2018屆數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2。理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3。了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4。會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。2016，全國(guó)卷Ⅰ，2,5分(復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算)2016，全國(guó)卷Ⅱ，1,5分(復(fù)數(shù)的幾何意義)2016，全國(guó)卷Ⅲ，2，5分（復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算)2015，全國(guó)卷Ⅰ，1，5分(復(fù)數(shù)的乘除，模)2015,全國(guó)卷Ⅱ,2,5分（復(fù)數(shù)的乘法，相等)每年平均有一個(gè)小題，難度較低,重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算(特別是乘、除法)，也涉及復(fù)數(shù)的概念及幾何意義等知識(shí)。微知識(shí)小題練自|主|排|查1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部。若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù);若b≠0,則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0,且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù).（2）復(fù)數(shù)相等:a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）。(3)共軛復(fù)數(shù):a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c,d∈R）。(4)復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面。x軸叫做實(shí)軸,y軸除去原點(diǎn)叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù).（5)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ，\s\up10（→)）的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a,b∈R)的模,記作｜z｜或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r（a2＋b2)。2．復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o（→，\s\up12（一一對(duì)應(yīng)))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b)（a,b∈R)。（2)復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o（→，\s\up12(一一對(duì)應(yīng)）)平面向量eq\o（OZ，\s\up10(→）)(a,b∈R）.3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b，c，d∈R）則：①加法：z1＋z2＝（a＋bi)＋(c＋di）＝(a＋c）＋（b＋d)i;②減法：z1－z2＝(a＋bi)－（c＋di）＝(a－c)＋(b－d）i；③乘法：z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝(ac－bd)＋(ad＋bc）i；④除法：eq\f(z1，z2）＝eq\f（a＋bi，c＋di）＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi，c2＋d2）(c＋di≠0)。（2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1,(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3）。微點(diǎn)提醒1．i的乘方具有周期性in＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1，n＝4k,,i，n＝4k＋1,，－1，n＝4k＋2,，－i，n＝4k＋3。)）（k∈Z)。2．復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系:z·eq\o（z,\s\up10(－））＝|z｜2＝|eq\o(z，\s\up10（－）)|2.3．兩個(gè)注意點(diǎn):(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.（2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b,c,d∈R的前提條件。小|題｜快|練一、走進(jìn)教材1．(選修2－2P106A組T2改編)若復(fù)數(shù)（a2－3a＋2）＋（a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A．1 B．2C．1或2 D．－1【解析】依題意,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2－3a＋2＝0,,a－1≠0，)）解得a＝2。故選B?！敬鸢浮緽2．（選修2－2P112A組T5(3）改編)復(fù)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,2－i))）2的共軛復(fù)數(shù)是(）A．2－i B．2＋iC．3－4i D．3＋4i【解析】eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5，2－i)）)2＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(52＋i，2－i2＋i)））2＝(2＋i)2＝3＋4i所以其共軛復(fù)數(shù)是3－4i。