《工程力學(xué)與結(jié)構(gòu)建筑》練習(xí)題

第廣3章

1.已知兩力Pl和P2相交于A點，力P,=600N,方向水平向右,力P2=500N

與水平線成a=60°角，而朝向右上方，求它們的合力R。

解（1）圖解法

從兩力的交點A出發(fā)、沿水平線方向往右按圖畫出P1的大??；然后從B點畫

?與AB線成（180憶60°）角的方向線，并用同一比例畫Pz，得矢量P2的箭頭點C,

連接AC,線段AC即表示合力R的大小與方向。用所定比例量取，得R=950N,

合力與水平線的夾角a=27°。

（2）數(shù)解法

R=+g2+2P18cos60。

22

=A/600+5OO+2x600x500xcos60°

=954N

P2500

sina尸Rsina=954sin60°=0.4539a,=27°

由上面兩種方法比較，可見所得結(jié)果是一致的，但作圖法由于度量上的精度問題，以至合力的大小與

方位可能會有微小的誤差。

2.簡支梁AB受力如圖所示。不計梁自重，畫它的受力分析圖。

解先將梁從它所受的支座約束中脫離出來，畫梁的脫離體，以及畫作用在該脫

離體上的已知外力R和P2。其次，畫A端固定錢的兩約束反力V,、，H.作用于梁A

端，及畫B端滾動較支座的約束反力V,作用于梁B處，下圖即為梁的受力圖。

3.圖所示AB,BC,BD三鋼繩索通過圓環(huán)B相連接。在BD鋼繩D端懸掛重為

W的重物E。試分別畫出重物E、鋼繩索BD及圓環(huán)B的受力圖。

w

E

解（1）重物E受垂直向下的重力W作用。由于鋼繩索只能承受拉力，且其力總

是沿著繩索的方向，故鋼繩索BD通過D點對E物體作用垂直向上的拉力他。下

圖是重物E的受力圖。

-AN''BD

（■^4）B

IED

IW*N'BO

（2）右圖為BD繩索的受力圖。重物反作用在繩索上的力NS與繩索作用在

重物E上的而是作用在兩物體上的一對作用力與反作用力。N-BD是圓環(huán)B作用

在BD繩索上的力。由于不計鋼繩索的自重，故NBD=N'BD=N，,BD=W。

（3）下圖為圓環(huán)受力圖。N-'BD是繩索BD作用在圓環(huán)B上的力，與W5為

一對作用力與反作用力。NBA，NK分別是鋼繩BA、BC作用在圓環(huán)上的力。方向均

沿繩索方向。

若AB,BC,BD為二力桿，通常分析B節(jié)點的受力情況可了解三桿件是受拉力

還是壓力。當(dāng)實際力的方向為離開節(jié)點B時,該桿件受拉力；指向節(jié)點B時，該

桿件受壓力。

4.圖為AB鋼筋混凝土橫梁的起吊裝置簡圖。要求考慮自重，但吊鉤與鋼索

的重量不計。畫下列對象的受力圖：（1）鋼筋混凝土橫梁；（2）吊鉤；（3）

整體。

解（1）將AB橫梁從鋼索CE,DE中分離出來。它所受的約束反力是鋼索CE,

DE對橫梁的拉力，以N@,g表示。橫梁自重以分布荷載集度q表示。畫得橫梁

受力圖，如下圖所示。

（2）右圖為吊鉤E的受力圖。吊鉤E受CE,DE兩鋼索的拉力N5N5。它

們各與此兩鋼索對橫梁的拉力NCE,g等值、共線、反向。吊鉤E所受的約束反

力是最上面的吊索拉力N。

（3）下圖為整體受力圖。以整體為研究對象時，由于心與N，E；心與N”

都是作用在同一對象上的等值、反向、共線的平衡力，它們互相抵消對整體不產(chǎn)

