2021年高考真題理科數(shù)學(xué)(北京卷)

絕密★本科目考試啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)

學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁150分。試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試和答題卡一并交回。分（選擇題

共40分）一、選擇題共8小題，每小題分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符題目要求的一項。（）知復(fù)數(shù)=2+i，（）3

（）5

（）

（）（）行如圖示的程序框圖，輸出的s值（1

（）

（）

（）（）知直線l的數(shù)方程

xy

（為數(shù)），則點10）直線l的離是（）

（）

（）

（）

（）知橢圓

xya2b2

（＞0的離心率為，（）a2=22

（3=42

（）=2b

（）=4b1

21nn255n21nn255n（）x，滿足

|xy

，且y≥，3的大值為（?7

（1

（）

（）（）天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足Em?m=lg，中星等為的星的亮度為（k2．已知太陽的星等?26.7，天狼星的星等是1.45，太與天狼星的亮度的比值為（10.1

（10.1

（）

（）

?10.1（）點A，，不線，則“與AC的角為銳角”是“|BC|（）充分而不必要條件（）要而不充分條件（）分要條件（）不充分也不必要條件

”的（）學(xué)中有多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線：

x

2

y

2

y

就是其中之一（如圖）．給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰經(jīng)過6個點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上意一點到原點的距離都不超過2；③曲線C所成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號是（）①（）（C）②（）②③第二部分

（非選擇題

共110分二、填空題共6小題，每小題5分共30分。（）數(shù)（）22x的小正周期是_________．（）設(shè)等差數(shù){}的n項為，若=?3=?10則a=__________，的小值為__________．2

（某何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得三圖圖所示如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積__________．（）已知，是面外兩條不同直．給出下列三個論斷：①⊥；②∥；③⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________（）設(shè)函數(shù)f（）+ae

?xa為常數(shù)）．若f（）為奇函數(shù)，則=________；若（）是R上增函數(shù)，則a的值范圍_．（）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃、價格依次為60元/盒65元盒80元/盒90元盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷一購買水果的總價到120元顧客就少付x元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為_________．三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（）（本小題分在△中，a=3，c，B=

．（Ⅰ）求b，的值；（Ⅱ）求（–）值．（）（本小題分3

如圖在棱錐中PA平面ADADPA===3為PD的中點，點在上且

PFPC3

．（Ⅰ）求證⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上且

PG2PB

．判斷直線是在平面AEF內(nèi)說明理由．（）（本小題分改革開放以來人的支付方式生了巨大轉(zhuǎn)變年來移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，兩種支付方式都不使用的有5人樣本中僅使用A和僅使用B的生的支付金額分布情況如下：支付金元

（01000]

（，2000]

大于2000支付方式僅使用A僅使用

人人

人

（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機抽取1人估計該學(xué)生上個月A，兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和使用B的生中各隨機抽取1人，以X表這2人上個月支付金額大于元的人，求X的布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的生中，隨機抽查3人發(fā)他們本月的支付金額都大于元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的生中本月支付金額大于2000元人數(shù)有變化？說明理由．（）（本小題分已知拋物線：?2經(jīng)點2?1）4

n12m12mnnnann12m12mnnnannnn（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ設(shè)O為點拋物線C的焦點作斜率不為0的線l交拋物線于點N，直線y?1分交直線，于點A和B．證：以為直徑的圓經(jīng)過軸的兩個定點．（）（本小題分已知函數(shù)

f(x)

x

3

2

．（Ⅰ）求曲線

y(

的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)

x

時，求證：

xf)

；（Ⅲ）設(shè)

Fx)(xx)|a)，記F()

在區(qū)間[上最大值為M（）當(dāng)M（）小時，求a的．（）（本小題分已知數(shù)列a}選取第項i項i<i<…

iii

，則稱新數(shù)列

a，aiii

為}的度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù){a}的意一項都是{a}的度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數(shù)列1，，，，，，的一個長度為4的增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列a的度為p的增子列的末的最小值為，長度為q的增子m列的末項的最小值為．p<，求證：

a

<；m（Ⅲ）設(shè)無窮數(shù){a}的項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．}的度為s的增子列末項的最小值為2s度項為s的增子列恰有2s-1求數(shù)列a}的項公式．5

絕密★啟用前2019年普通數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共小題，每小題分分）（）

（）

（）

（）

（）

（）

（）（）二、填空題（共小題，每小題分分）（）

π

（）

（）

（若

lm

，

l

，則

（答案不唯一）（）

(

（）13015三、解答題（共小題，共0分）（13分）解）由余弦定理b

B

，得

2

2

2

12

.因為

，所以解得所以

(c..

