2023年高考數(shù)學命題角度4.3空間中的折疊問題大題狂練文

命題角度4.3：空間中的折疊問題1.如圖，四邊形為等腰梯形，，將沿折起，使得平面平面，為的中點，連接.〔1〕求證：；〔2〕求到平面的距離.【答案】〔1〕證明見解析〔2〕到平面的距離為【解析】試題分析：〔1〕在圖中，作于，由平面幾何知識可知，又平面平面所以平面，可證。〔2〕為的中點，到平面的距離等于到平面距離的一半，過作于，平面就是到平面的距離.〔2〕如圖，為的中點，到平面的距離等于到平面距離的一半.而平面平面，所以過作于，又由那么平面就是到平面的距離.由圖易得.到平面的距離為.2.下列圖中，四邊形ABCD是等腰梯形，，，于M、交EF于點N，，，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為、且使，如圖示．(Ⅰ)證明：平面ABFE；,(Ⅱ)假設(shè)圖中，，求點M到平面的距離．【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)．【解析】試題分析：〔I〕折疊前后，⊥EF、MN⊥EF，故EF⊥平面，故.利用勾股定理可證得，所以平面ABFE；〔II〕設(shè)點M到平面的距離為h，,，利用勾股定理證明，利用等體積法可求得點M到平面的距離為.試題解析：(Ⅰ)可知，∴⊥EF、MN⊥EF，又，得EF⊥平面，得，∵∴，又，∴平面ABFE．∴，，又，代入①式，得，解得，∴點M到平面的距離為．3.如圖1，在邊長為4的正三角形中，分別為的中點，為的中點.將與分別沿同側(cè)折起，使得二面角與二面角的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體.〔1〕在多面體中，求證：四點共同面；〔2〕求多面體的體積.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由條件可證明平面和平面，所以，故四點共同面；〔2〕利用體積分割求.〔2〕因為平面，平面，，所以是四棱錐的高，點到平面的距離等于點到平面，又，，，所以.4.以BD為直徑的圓O經(jīng)過A、C兩點，延長DA、CB交于P點，將△PAB沿線段AB折起，使P點在底面ABCD的射影恰好為AD的中點Q.假設(shè)AB=BC=1，BD=2，線段PB、PC的中點分別為E，F(xiàn).〔1〕判斷四點A，〔2〕求四棱錐E-ABCQ的體積.【答案】〔1〕四點A,D,E,F不共面.〔2〕53【解析】試題分析：〔1〕證明四點不共面,根本方法為反證法,即假設(shè)四點共面,那么由線線平行EF//BC得到線面平行BC//平面AEFD,再由線面平行得到線線平行BC//AD,與條件相交矛盾,反設(shè)不成立,得到結(jié)論,〔2〕求四棱錐的體積,關(guān)鍵在于求高,而高的尋求往往借助于線面垂直關(guān)系得到,此題根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直,PQ⊥AD，所以PQ為四棱錐P-ABCQ的高,再代入體積公式即可.試題解析：〔1〕假設(shè)四點A,D,E,F共面，因為EF//BC，BC?平面AEFD，所以BC//平面AEFD，又因為平面AEFD∩平面ABCD=AD，BC?平面ABCD，所以BC//AD，與BC∩AD=P矛盾，所以四點A,D,E,F不共面.〔2〕由題意∠BAD=∠BCD=π2，又AB⊥AD，AB⊥AP于所以AB⊥平面PAD所以平面ABCD⊥平面PAD，P點在底面ABCD的射影恰為AD的中點Q，所以PQ⊥AD，所以PQ為四棱錐P-ABCQ的高，AB=BC=1，BD=2∴AD=CD=3，∠ADC=π3∴PD=PA=3，AQ=QD=32，PQ=32所以E點到平面ABCQ的高為3連接CQ，所以CQ⊥AD，CQ=325.如圖〔1〕，五邊形中，.如圖〔2〕，將沿折到的位置，得到四棱錐.點為線段的中點，且平面．〔1〕求證：平面平面；〔2〕假設(shè)直線與所成角的正切值為，設(shè)，求四棱錐的體積.【答案】〔1〕見解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕要證明面面垂直，一般先證線面垂直，題中平面，由于是的中點，只要取的中點，可證，從而得平面，因此就得到面面垂直；〔2〕由〔1〕的垂直可證是等邊三角形，因此有，再得，于是有平面，可得，這樣可求得圖形中各線段長，可得四棱錐的底面積和高，得體積．試題解析：〔1〕證明：取的中點，連接，那么，又，所以，那么四邊形為平行四邊形，所以，又平面，∴平面，∴平面平面PCD；所以所以.