生外效應(yīng)，故不必畫出。只需畫出外荷載：橫梁的自重q與上面吊索的約束反力

No

E

Al[]]]][]]]?B

5.一重量為P的電動機，放置在ABC構(gòu)架上。構(gòu)架的A,C端分別以較鏈固

定在墻上，AB梁與BC斜桿在B處較鏈連接。如忽略梁與斜桿的重量，試分析斜

桿的受力情況。

解由于ABC構(gòu)架處于靜力平衡狀態(tài)，當(dāng)只研究BC斜桿的受力情況時，可將BC桿假想地脫

離構(gòu)架，如下圖，題意BC桿的自重不予考慮，因此，只在桿的兩端通過較鏈B和C分別受

到約束反力RB和Rc。根據(jù)光滑鉉鏈的性質(zhì)，這兩個力必定分別通過B,C點。BC桿在此兩

個力作用下處于平衡，根據(jù)二力平衡的條件，這兩個力必定沿同一直線且等值反向。所以，

可以確定RB和Rc的作用線應(yīng)沿B和C的連線。至于力的指向，本題是壓力（對于不同的受

力情況，應(yīng)由平衡條件確定）。

在工程上經(jīng)常會遇到二力構(gòu)件,:力構(gòu)件所受約束反力的特點:兩力必都沿作用點的連

線。

6.圖所示人字梯的兩部分AB和BC在A點較接，又在D,E兩點用水平繩連

接。梯子放在光滑的地平面上，其一邊作用有鉛垂力P。如不計梯重，試分析并

畫人字梯整體、AB及AC部分的受力圖。

解從整體考慮，人字梯所受的外力有鉛垂力P與B,C處的約束反力。因梯子B,C端放在光滑的地平面上,

由于光滑接觸面（線）的約束反力只能是壓力，它作用在接觸處，方向為沿著接觸表面在接觸處的公法線

而指向物體,所以，B,C端受到地面垂直向上的約束反力％,Vco下圖為人字梯整體的受力圖。

取AB為研究對象，如下圖所示。DE水平繩只能受拉力，不能受壓力，從作用力與反作用力定律可知,

AB在D處受DE方向的繩子拉力N則A為錢接點，約束反力方向未知，可分解為L與H、，其指向可先行假

設(shè)如圖中所示。同理，可畫出AC的受力圖。

7.-鋼筋混凝土帶雨篷的門頂過梁的尺寸如圖所示過梁與雨篷板的長度（垂直紙平面）均為4m設(shè)此過

梁上砌磚至3m高時，便要將雨篷下的木支撐拆除，試驗算在此情況下雨篷會不會繞A點傾覆。已知鋼筋混

3

凝土的容重Yi=25kN/m’，磚砌體容重Y2=19kN/mo驗算時需考慮有一檢修荷載P=lkN作用在雨篷邊緣上

（檢修荷轂即人與小工具重量）。

解令雨蓬、過梁及31n高磚墻的體積分別為％,%,V3,則

雨篷重W,=YIV,=25X103X（7OX1O3X1X4）=7000N

33

過梁重W2=Y1V2=25X10'X(350X10X240X10X4)=8400N

3S

磚墻重W3=Y2V3=19X10X(240X10X3X4)=54700N

各荷載作用位置如圖所示。

使雨篷繞A點傾覆的因素是W1和P,它們對A點產(chǎn)生的力矩稱為傾覆力矩，而阻止雨篷傾覆的因素是

W：和照,它們對A點產(chǎn)生的反力矩為抗傾覆力矩。分別計算如下：

傾覆力矩=一皿X0.5-PX1=-7000X0.5-1000X1=-4500N?m

抗傾覆力矩=+%X0.12+曬X0.12

=+(8400X54700)X0.12

=+7574.4Nm

由上面計算結(jié)果可知，抗傾覆力矩大于傾覆力矩，所以，雨篷不會傾覆。

8.如圖所示AB懸臂梁的自由端B,作用一個在xOy平面內(nèi)、與x方向夾角30。的力P=2kN。AB梁的

跨度1=加，求P力對A點之矩。

P

解解題時直接求力臂h的大小稍覺麻煩，如利用合力矩定理，可較為方便地計算出P力對A點之矩。把P

力分解為水平分力P”與垂直分力P”

由合力矩定理得:

MA(P)=MO(PX)+MA(Py)=0+Psin30°X4=2X0.5X4=4kN-m

9.一AB簡支梁，在C處受一力偶作用如圖2-22a所示，已知力偶矩M=100kN?m,梁跨度l=5m,求

A,B兩支座的反力。

解取AB梁為脫離體，由于梁處于平衡狀態(tài)，故必有支座反力組成的力偶矩與外荷載M平衡。今B處支反

力%垂直于AB梁，所以，V,、也垂直于AB梁，并假設(shè)h,V,的方向如下圖所示。由力偶平衡條件：

M100

-M+VB1=0得VB=/=5=20kN

因匕與V,組成一個力偶，故匕=V“=20kN

答案為正值，說明假設(shè)方向與實際相符合。

10.如圖所示，在E處掛有一重量為100N的物體，由兩根繩子保持平衡。繩AD保持水平，繩ABC

是連續(xù)的，并跨過無摩擦滑輪B。求繩AD的拉力NAD和為平衡重物而在C處懸掛的重量W.

