2023年高考數(shù)學(xué)專題16三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)問題黃金解題模板

專題16三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)問題【高考地位】近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的根底，又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，同時也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空題和解答題，其試題難度屬中檔題.【方法點(diǎn)評】類型一求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間使用情景：一般三角函數(shù)類型解題模板：第一步先將函數(shù)式化為根本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意參數(shù)的正負(fù)；第二步利用三角函數(shù)的輔助角公式一般將其化為同名函數(shù)，且在同一單調(diào)區(qū)間；第三步運(yùn)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定其單調(diào)區(qū)間.例1【全國名校大聯(lián)考2023-2023年度高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】設(shè)向量，.〔1〕求的最小正周期；〔2〕求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1);(2).【變式演練1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕A．[kπ＋，kπ＋π]B．[kπ－π，kπ＋]C．[2kπ＋，2kπ＋π]D．[2kπ－π，2kπ＋]〔以上k∈Z〕【答案】B.考點(diǎn)：三角函數(shù)單調(diào)性.【變式演練2】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么的值為__________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，故得到：兩者取交集得到的值為。故答案為：。點(diǎn)睛：這個題目考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；這種題目一般應(yīng)用圖像的對稱性，軸對稱性和點(diǎn)對稱性，再就是單調(diào)性，由單調(diào)性就可以得到周期的大概范圍，解決這類題目還要注意結(jié)合函數(shù)的圖像的整體性質(zhì)。類型二由的圖象求其函數(shù)式使用情景：一般函數(shù)求其函數(shù)式解題模板：第一步觀察所給的圖像及其圖像特征如振幅、周期、與軸交點(diǎn)坐標(biāo)等；第二步利用特殊點(diǎn)代入函數(shù)解析式計算得出參數(shù)中一個或兩個或三個；第三步要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個零點(diǎn)的位置，并進(jìn)一步地確定參數(shù)；第四步得出結(jié)論.例2【安徽省十大名校2023屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】函數(shù)的局部圖象如下圖，其中分別是函數(shù)的圖象的一個最低點(diǎn)和一個最高點(diǎn)，那么〔〕A.B.C.D.【答案】A【變式演練3】函數(shù)〔其中〕的局部圖象如下圖，那么的解析式為〔〕A．B．C．D．【答案】B考點(diǎn)：由的局部圖像確定解析式【變式演練4】函數(shù)的圖象如下圖，那么y的表達(dá)式為〔〕A．B．C．D．【答案】C考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像及性質(zhì)【變式演練5】函數(shù)的圖象如下圖，那么該函數(shù)的解析式是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D考點(diǎn)：的圖像【變式演練6】函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如下，此函數(shù)的解析式為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：因,故,借助圖象可以看出,所以,將代入可得,故,應(yīng)選C．考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及運(yùn)用．【變式演練7】如下圖，是函數(shù)〔，，〕的圖象的一局部，那么函數(shù)解析式是〔〕A．B．C．D．【答案】A類型三求三角函數(shù)的周期使用情景：一般三角函數(shù)類型解題模板：第一步利用恒等變換將其化成“、〞的形式；第二步運(yùn)用周期的計算公式直接計算可得所求.第三步得出結(jié)論.例3假設(shè)函數(shù)在上的圖象與直線恰有兩個交點(diǎn).那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可知，在存在兩個最大值，那么，所以，應(yīng)選A?！军c(diǎn)評】三角函數(shù)的圖象問題利用圖象輔助解題，由題意可知，在存在兩個最大值，那么在圖象上得到第二個最大值和第三個最大值，因?yàn)樵谇∮袃蓚€最大值，那么得到，解得答案?！咀兪窖菥?】設(shè)函數(shù)，，假設(shè)在區(qū)間上單調(diào)，且，那么的最小正周期為〔〕A．B．2πC．4πD．π【答案】D的對稱軸和對稱中心，那么.選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象與性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】根據(jù)三角函數(shù)的圖象在某區(qū)間的單調(diào)性可判斷的范圍，根據(jù)函數(shù)值相等可判斷函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)函數(shù)值互為相反數(shù)可判斷函數(shù)圖像的對稱中心，有了函數(shù)圖像的對稱軸和對稱中心可判斷函數(shù)的周期.【變式演練9】，那么以下結(jié)論中正確的選項是〔〕A.函數(shù)的周期為B.將的圖像向左平移個單位后得到的圖像C.函數(shù)的最大值為D.的一個對稱中心是【答案】D【變式演練10】函數(shù)〔其中〕的最小正周期為.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求函數(shù)在上零點(diǎn).【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕和.考點(diǎn)：1、兩角差的正弦函數(shù)；2、倍角公式；3、三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換；4、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).【變式演練11】函數(shù).〔1〕求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；〔2〕中，銳角滿足，，，求的值.【答案】〔1〕的最小正周期為；單調(diào)增區(qū)間為；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕由二倍角公式及兩角和與差公式化簡函數(shù)的解析式得，由可求該函數(shù)的最小正周期，由可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕由先求出角，再利用正弦定理即可求.【高考再現(xiàn)】1.