，∴為直線與所成的角，由〔1〕可得，∴，∴，由，可知，那么.6.如圖〔1〕所示，四邊形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中.且點為線段的中點，，現(xiàn)將△沿進行翻折，使得二面角的大小為，得到圖形如圖〔2〕所示，連接，點分別在線段上.〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)三棱錐的體積為四棱錐體積的，求點到平面的距離.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】試題分析：(1)利用線面垂直的判斷定理可證得平面，那么.(2)利用體積的比值結(jié)合體積公式可得點到平面的距離為.試題解析：〔Ⅰ〕因為平面平面，又，所以平面．又平面，所以．在直角梯形中，，，，所以，又，所以，即，又，所以平面．因為平面，所以.〔Ⅱ〕設(shè)點到平面的距離為，因為，且，所，即，故點到平面的距離為.7.如圖，在矩形中，分別為的中點，現(xiàn)將沿折起，得四棱錐.〔1〕求證：平面；〔2〕假設(shè)平面平面，求四面體的體積.【答案】〔1〕見解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕取線段的中點，連接，只需證明四邊形為平行四邊形，即有，可得；〔2〕先證平面，進而四面體的體積.試題解析：(1)取線段的中點，連接，因為為的中點，所以，且，在折疊前，四邊形為矩形，為的中點，所以，且.，且,所以四邊形為平行四邊形，故，又平面平面，所以平面.8.如圖1，平行四邊形中，，，現(xiàn)將△沿折起，得到三棱錐(如圖2)，且，點為側(cè)棱的中點.〔Ⅰ〕求證：平面平面；〔Ⅱ〕求三棱錐的體積；〔Ⅲ〕在的角平分線上是否存在點，使得∥平面？假設(shè)存在，求的長；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕由平面幾何知識先證明，再由線面垂直的判定的定理可得平面，從而得，進而可得平面，最后由由線面垂直的判定的定理可得結(jié)論；〔Ⅱ〕由等積變換可得，進而可得結(jié)果；〔Ⅱ〕取中點，連接并延長至點，使，連接，，，先證四邊形為平行四邊形，那么有∥，利用平面幾何知識可得結(jié)果.試題解析：〔Ⅰ〕證明：在平行四邊形中，有，又因為為側(cè)棱的中點，所以；又因為，，且，所以平面.又因為平面，所以；因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面．〔Ⅱ〕解：因為，平面，所以是三棱錐的高，故，又因為，,，所以，所以有.〔Ⅲ〕解：取中點，連接并延長至點，使，連接，，.因為，所以射線是角的角分線.又因為點是的中點，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面.因為、互相平分，故四邊形為平行四邊形，有∥.又因為，所以有，又因為，故.9.如圖，在中，為直角，．沿的中位線，將平面折起，使得，得到四棱錐．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求三棱錐的體積；〔Ⅲ〕是棱的中點，過做平面與平面平行，設(shè)平面截四棱錐所得截面面積為，試求的值．【答案】〔Ⅰ〕見解析;〔Ⅱ〕;〔Ⅲ〕．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知：平面，又平面，所以，又因為，所以．又因為，所以平面．所以，．依題意，．所以，．〔Ⅲ〕分別取的中點，并連接，因為平面平面，所以平面與平面的交線平行于，因為是中點，所以平面與平面的交線是的中位線．同理可證，四邊形是平面截四棱錐的截面．即：．由〔Ⅰ〕可知：平面，所以，又∵，∴．∴四邊形是直角梯形．在中，∴．，，．∴．點睛：立體幾何是高中數(shù)學中的重要知識內(nèi)容之一，也是高考重點考查的考點之一，在問題的設(shè)置上通常設(shè)置為考查和檢測線面的位置關(guān)系和角度距離的計算問題。求解此題的第一問時，直接運用線面垂直的判定定理進行分析推證；解答第二問時，先確定三棱錐的高與底面，運用體積公式求解；第三問的設(shè)置是探求截面的位置及形狀，然后求其面積，使得問題獲解。10.如圖1，在邊長為3的正三角形中，，，分別為，，上的點，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結(jié)，，.〔如圖2〕〔Ⅰ〕假設(shè)為中點，求證：平面；〔Ⅱ〕求證：；〔Ⅲ〕求與平面所成角