解該結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，那么，取任意部位為脫離體均符合平衡條件。

1.先分析A點受力情況。如下圖所示，點A作用三個匯交力。繩索AE對A點作用一個垂直向下、數(shù)值

等于物體重量100N的力心，拉力加與N*的大小未知，而方向已知。

2.作力多邊形。以20nmi等于100N的比例畫力多邊形。如圖所示，以任意點a為起點，作力N*的方向

線ab邊，取ab邊長20mm得b點，由b點作力NM方向線be,與過a點作力的方向線ac交于c點。

NAB

NAE

NAD

3.用相同比例量得NM=180N,N,,?=200NO

4.分析B點的平衡。如圖所示，因為繩索ABC跨過無摩擦滑輪，力加=200N在繩索中是常數(shù)，故g

=NAB=200No

NBC

5.研究C點的平衡。對于繩索BC,C處重物給繩索作用力NBC,同樣繩索給重物的拉力為N”(見圖)。

M與N”是一對大小相等、方向相反作用在兩個物體上的作用力與反作用力，故1笈=腦=20()刈又因C

點重物處于平衡狀態(tài)，故C點懸掛的重物W=N'BC=200NO

N'BC

W

11.管道支架由AB,CD兩桿組成，結(jié)構(gòu)尺寸如圖所示。B,D兩處是固定被支座，C處是連接用較鏈。

管道懸掛在水平桿AB的A端，該支架所承擔(dān)的管道重為4kN。不計桿重，求CD桿所受的力和支座B的反

解畫受力分析圖（見下圖），

在A端受管道豎直向下的重力P=4kN；根據(jù)題意，CD桿的重量不予考慮，CD

桿中部無外力作用，c,D兩端均為較支連接，可見CD桿是一個二力桿，它通過

C校作用在AB桿上的力心作用線與它本身的軸線相重合，即與AB桿成45°夾

角；B端為固定較支座，支座反力RB的作用點為B點，方向待定。由于AB桿處

在平衡狀態(tài)，桿上僅作用三個力，現(xiàn)力必作用線與管重P力作用線匯交于0點,

可知第三力RR的作用線必為0B連線方向，因此P,Na),RH為作用在AB桿上的三

力匯交平衡力系。由于P力數(shù)值與方向已知，Nc”R的方向已知，故可用閉合的

力多邊形法則作圖3-5co圖中力的比例尺為lcm=2kN,量得ac與be線段之長

分別為3cm和4.2cm,所以，兩力NCD和&的大小分別為

Na,=4.2X2kN=8.4kN

R?=3X2kN=6kN

CD桿所受的力與圖中的Ne等值、反向，所以，CD桿受力N，8=8.妹N,且是拉力。

注意，圖中各力的數(shù)值與方向要力求正確，這樣可提高圖解法的精確度。

12.已知作用在剛體上并交于0點的三力均在xoy平面內(nèi)(如圖)，且R=250N,P2=200N,P3=l()0N.

<1)=30°,9=60°.用數(shù)解法求此平面匯交力系的合力R。

解先求各力在坐標軸上的投影：

Pi*=0

P?x=P2cos(I)=200Xcos30°=173.2N

P3x=-P3cosO=-100Xcos60°=—50N

Ply=-250N

P2,v=-P2sin<i>=-200Xsin30°=-100N

P3y=P3sin0=100Xsin60°=86.6N

用合力投影定理求合力R在坐標軸上的投影

R=￡x=0+173.2-50=123.2N

R尸￡y=-250-100+86.6=-263.4N

求合力R的大小和方向

,,R=J/?，+&2=J123.22+（一263.4尸=290.8N

方向：因為Ry是負值，艮是正值，故R方向為右下方，與X軸的夾角:

-263.4

=2.138

R,123.2

a=64.9°

13.圖示一起重構(gòu)架ABC的A點裝置一個定滑輪。校車D的鋼繩通過滑輪而起吊重物W,已知W=15kN?

支架A,B,C三處的連接均為較接，不計滑輪、鋼繩、構(gòu)架的自重及滑輪軸的摩擦。求起重架AB,AC桿所

受的力N”N”

解以滑輪A為研究對象。作用在它上面的力有四個，其中，AB桿與AC桿由于不考慮自重，兩端為錢支,

故是二力桿，力作用線與桿軸線重合。起重鋼索AD段的拉力心以及它的鉛垂段的拉力W雖然都作用在輪

緣上，但是他們的大小相等，它們的合力通過輪心A。

因此，可將拉力即與鉛垂力1V=15kN看作作用在輪心A上，即不計滑輪的尺寸，而將其看作是一點，這樣

當(dāng)研究A節(jié)點的平衡問題時，列出兩個平衡方程：

￡x=0Ni+N2cos30°-N.M)sin400=0

￡y=0N2sin30°-NADcos40°-W=0

因為一知條件中NAD=W=15kN,故可解得方程組中兩個未知量：

N2=53kN

N1=-36.3kN

求得的Nz為正值，弗力假設(shè)的方向正確，AC桿受壓力；I為負值，說明實際NJJ的指向與所假設(shè)的方

向相反，應(yīng)為離開節(jié)點A,故AB桿受拉力。

14.一個三角形管道支架固定在磚柱上，支架由兩根型鋼與節(jié)點板構(gòu)成。節(jié)點A,B,C均采用焊接，

在分析支架受力情況時，可簡化為較接計算，已知每一管道重為248N/m,支架間距為6m。試求支架A,B

兩處的約束反力。支架自重忽略不計。

解由題意知支架節(jié)點均簡化為較接，管道重以集中力的形式通過接觸點垂直作用在支架上，支架間距為

6nb每一支架承擔(dān)6m長的管道重量，故：

P=6X248=1488N=L488kN

支架中BC桿為二力桿，所以，B錢處的約束反力RB必沿BC方向作用。而AC桿不是二力桿，A處約束

反力方向未知，以%及％兩分力代替。各反力指向先假定。

1.用一矩式方程組求解

ZMA=OPX1+PX1.4-R8COS300X1.26Xtan30°=0

1.488X1+1.488X1.4-RBsin30°XL26=0

1.488X1+1.488X1.4-RBsin300XL26=0

得RB=5.67kN

￡y=0VA+RBsin30°-P—P=O

VA=2.976-RBsin30°=0.141kN

Ex=0RBCOS30°—HA=0

HA=4.91kN

2.用二矩式方程組求解，如r.