【2023全國II文，3】函數(shù)的最小正周期為A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，應(yīng)選C.【考點(diǎn)】正弦函數(shù)周期2.【2023全國I卷理，8】曲線，，那么下面結(jié)論正確的選項是〔〕A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D，首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理．．橫坐標(biāo)變換需將變成，即．注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時平移至，根據(jù)“左加右減〞原那么，“〞到“〞需加上，即再向左平移．3.【2023全國III理，3】設(shè)函數(shù)，那么以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕A．的一個周期為B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的一個零點(diǎn)為D．在單調(diào)遞減【答案】D4.【2023全國I卷文，8】函數(shù)的局部圖像大致為A．B．C．D．【答案】C5.【2023山東，文7】函數(shù)最小正周期為A.B.C.D.【答案】C【解析】【考點(diǎn)】三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】求三角函數(shù)周期的方法：①利用周期函數(shù)的定義．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(2π,|ω|),y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,|ω|).③對于形如的函數(shù),一般先把其化為的形式再求周期.6.【2023天津理，7】設(shè)函數(shù)，，其中，.假設(shè)，，且的最小正周期大于，那么〔A〕， 〔B〕， 〔C〕， 〔D〕，【答案】【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，應(yīng)選A．【考點(diǎn)】求三角函數(shù)的解析式【名師點(diǎn)睛】有關(guān)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對稱軸或曲線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.7.【2023高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)為的零點(diǎn),為圖像的對稱軸,且在單調(diào),那么的最大值為()〔A〕11

〔B〕9

〔C〕7

〔D〕5【答案】B考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】此題將三角函數(shù)單調(diào)性與對稱性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,表達(dá)方式新穎,是一道考查能力的好題.注意此題解法中用到的兩個結(jié)論:①的單調(diào)區(qū)間長度是半個周期;②假設(shè)的圖像關(guān)于直線對稱,那么或.8.【2023高考新課標(biāo)2理數(shù)】假設(shè)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，那么平移后圖象的對稱軸為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】試題分析：由題意，將函數(shù)的圖像向左平移個單位得，那么平移后函數(shù)的對稱軸為，即，應(yīng)選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象變換與對稱性.【名師點(diǎn)睛】平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．9.【2023高考浙江理數(shù)】設(shè)函數(shù)，那么的最小正周期〔〕A．與b有關(guān)，且與c有關(guān)B．與b有關(guān)，但與c無關(guān)C．與b無關(guān)，且與c無關(guān)D．與b無關(guān)，但與c有關(guān)【答案】B10.【2023年高考北京理數(shù)】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移〔〕個單位長度得到點(diǎn)，假設(shè)位于函數(shù)的圖象上，那么〔〕A.，的最小值為B.，的最小值為C.，的最小值為D.，的最小值為【答案】A【解析】試題分析：由題意得，，故此時所對應(yīng)的點(diǎn)為，此時向左平移個單位，應(yīng)選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象平移【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意平移變換時，當(dāng)自變量x的系數(shù)不為1時，要將系數(shù)先提出．翻折變換要注意翻折的方向；三角函數(shù)名不同的圖象變換問題，應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進(jìn)行變換11.【2023高考山東理數(shù)】函數(shù)f〔x〕=〔sinx+cosx〕〔cosx–sinx〕的最小正周期是〔〕〔A〕〔B〕π〔C〕〔D〕2π【答案】B12.【2023高考浙江，文11】函數(shù)的最小正周期是，最小值是．【答案】【考點(diǎn)定位】1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.三角恒等變換.【名師點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及三角恒等變換.主要考查學(xué)生利用恒等變換化簡三角函數(shù)，利用整體代換判斷周期與最值的能力.此題屬于容易題，主要考查學(xué)生的根本運(yùn)算能力以及整體代換的運(yùn)用.13.【2023高考陜西，文14】如圖，某港口一天6時到18時的誰深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin(x＋Φ)＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為____________.【答案】8【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】1.此題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，在三角函數(shù)的求最值中，我們經(jīng)常使用的是整理法，從圖像中知此題時，取得最小值，繼而求得的值，當(dāng)時，取得最大值.2.此題屬于中檔題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.14.【2023高考上海，文1】函數(shù)的最小正周期為.【答案】【考點(diǎn)定位】函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.【名師點(diǎn)睛】此題先用二倍角的余弦公式把函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)求周期.二倍角的余弦公式可正用、逆用以及變形運(yùn)用.15.【2023高考湖南，文15】>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個交點(diǎn)的距離為2，那么=_____.【答案】【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會二者的統(tǒng)一.這樣就能理解條件“距離最短的兩個交點(diǎn)〞一定在同一個周期內(nèi)，此題也可從五點(diǎn)作圖法上理解.16.