22

2

.6

（Ⅱ）由B

得

B

.由正弦定理得

C

c3B

.在

△

中，∠是角所以∠為角所以12

.所以

sin(B)sinBcosCsinC

3

.（）（4）解：（Ⅰ）因為A⊥面BCD，所以A⊥．又因為D⊥，以D⊥面AD．（Ⅱ）過A作D的垂線交B于．因為PA⊥面ABCD，PAAM，⊥．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（，，）（，，（20，D（，，），（，2）．因為E為D中點，所E（，，）所以AE

(2,2)

．所以

PF

22,3

24AFAPPF,33

.設(shè)平面EF法向量為n（，，）則

n0,n0,

即

0,24yz33

.．令=1，則x．于是n=(1,1)又因為平面AD法向量為p=（，0），所以

cosp

np|

.7

由題知，二面角-為銳角，所以其余弦值為

．（Ⅲ）直線在平面內(nèi)因為點在B上且

PG2,PB(2,PB3

，所以

4PB,,,AGAP,,3

.由（Ⅱ）知，平的向量=(

.所以AG

23

.所以直線在面內(nèi)（）（3）解知中使的學(xué)生18+9+3=30人用的生有10+14+1=25人，AB兩種支付方式都不用的學(xué)生5.故樣本中，兩種支付方式都使用的學(xué)生100?30?25?5=40人所以從全校學(xué)生中隨機抽人該學(xué)生上個A，兩種支付方式都使用的概率估計為

.（Ⅱ）的所有可能值為，，記事件為從本僅使用A的生中隨機抽取人該學(xué)生上個的支付金額大于元為從樣本僅使用的生中隨機抽1生個月的支付金額大于元.8

由題設(shè)知，事件D相獨立，且(

0.4,(D

.所以(2)()()()PX(CDCD)（）（×0.6=0.52，所以X分布列為

，X1P0.52故的數(shù)學(xué)期（=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）記事件E為樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽查人他們本月的支付金額都大于元.假設(shè)樣本僅使用的生，本月支付金額大元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得

1P(EC330

.答案示1：以認(rèn)為有變.由如下：（）較，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于000元人數(shù)發(fā)生了所以可以認(rèn)為有變.答案示2：法確定有沒有變理由如下：事件是機事件，P（）較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化（14分）解）由拋物線

C

經(jīng)過點(2,

，得p

.所以拋物線C的方程為x

2

，其準(zhǔn)線方程為y.（Ⅱ）拋物線

C

的焦點為(0,

.設(shè)直線l方程為k0)

.9

AB44AB44由

yx

得

.設(shè)

x

x,

，則

x12

.直線

y的方程為y1x1

.令

x，得點的橫坐標(biāo)1y1

.同理得點的坐標(biāo)

xx2y2

.設(shè)點D(0,n)

，則

x,,,y1

，x122yy1x2nxx1

n2

.令

，n

，或

.綜上，以為直徑的圓經(jīng)過軸的定點(0,1)和.（13分）解）由

f()x

3

2

得

f

2

.令f

，即

x，或

x

.8又(0)(

，所以曲線y(與yx即x

的斜率為1的切線方程是yx.

與

yx

，10

（Ⅱ）令gxfx,x[

.由()

x3得g'(xx

，令(得x或x(x),)的情況如下：

.

(

0

(0,)

(,4)

g'(x)

g(x)

0

0所以()

的最小值為

，最大值為

.故g(x)，xf(x)（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

.當(dāng)

a

時，(a(0)|

；當(dāng)

a

時，((g(|

；當(dāng)

a()

.綜上，當(dāng)M()

最小時，

a

.（）（分解：（Ⅰ），，，答案不唯一）（Ⅱ）設(shè)長度為末項為

n

的一個遞增子列為

,arr

,ar

,a

.由<，得

rr

.因為

n

的長度為的增子列末項的最小值為

，又

a,rr

ar

是

遞增子列，所以

m

r

.所以

n

·（Ⅲ）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是

n

中的項11

先證明：若m是

則m必在m?1之m正整數(shù)）.假設(shè)m排在m之后設(shè),,,

是數(shù)列

的長度為m末項為2m的遞增列，則,app

,

p

,2是列項為m