￡MA=0可求得RR=5.67kN

2Mli=0H,X4B+1.488X1+1.488X1.4=0

AB=ACtan300=1.26Xtan30°=0.727m

將A5值代入上式方程中求得H、=4.91kN

￡y=0方程與上面一矩式中的相同，可得L=0.141kN。這兒若再用￡x=0方程，不能解出第四個未

知量，故￡x=0稱不獨立方程，只可將其作為校核之用。

￡x=0-HA+RBCOS30°=-4.91+5.67Xcos300=0

3.用三矩方程組求解

ZMA=O如上求得RB=5.67kN

￡MB=O如上求得HA=4.91kN

ZMc=OVAX1.26-1.488X0.26+1.488X0.14=0

得VA=0.141kN

上面三組平衡方程，在解題時，只需任選一組即可。

15.一簡支梁受力如圖所示。己知P=20kN,q=10kN/m,不計梁自重，求A,B兩支座反力。

解畫A,B兩支座的約束反力如圖所示。在求支座反力時，可將分布荷載q以集中力2q的形式作用在分

布荷載的中點（圖中虛線所示）。由平衡方程：

￡x=0HA—Pcos600=0

20x-

H,,=2=iokN

VBX6-qX2X5-Psin60°X2=0

-(10x2x5+20xsin60°x2)

VB=6=22.4kN

ZMB=0VAX6-Psin60°X4-qX2Xl=0

-(20xsin60°x4+10x2xl)

VA=6=14.9kN

為了檢查計算結(jié)果的正確性，可用Ey=0方程進行校核。

Ey=0L+VB—Psin600-2q=0

o

VA4-VB=Psin60+2q

22.4+14.9=20sin600+2X10

37.3=37.3

說明前面計算結(jié)果正確。

16.求圖示三較剛架A,B處的支座反力。

解構(gòu)件ADC與BEC通過較C連在一起，并用較A,B與地基連在一起，成為一個幾何不變體系。較A,B

各有兩個反力，故有四個未知數(shù)，%,HA;VB,HB,它們的方向先假定如圖所示。

先從三較剛架整體考慮，可列出平衡方程：

LMA=OVBX4a—qX4aX2a—PX2a=0(a)

15

--(8qa2+2qa~

得VB=4。=2

ZMB=OVAX4a+PX2a-qX4aX2a=0(b)

1°3

—(8qa~一2qa~)—qa

得V尸4a=2

￡x=0H,t—Ha+P=O(c)

從整體考慮只能列出三個平衡方程，無法解出四個未知量，所以要補充一個方程。為此，可取部分脫

離體，現(xiàn)取CEB部分脫離體(如圖3-21b所示)，C被處有一約束:反力，分解為兩個未知量％、He(方向可

先假定)，故脫離體共有三個未知量，但因本題意不要求解出％、He,故可取C為矩心，以求％：

￡Mc=OHi{X3a+qX2aXa—VuX2a=0

—(V?x2a-2qa2)—x2a-2qa2),、

H尸3as=3?2"=qa(一)

以%值代入式（c）中，得H,\=0

校核一取整體平衡，檢查各力在y軸上的投影總和是否為零:

35

—qa—qa

￡y=0VA+VR—4qa=2+2—4qa=0

再取任一點，如D點，檢查各力對該點之矩的代數(shù)和是否為零:

￡Mp=OHAX3a+Pa+VBX4a-HBX3a-qX4aX2a

0+4。2+-qa'x4a-qax3a-8qa2

=2=o

說明所求A,B支座反力正確。

17.圖示一最大起重量P=100kN的塔吊。其自重G=400kN。作用線距離塔

身中心線0-0,為0.5m。塔身最下面四個輪子可在軌道上行走。為使在起吊過程

中不傾倒，必須放置配重W,配重作用線如圖所示。試問W為多少kN時，該塔

吊不會發(fā)生傾倒？

解該塔吊受平面平行力系w,G,P作用，為使它不傾倒，力系的合力作用線范

圍必須在AB之間合力大小R=W+G+P=W+400+100=

500+W

若合力作用線位置在AA-，各力對塔身中心線00,取矩，合力R力臂H=lm：

RXH=WX3-GX0.5-PX10

(R"+Gx0.5+Pxl0)3+500)x1+400x0.5+100x10

W=3=3

得W=850kN

若合力作用線位置在BBL各力對塔身中心線取矩：

RXH=GXO.5+PX10-WX3

(W+500)X1=400X0.5+100X10-3W

得W=175kN

所以，當(dāng)塔吊有最大重量P=100kN時，配重范圍為850kN>W>175kN。

18.求圖示AB外仰梁的支座反力。

解在求支座反力時，可將分布荷載q以集中力6q作用在q荷載的中點C處（圖中虛線所示）。畫A,B

的支座反力作用線，并假設(shè)方向向上。

2Mli=0V,、X4.5—PzX1.5—PiX3-6qX3=0

40x1.5+20x3+6x10x3

VA=4.5=66.7kN

LM?=0VBX4.5-PLXI.5-P2X3-6qX1.5=0

得VB=53.3kN

用￡y=0進行校核

VA+VB-P,-P2-6q=66.7+53.3-20-40-6X10=0

可見計算正確。

第4章

1.試分析圖中a,b,c三種情況的兒何組成。

AB

解（1）圖a中AB桿可視為剛片I,基礎(chǔ)（地球）為剛片I【，它們由三根支桿相連，且此三支桿既不全平

行又不全交于一點，所以體系是幾何不變的，且無多余聯(lián)系。

（2）圖b中桿AB和基礎(chǔ)分別視為剛片I,H,兩剛片之間連接是由相交于A點的三支桿相連，所以,

體系是幾何可變的。

這里必須指出，雖然兩剛片相互連接是由三根支桿相連，從支桿的聯(lián)系數(shù)目來說是符合規(guī)則的,

但由于支桿的布置不恰當(dāng)，體系就成為可變了。

（3）圖c中桿ABC為剛片I,基礎(chǔ)為剛片U,兩剛片是由四根支桿相連，且支桿之間既不全平行，又

不全交于一點，所以，體系為幾何不變，且有一個豎向的多余聯(lián)系。

2.試分析圖示結(jié)構(gòu)的兒何組成。

解分別將圖中的AEC,BFD,基礎(chǔ)視為剛片I,II,HI,剛片I和HI以錢A相連，A錢用（1,3）表示，B錢

是聯(lián)系剛片n和川的以（2,3）表示，剛片I和剛片n是用CD,EF兩鏈桿相連，相當(dāng)于一個虛錢0用（1,2）

表示，如圖b所示。

則連接三剛片的三個較(1,3),(2,3),(1,2)不在一直線上，故為不變體系，且無多余聯(lián)系

3.試分析圖示結(jié)構(gòu)的兒何組成。

此體系初看似很復(fù)雜，不能直接應(yīng)用兩個基本規(guī)則來分析，但經(jīng)過簡化后就容易了。

解首先把上部和左、右兩邊二元片撤除，如圖b所示，AB、BC、基礎(chǔ)分別為剛片I,II,HI,剛片I,

III和剛片n,HI分別由鏈桿以虛錢(1,3),(2,3)相連,剛片I,II由B較(L2)相連，此三線1,3),(2,

3),(1,2)不在一直線上。

所以，整個體系為幾何不變，且無多余聯(lián)系。

4.試分析圖a,b所示體系的幾何組成。

解⑴在圖a中，將ABC和DEF分別合成為剛片I,H,此兩剛片由BE,CD兩鏈桿相連，因為缺少一聯(lián)系,

故體系是可變的。

(2)在圖b中，將ABC和DEF分別合成為剛片I,II,此兩剛片若用BE,BD,CD三根不全平行也不全

交于一點的鏈桿相連，就是不變體系，現(xiàn)在多了一根鏈桿CE,所以，整個體系為幾何不變，且有一多余聯(lián)