【2023高考天津，文14】函數(shù),,假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,那么的值為．【答案】【考點(diǎn)定位】此題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】此題將三角函數(shù)單調(diào)性與對稱性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,表達(dá)方式新穎,是一道考查能力的好題.注意此題解法中用到的兩個結(jié)論:①的單調(diào)區(qū)間長度是半個周期;②假設(shè)的圖像關(guān)于直線對稱,那么或.17.【2023山東，理16】設(shè)函數(shù)，其中..〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.【答案】〔Ⅰ〕.〔Ⅱ〕得最小值.從而.根據(jù)得到，進(jìn)一步求最小值.試題解析：〔Ⅰ〕因?yàn)?，所以即時，取得最小值.【考點(diǎn)】1.兩角和與差的三角函數(shù).2.三角函數(shù)圖象的變換與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答此題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，此題易錯點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對應(yīng)，二是無視設(shè)定角的范圍.難度不大，能較好的考查考生的根本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.18.【2023北京文，16】函數(shù).〔I〕f(x)的最小正周期；〔II〕求證：當(dāng)時，．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕詳見解析.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡，再根據(jù)輔助角公式化簡為，根據(jù)公式求周期；〔Ⅱ〕當(dāng)時，先求的范圍再求函數(shù)的最小值.19.【2023江蘇，16】向量〔1〕假設(shè)a∥b,求x的值；〔2〕記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】〔1〕〔2〕時，取得最大值，為3；時，取得最小值，為.【解析】解：〔1〕因?yàn)?，，a∥b，〔2〕.因?yàn)?，所以，從?于是，當(dāng)，即時，取到最大值3；當(dāng)，即時，取到最小值.【考點(diǎn)】向量共線，數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加減乘：20.【2023高考天津理數(shù)】函數(shù)f(x)=4tanxsin()cos()-.(Ⅰ)求f(x)的定義域與最小正周期；〔Ⅱ〕討論f(x)在區(qū)間[]上的單調(diào)性.【答案】〔Ⅰ〕，〔Ⅱ〕在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.解：令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得設(shè)，易知.所以,當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證.對于三角函數(shù)來說，常常是先化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原那么，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的表達(dá)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式．21.【2023高考北京，文15】函數(shù)．〔I〕求的最小正周期；〔II〕求在區(qū)間上的最小值．【答案】〔I〕；〔II〕.〔Ⅱ〕∵，∴.當(dāng)，即時，取得最小值.∴在區(qū)間上的最小值為.考點(diǎn)：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)晴】此題主要考查的是降冪公式、輔助角公式、三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．解題時要注意重要條件“〞，否那么很容易出現(xiàn)錯誤．解此題需要掌握的知識點(diǎn)是降冪公式、輔助角公式、三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的圖象，即，，函數(shù)〔，〕的最小正周期是．【反應(yīng)練習(xí)】1．【廣西賀州市桂梧高中2023屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕試題】假設(shè)函數(shù)與的圖象有一條相同的對稱軸，那么稱這兩個函數(shù)互為同軸函數(shù).以下四個函數(shù)中，與互為同軸函數(shù)的是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得，的圖象都關(guān)于直線對稱，所以與的圖象都關(guān)于直線對稱.選D.2．【豫西南局部示范性高中2023-2023年高三年級第一學(xué)期聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題】定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，的圖象關(guān)于直線對稱，假設(shè)是鈍角三角形中兩銳角，那么和的大小關(guān)系式〔〕A.B.C.D.以上情況均有可能【答案】B3．【全國名校大聯(lián)考2023-2023年度高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】假設(shè)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意知，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得，應(yīng)選D.點(diǎn)睛：此題主要考查三角函數(shù)圖象的變換平移，屬于中低檔題，也是?？伎键c(diǎn).在此類問題中，由函數(shù)沿著軸向左平移個單位時“左加〞，向右平移個單位時“右減〞，即可得函數(shù)的圖象；沿著軸向上平移個單位時“上加〞，向下平移個單位時“下減〞，即可得函數(shù)的圖象.4．【山東省德州市2023-2023學(xué)年高三年級上學(xué)期期中預(yù)測數(shù)學(xué)〔文科〕試題】的圖象如下圖，為了得到f〔x〕的圖象，那么只要將g〔x〕=cos2x的圖象〔〕A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向左平移個單位長度【答案】A5．【山西省山大附中等晉豫名校2023屆高三年級第四次調(diào)研診斷考試數(shù)學(xué)理試題】把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍〔縱坐標(biāo)不變〕，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為〔〕A.B.C.D.【答案】A6．【南寧市2023屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕】如圖，函數(shù)〔，〕的圖象過點(diǎn)，那么的函數(shù)解析式為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得A=2,f(0)=由所以，，選B.7．【遼寧省鞍山市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)〔文〕試題】函數(shù)的周期為〔〕A.B.C.D.【答案】