故選C.【答案】C二、雙基查驗(yàn)1．（2016·全國(guó)卷Ⅱ）已知z＝（m＋3)＋(m－1）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3，1) B．(－1，3）C．（1，＋∞） D．（－∞，－3)【解析】由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（m＋3，m－1），所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1〈0，）)解得－3〈m〈1。故選A.【答案】A2．已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若(1－2i)(a＋i）為純虛數(shù)，則a的值等于（)A．－6 B．－2C．2 D．6【解析】由（1－2i)（a＋i）＝(a＋2）＋(1－2a）i是純虛數(shù),得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋2＝0，，1－2a≠0,)）由此解得a＝－2。故選B?！敬鸢浮緽3．若a，b∈R,i為虛數(shù)單位，且（a＋i)i＝b＋i，則(）A．a(chǎn)＝1,b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝－1，b＝－1 D．a(chǎn)＝1，b＝－1【解析】由(a＋i）i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得a＝1，b＝－1。故選D?！敬鸢浮緿4．若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(z，1＋i）＝2i，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限.【解析】z＝2i（1＋i)＝－2＋2i,因此z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－2,2),在第二象限內(nèi)?！敬鸢浮慷?．若復(fù)數(shù)z滿足z＋i＝eq\f（3＋i，i），則｜z｜＝________?！窘馕觥恳?yàn)閦＝eq\f(3＋i,i)－i＝1－3i－i＝1－4i，則｜z｜＝eq\r（17)?！敬鸢浮縠q\r（17）微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【典例1】(1）設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝（x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件（2)若a＋bi＝eq\f(5，1＋2i）(i是虛數(shù)單位,a，b∈R），則ab＝(）A．－2 B．－1C．1 D．2(3)設(shè)復(fù)數(shù)z＝－1－i（i為虛數(shù)單位）,z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to（z),則｜(1－z）·eq\x\to(z）｜＝（)A。eq\r（10) B．2C.eq\r（2) D．1【解析】（1）由純虛數(shù)的定義知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－1＝0，,x＋1≠0，）)?x＝1，故選C。（2）a＋bi＝eq\f（5,1＋2i)＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2。故選A.（3）依題意得（1－z)·eq\x\to（z)＝(2＋i）(－1＋i)＝－3＋i，則｜（1－z）·eq\x\to（z）｜＝|－3＋i｜＝eq\r（－32＋12）＝eq\r(10）。故選A。【答案】(1）C(2)A（3）A反思?xì)w納1.復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程（不等式）組即可.2．解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部?！咀兪接?xùn)練】（1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i）(a∈R）是純虛數(shù)，則a的值為（)A．－3 B．－1C．1 D．3（2)若復(fù)數(shù)z＝1＋i（i為虛數(shù)單位)，eq\x\to（z)是z的共軛復(fù)數(shù),則z2＋eq\x\to(z)2的虛部為（)A．0 B．－1C．1 D．－2【解析】（1）∵a－eq\f（10，3－i)＝a－eq\f(103＋i，3－i3＋i）＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，即a＝3。故選D。(2）∵z2＋eq\x\to(z）2＝（1＋i）2＋（1－i）2＝0，∴z2＋eq\x\to(z）2的虛部為0.故選A?！敬鸢浮浚?)D（2)A考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義【典例2】（1)（2016·太原模擬)復(fù)數(shù)z＝eq\f（i,－2－i2)（i為虛數(shù)單位），z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限（2）(2015·陜西高考)設(shè)復(fù)數(shù)z＝（x－1）＋yi(x,y∈R），若|z｜≤1，則y≥x的概率為(）A.eq\f(3,4)＋eq\f(1，2π) B。eq\f（1,2)＋eq\f（1,π)C.eq\f（1,2）－eq\f(1，π） D。eq\f（1,4)－eq\f(1,2π)【解析】(1）因?yàn)閦＝eq\f（i,－2－i2）＝eq\f(i,4＋4i－1）＝eq\f(i,3＋4i）＝eq\f(i3－4i,25）＝eq\f（4,25）＋eq\f(3，25）i，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（4，25）,\f(3,25）)）在第一象限。故選A。