系。

5.試分析圖示體系的幾何組成。

解法

如圖a所示，將基礎(chǔ)，BCDEF,AB分別視為剛片I,II,Ill,剛片工和11用兩支桿交于D點的虛較相連,

B較連接剛片11,川，A較連接剛片I,01,則三較(1,2),(2,3),(1,3)不在一直線上。故體系為不變

的，且無多余聯(lián)系。

解法二

將基礎(chǔ)和桿BCDEF視為剛片I,H,而剛片AB是用A、B兩校與其他部分相連，可將剛片AB視為鏈桿

(以虛線在圖b中所表示AB鏈桿)。因此，兩剛片用三根不全平行也不全交于一點的鏈桿相連，同樣，可得

到幾何不變的結(jié)論。

第5章

1.已知一剪支梁如圖所示，荷載巴=24KN,PF80KN,求梁跨中截面E處的剪力Q,和彎矩M。

解(1)求支反力，梁上無水平力，故只有垂直方向支反力VA和V8。假設(shè)支應(yīng)力的方向如圖所示。

由平衡條件

EMA=OVB?4-PJ1-P2?2.5:0

VB=1A(24?1+80?2.5)=56KN

￡MB=0VA*4-P1*3-P2*1.5=0

VA=1A(24*3+80*1.5)=48KN

用￡My=O校核

A

V+VB-P1-P2=48+56-24-80=0

校核結(jié)果表明支反力計算無誤。

(2)用截而法求剪力Q和彎矩ME

用截面法在截面E處切開，考察左段梁的平衡，并假設(shè)Q和ME均為正值，如圖b所示。

由￡y=0

VA-PI-QE=O

QE=VA-PI=48-24=24KN

EME=O

ME-VA-2+Pi*1=0

ME=VA*2-P1*1=48*2-24*1=72KN*M

得到的QE和ME均為正值，說明假設(shè)方向?qū)?E截面上的剪力QE和彎矩ME均為正值。

2.簡支梁受均布力q和集中力偶ME=ql2/4的作用，如圖a所示。求C截面的剪力和彎矩。

解（1）支反力

此題求支反力時可用疊加法求較為方便，即分別求出在q和ME單獨作

用時梁的支反力，然后求其代數(shù)和：

2

VA.ql/2+Mf：/L=ql/2+ql/4=3ql/4

VB=ql/2-ME/L=ql/4

再由￡y=0校核

VA+VB-ql=3ql/4+ql/4-ql=0

上式表明支反力計算無誤。

在求C截面的內(nèi)力時，因為C截面作用有集中力偶M,,故C截面稍左面

和稍右面的內(nèi)力可能不同，現(xiàn)分別計算如下：

（2）求C截面稍左截面處的剪力Q.和彎矩Mr,如圖b

由￡y=0

QcA：—V?+qL/2=0

故@左=VA-qL/2=3ql/4-ql/2=ql/4

由￡Mc=O

Me左一VJ/2+qL/2?L/4=0

故Mes=V?L/2-qL/2?L/4=3qL/4?L/2-qL/2?L/4=ql2/4

(3)求C截面稍右截面處的剪力Qy和彎矩八

由￡y=0

Qci；—V〃+qL/2=0

故彘左=V.-qL/2=3ql/4-ql/2=ql/4

由EMc=O

Mc^,—VAL/2+qL/2?L/4+=0

故臨左=V,、L/2—qL/2?L/4=3qL/4?L/2-qL/2?L/4=ql2/4

3.簡支梁作用均布荷載q,如圖所示。試繪出該梁的剪力與彎矩圖。

解（1）支反力

由對稱性可知VA=VB=ql/2

（2）取A點為坐標原點，列出剪力和彎矩方程

Q(x)=VA—qx=ql/2—qx(0<x<l)

2

M(x)=VAx—qx/2

=qlx/2—qx2/2(OWxWl)

b)

IWTrrrr^

(Q圖

ql/2

ql?/8

從剪力方程式可知,Q圖是一條斜直線：

當(dāng)x=0時，QA=+ql/2；

當(dāng)x=l時，Qis=-ql/20

根據(jù)彎矩方程式知，M圖為二次拋物線：

當(dāng)x=0時,MA=0；x=l時，MB=0；

2

最大彎矩在x=l/2處，其值為Mmax=ql/8O

4.剪支梁作用集中荷載P,如圖所示，且a>b,繪制剪力和彎矩圖。

解（1）求支反力

VA=pb/LVB=pb/L

取梁的A點為坐標原點。由于集中力P作用在C點處，所以，應(yīng)將梁分為AC和CB兩段列出剪力方程

和彎矩方程式。

AC段

Q(x)=VA=pb/L(0<x<a)

M(x)=VAX=pbx/L(OWxWa)

CB段

Q(x)=VA-P=Pb/L-P

=-P(1-b/L)二一Pb/L(a<x<L)

M(x)=VAX—P(x—a)

=pal/l(1—x)(OWxWa)

根據(jù)上述方程作剪力圖和彎矩圖，如圖b、c所示。剪力圖在AC和BC段均為常數(shù)，在P力作用點C處,

剪力由+Pb/L變?yōu)橐籔a/L,數(shù)值上發(fā)生了突變，最大剪力Qw=Pa/L發(fā)生在CB段內(nèi)。

pb/l

切)

poto/l

AC段及CB段的彎矩均與x成正比，故彎矩圖是兩條斜直線，最大彎矩發(fā)生

在C截面處,其值為Mx=pab/L,如a=b=L/2,則k=PL/4。

從剪力圖上還可以看出，在A、C、B三個截面處，剪力圖均有突變，其突變

的絕對值分別為Pb/L、P和Pa/L,即分別等于該處集中力的值。這一規(guī)律是普

遍存在的，即在集中力作用處剪力圖上有突變，突變值等于該剪力值的大小。

這種剪力不連續(xù)的情況，是因為荷載簡化為集中力的緣故。實際上荷載不是

集中作用在一點上，而總是分布在一小段長度上。如果將P力以分布力表示，則

剪力圖是連續(xù)的，而彎矩圖在此處將是一段光滑的曲線。

5.在剪支梁C點處作用一集中力偶Me,繪此梁的剪力和彎矩圖。

解(1)求反支力，假設(shè)支座反應(yīng)力方向如圖所示:

%二/=Me/L

(2)分兩段列出剪力方程和穹矩方程

AC段

Q(x)=-VA=-Me/L(0<xWa)

M(x)-VAx=-MeX/L(OWx<a)

CB段

Q(x)=-VA=-Me/L(aWx<L)

M(x)=-VAx+Me=-MeX/L+Me(a<xWL)

從AC段和CB段的剪力方程知，剪力在全梁上是一常數(shù)。

從AC和BC段的彎矩方程知:

