dāng)久=_&時(shí)v=4gM當(dāng)“耐，y最小值=k

a>0*y最小值4a

最值

當(dāng)％=一2時(shí)，y=妙法當(dāng)％=八時(shí)，y最大值=k

a<0廿'最大值4a

2.二次函數(shù)圖像特征與a、b、c、b2-4ac之間的關(guān)系

字母字母的符號(hào)圖像的特征

a>0開(kāi)口向上

a

a<0開(kāi)口向下

b=0對(duì)稱軸為y軸

ba、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

a、b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

cc=0圖像過(guò)原點(diǎn)

c>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半軸相交

b2—4ac=0與X軸有唯一交點(diǎn)

b2—4acb2—4ac>0與%軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

b2—4ac<0與%軸無(wú)交點(diǎn)

3.二次函數(shù)的圖像平移規(guī)律

移動(dòng)方向平移前解析式平移后解析式簡(jiǎn)記

2

向左平移小個(gè)單位y=a(%一h)2+ky—a(%—h+m)+k左加

2

向右平移小個(gè)單位y—a(x—h)2+ky=a(%—h—m)+k右減

2

向上平移機(jī)個(gè)單位y—a[x—h)+ky=a(%—/i)2+k+m±in

一九尸+

向下平移m個(gè)單位y—a(%ky=a(%_h)2+k—m下減

考點(diǎn)8.圖形的初步認(rèn)識(shí)

1.直線、射線、線段之間的區(qū)別

直線射線線段

//

圖形?_____L_____?

ABABAB

表示方法直線AB或直線/射線AB或射線/線段或線段Z

端點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)

延伸方向向兩邊無(wú)限延伸向一邊無(wú)限延伸不能延伸

有關(guān)性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線無(wú)兩點(diǎn)之間，線段最短

考點(diǎn)9.三角形

1.三角形全等

（1）三角形全等的判定定理：

①邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成

"邊角邊"或"s/s"）

②角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成

"角邊角"或"AS4"）

③邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊"或

"SSS"）。

（2）全等變換

只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括以下三種：

①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。

②對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180。，這種變換叫做對(duì)稱變換。

③旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋

轉(zhuǎn)變換。

2.等腰三角形

（1）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的

頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2:等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。。

②等腰三角形的其他性質(zhì)：

等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;

等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可為鈍角(或

直角)；

等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a,底邊長(zhǎng)為b,則?<a；

等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為N4,底角為ZB、ZC,則乙4=180°-2ZB,

(2)等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱：

等角對(duì)等邊)o這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2:有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等

于斜邊的一半。

3.三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用:

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍數(shù)關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1:三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。

結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。

考點(diǎn)10.四邊形

1.多邊形常用公式

(1)般邊形內(nèi)角和公式:(九一2)?180。；

(2)求正九邊形各內(nèi)角度數(shù)：空警。

2.正方形、矩形、菱形和平行四邊形的關(guān)系

3.平行四邊形

(1)平行四邊形的概念

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

(2)平行四邊形的性質(zhì)

①平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等。

②平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

③平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

④若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線

段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。

(3)平行四邊形的判定

①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

②定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

③定理2:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

④定理3:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

⑤定理4:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

4.矩形

(1)矩形的概念

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。

(2)矩形的性質(zhì)

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②矩形的四個(gè)角都是直角；③矩形的對(duì)角線

相等；④矩形是軸對(duì)稱圖形

(3)矩形的判定

①定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

②定理1:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③定理2:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

5.菱形

(1)菱形的概念

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

(2)菱形的性質(zhì)

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊相等；

③菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱圖形。

(3)菱形的判定

①定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

②定理1:四邊都相等的四邊形是菱形；

③定理2:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

6.正方形

(1)正方形的概念

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

(2)正方形的性質(zhì)

①具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；

②正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；

③正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)

角；

④正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；

⑤正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形,兩條對(duì)角

線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形；

⑥正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。

(3)正方形的判定

①有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；

②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

③有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

考點(diǎn)11.解直角三角形

1.直角三角形的性質(zhì)

(1)直角三角形中有一個(gè)角是直角。

(2)直角三角形中兩個(gè)銳角互余。

(3)直角三角形中，30。所對(duì)的邊等于斜邊的一半。

(4)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

(5)直角三角形勾股定理：。2+爐=。2(%b為直角邊，c為斜邊)。

(6)角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

(7)角平分線的性質(zhì)的逆定理：角內(nèi)部到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分

線上。

2.直角三角形的判定

(1)證明三角形中有一個(gè)角為直角。

(2)證明三角形中兩個(gè)銳角互余。

2

(3)證明三角形三邊滿足勾股定理(a?+爐=c)o

3.銳角三角函數(shù)

(1)一些特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)0°30°45°