(2)由｜z｜≤1知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是以（1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，右圖中陰影部分表示在圓內(nèi)（包括邊界）且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為eq\f（1,4）π－eq\f（1，2)×1×1＝eq\f(1,4）π－eq\f（1，2)，故滿足y≥x的概率為eq\f（\f（1，4）π－\f(1，2），π×12）＝eq\f(1，4）－eq\f（1,2π）。故選D?！敬鸢浮浚?)A(2)D反思?xì)w納1。復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ，\s\up10（→))一一對(duì)應(yīng)，即z＝a＋bi，（a，b∈R)?Z（a，b）?eq\o(OZ，\s\up10(→）)。2．由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.【變式訓(xùn)練】（1)如圖，若向量eq\o(OZ,\s\up10(→））對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z＋eq\f(4，z)表示的復(fù)數(shù)為(）A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋i(2)已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x,y∈R，x≠0)且｜z－2｜＝eq\r(3),則eq\f（y,x)的取值范圍為_(kāi)_______?！窘馕觥浚?)由圖可得Z(1，－1）,即z＝1－i,所以z＋eq\f（4，z)＝1－i＋eq\f（4，1－i)＝1－i＋eq\f（41＋i，1－i1＋i）＝1－i＋eq\f(4＋4i,2）＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故選D。(2）因?yàn)閨z－2｜＝｜x－2＋yi|，｜z－2｜＝eq\r(3)，所以（x－2)2＋y2＝3。設(shè)eq\f（y,x)＝k，則y＝kx。聯(lián)立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－22＋y2＝3，，y＝kx，））化簡(jiǎn)為（1＋k2）x2－4x＋1＝0。因?yàn)橹本€y＝kx與圓有公共點(diǎn)，所以Δ＝16－4（1＋k2）≥0，解得－eq\r（3）≤k≤eq\r（3），所以eq\f（y,x)的取值范圍為[－eq\r（3)，eq\r(3)］?！敬鸢浮浚?）D(2）［－eq\r(3）,eq\r(3）］考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算【典例3】(1)(2016·全國(guó)卷Ⅲ）若z＝4＋3i,則eq\f(\o(z,\s\up10(－）),｜z|）＝()A．1 B．－1C。eq\f(4,5)＋eq\f（3，5）i D.eq\f（4，5)－eq\f（3，5)i(2)（2016·全國(guó)卷Ⅲ）若z＝1＋2i,則eq\f（4i，z\o(z，\s\up10（－)）－1)＝（）A．1 B．－1C．i D．－i(3）(2016·全國(guó)卷Ⅰ）設(shè)(1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則｜x＋yi｜＝(）A．1 B.eq\r（2)C.eq\r(3） D．2【解析】（1)eq\f（\o(z,\s\up10(－））,|z｜）＝eq\f（4－3i,\r（42＋32））＝eq\f（4，5)－eq\f（3，5)i.故選D。(2）eq\f（4i，z\o(z,\s\up10（－)）－1)＝eq\f（4i,1＋2i1－2i－1)＝i。（3）因?yàn)?1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi｜＝｜1＋i｜＝eq\r(12＋12）＝eq\r（2)，故選B?！敬鸢浮?1）D（2)C(3)B反思?xì)w納（1）復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可。（2)復(fù)數(shù)的除法。除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式。(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)。a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R）.【變式訓(xùn)練】(1）eq\f(1＋i3,1－i2)＝(）A．1＋i B．－1＋iC．1－i D．－1－i（2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（z－2i)（2－i）＝5，則z＝(）A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i【解析】(1)eq\f(1＋i3,1－i2）＝eq\f（1－i＋3i－3,－2i)＝eq\f（－2＋2i，－2i）＝－1－i,故選D。(2)z＝eq\f（5,2－i)＋2i＝eq\f（52＋i,2－i2＋i）＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。故選A。【答案】(1）D(2)A微考場(chǎng)新提升1．(2016·山東高考)若復(fù)數(shù)z＝eq\f（2,1－i)，其中i為虛數(shù)單位,則eq\o(z,\s\up10（－））＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析易知z＝1＋i，所以eq\o（z,\s\up10(－）)＝1－i.故選B。答案B2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋i＝3－i,則eq\o（z，\s\up10(－）)＝（)A．－1＋2i B．1－2iC．3＋2i D．3－2i解析易知z＝3－2i,所以eq\o（z,\s\up10(－))＝3＋2i。故選C.答案C3．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）A．若|z1－z2｜＝0，則eq\x\to（z)1＝eq\x\to(z）2B．若z1＝eq\x\to（z）2，則eq\x\to（z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\