AC段

當(dāng)X=0時MA=O

當(dāng)X二a時Me充二-Mea/L

CB段

當(dāng)X=a時Mc&=—Mea/L+Me=Meb/L

當(dāng)X=L時MB=O

彎矩圖為兩條斜直線，MrHMu這說明在集中力偶作用處彎矩圖上有突變，突變值為Me,這也是普遍

現(xiàn)象。即在集中力偶作用處彎矩有突變，其突變值等于該截面卜?的集中力偶的數(shù)值，而在集中力偶作用處

剪力圖上無變化。

b)

H(Q圖

、Mrd/L

c

6.如圖所示的外伸梁。已知：q=20KN/M,P=20KN,Me=160KN?M,繪此梁的剪力圖與彎矩圖。

由￡MB=O

VA?10-160-20?10?3+20?2=0

V?=72KN

由￡M,=0

VB?10+160-20?10?7-20-12=0

VB=148KN

再由￡y=0校核

V?+VB-q?10-P=72+148-20?10-20=0

校核結(jié)果無誤。

畫剪力圖和彎矩圖時，首先求出特定截面的剪力和彎矩。

對剪力圖，特定截面的剪力指集中力作用處的左、右側(cè)截面的剪力，以及分布荷載的起點或終點處截

面的剪力。

對彎矩圖，特定截面的彎矩指集中力作用截面，以及分布荷載起點或終點處截面和集中力偶作用處左、

右側(cè)截面的彎矩。然后根據(jù)彎矩、剪力和分布荷載集度間的關(guān)系歸納的幾條規(guī)律來繪制剪力圖和彎矩圖。

(2)繪剪力圖

A截面右側(cè)截面的剪力等于支應(yīng)力V”因為V,、是正剪力故向上突變72KN,又因為AC段梁上無均布荷載,

所以AB段的剪力圖為一水平線。B截面有集中力ViFMgKN,所以B截面左、右側(cè)的剪刀不同，可求出Qp

=V,-8q=70-20?8=-88KN,QC右=-88+148=60KN,D截面有集中力P作用,所以,Q”.=20KN,又因為CB?段

和BD段段上有均布荷載q作用，剪力圖均為斜線。

(3)繪彎矩圖

A點為簡支端，彎矩MFO,C點有集中力偶作用，在截面C處彎矩圖有突變，Me/.-：=V「2=144KN

AC段無分布荷載，彎矩圖為一斜直線。再求出正產(chǎn)％?2—Me=144-160=-160KN?M,kk-P?2-

q?2?1=-8OKN?M,CB段上有均布荷載，彎矩圖是一條二次拋物線，又因d,(x)/dxJ-q〈O,所以彎矩圖

向下凸，但必須注意到CB段剪力圖上有剪力等于零的截面,彎矩圖在該截面上斜率必為零,有極值彎矩。

要求出極值彎矩,首先必須求出剪力等于零的截面位置,如果該截面離A支座的距離用x表示,可令

Q(X)=O,求出X的值，即Q(X)=V?-q(x-2)=72-20(x-2)=0,得x=5.6m,故M極值

=V*X-Me-q(x-2)72=72?5.6-160-20?(5.6-2)72=113.6KN?M

至于BD段，己求出MB=-80KN?M,而D為自由端MD=0,同時BD段有負值均布荷載,所以彎矩圖也是一條

向下凸的二次拋物線.

7.作圖所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。

p

解⑴畫出關(guān)系圖，如圖b所示。

AE為基本部分,EF相對于AE來說為附屬部分，而EF相對于FG來講則EF乂是基本部分，而FG為附屬部分。

(2)求各支反力。

先從附屬部分FG開始計算,F點反力求出后，反其指向就是EF梁的荷裁.再計算出EF梁上E點的反力后，

反其指向就是AE梁的荷載.各支反力的具體數(shù)值？如圖C所示。

(3)做各單跨梁的彎矩圖和剪力圖，并分別連在?起,即得該多跨靜定梁的M圖和Q圖，如圖所示。

在設(shè)定多跨靜定梁時，可以適當(dāng)選擇中間校的位置，使其彎矩的峰值減小，從而達到節(jié)約材料的目的。

po/?po/2

0、

8.兩跨靜定梁，全長承受均布荷載q。如圖所示。要使正負彎矩峰值相等，試求D較的位置，并繪出相應(yīng)

的彎矩圖。

cb

解（1）設(shè)D錢的位置與B支座的距離為X

(2)計算支座反力。

先從附屬部分AD開始，由平衡條件求得VD=q(L-x)/2,并將其反向作用到基本部分DBC」二,

(3)求D錢的位置。

2

B支座處的負彎矩為q(L-x)x/2+qx/2,AD跨中的正彎矩為q(L-x)78o

根據(jù)題意，得

q(L-x)2/8=q(L-x)x/2+qx2/2

x-0.172L

(4)將求得的x值代入正負彎矩的表達式，作彎矩圖如圖所示，其正負彎矩的峰值為0.086ql?。

q

A口口中也沖口口”

J.\L________

d)DI55q?

rmr

0.5LQ5L.D.5L

9.試作圖所示的剛架的內(nèi)力圖。

解（1）求支座反力

取整個剛架為脫離體，假設(shè)反力方向如圖中所示。由平衡條件得

￡X=0

HB=30KN

￡MB=O

VA?6+30?4-20?6?3=0

VA=40KN（t）

￡MA=0

VB-6-30?4-20?6?3=0

VB=80KN（t）

（2）分段求桿桿端內(nèi)力

AC段：M,“=M"=0Q—，NAC=-40KN

CD段：Mcu=0,MI）C=3O?2=60KN?M（左彳則受拉）,Qa=-30KN,Qx^SOKN,NCB=NI）C=-40KN

BC段:MBI：=0,MEB=30?6=180KN*M（右側(cè)受拉），QEB=QBE=30KN

NBE=NEB=-80KN

DE段：求DE桿兩端的內(nèi)力時，可以分別利用結(jié)點D和E由平衡條件求得:

結(jié)點D：￡X=0,N（t=-30KN

ZY=O,Qw;=40KN

￡MD=O,M?I；=60KN?M

結(jié)點E：SX=O,NED=-30KN

XY=O,QED=-80KN

LME=O,MED=180KN?M（上邊受拉）

分別做M,Q和N圖，在做M圖時，DE段的彎矩因兩端彎矩值已求得，在此

兩縱標值的頂點以虛線相連，從虛線的中點向下疊家簡支梁的彎矩圖，簡支梁跨

中的彎矩值為ql78=90KN?M。

10.試作圖所示三角剛架的內(nèi)力圖。

解（1）求支座反力

截斷固定錢支座A和B,取整個剛架為脫離體，如圖所示。有四個未知反力L,V”H“和％需要列出四

個方程才能求出?？紤]整體平衡，可得

LM?=OV??8-20?8?4=0VB=80KN(t)

LY=0VA+VB-20?8=0VA=80KN(t)

EX=0,

再利用C較處彎矩為零的條件得到補充方程，取錢C左半部分(或右半部分)，

由￡虬=0,

得％?4-H,,?8-20?4?2=0,H,=20KN(-),所以HB=H?=20KN(一)

(2)求各段桿端內(nèi)力

AD段M?=0,Mm=20?6=120KN?M

Q,M)=QOA=-2OKN,N,MFNM=-80KN

DC段Me=0,MK=120KN?M(上邊受拉)

DC桿是一根斜桿，承受沿水平方向的均布荷載，求桿端D的剪力和軸力圖時，可截取結(jié)點D為脫離點,

取沿DC方向為N軸，垂直DC方向為t軸，

因"匕：Et=0,Q(?-62.6+80cosa=0

其中COSa=2/=0.894sina=1/石=0.447,代入得

QDC=80?0.894-20?0.447=62.6KN

￡n=0,Ni)c+80sina+20cosa=0

N^-80?0.447-20?0.894=-53.6KN

求DC桿C端的剪力和軸力時,可截取DC桿為脫離體,

Qe=62.6-80?0.894=-8.9KN

如用力矩方程，即由￡M0=0,得QCD-DC+20?4?2-120=0,其中DC==4.47,代入得

Q?=(120-160)/4.47=-8.9KN,所得結(jié)果與上面用投影方程解是一樣的，再由

En=0,Ncl)+53.6-80sina=0

N?=-53.6+80?0.447=-17.8KN

(3)分別繪制M,Q和N圖

根據(jù)上述所求得的各桿桿端的內(nèi)力大小和方向可繪出內(nèi)力圖，如圖,在做DC桿的彎矩圖時,可利用疊加

法.因DC桿的兩端的彎矩為已知，以虛線相連,從虛線的中點向DC桿的軸線作垂直線,疊加簡支梁的彎矩圖,

中點疊加的彎矩值為q178=40KN?M.

11.試計算圖所示三較拱的內(nèi)力并繪其內(nèi)力圖。已知其拱軸為一拋物線，當(dāng)坐標原點選在左支座時，其拱

軸方程為y=4fx(L-X)/L2。

q74KN/c

?！礖IUlUcP=50KN

解(1)求支座反力。

V.=V°A=(14?6?9+50?3)/12=75.5KN

0

VB=VK=(14?6?3+50?9)/12=58.5KN

H=M0c/f=(75?5?6-14?6?3)/14=50.25KN

(2)各截面的內(nèi)力計算.在計算內(nèi)力時,可將拱跨分為8等分,計算出各分段點截面的彎矩、剪力和軸

力值。計算時為了清楚和便于檢查，計算可列表進行。然后根據(jù)計算結(jié)果繪出M,Q和N圖，如圖所示。

為了說明計算過程，現(xiàn)以距A支座為1.5的截面1為例，計算如下：

由已知的拱軸方程,將L=12m及f=4m代入，

得y=4f(1-x)X/12=X(12-X)/9

則有tanV=dy/dx=(12-2x)/9=4(1-x/6)/3

將截面1的橫坐標x=l.5m代入,得

y,=l.5(12-1.5)/9=1.75m

tanVi=4(1-1.5/6)/3=1

Wi=45"

貝ijsin450=cos45<'=0.707

1=(75.5?1.5-14?1.5?1.5/2)-50.25?1.75=9.5KN?M

Ql=Q%os5-Hsi