現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化與美學(xué)欣賞

現(xiàn)代數(shù)學(xué)文化與美學(xué)欣賞第一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日正整數(shù)的美學(xué)審視對(duì)無(wú)理數(shù)的品味無(wú)限世界的美妙數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美數(shù)學(xué)美的不同類(lèi)型數(shù)學(xué)史上的幾大奇觀數(shù)學(xué)與人的發(fā)展數(shù)學(xué)與思維的發(fā)展第二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日正整數(shù)的美學(xué)審視你對(duì)正整數(shù)有感覺(jué)嗎？你喜歡哪個(gè)（些）正整數(shù)？你知道數(shù)論嗎？正整數(shù)優(yōu)美嗎？第三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日A.完美數(shù)因數(shù):素?cái)?shù):完美數(shù)：如6的所有真約數(shù)是1、2、3，而且6=1＋2＋3。像這樣，一個(gè)數(shù)所有真約數(shù)的和正好等于這個(gè)數(shù)，通常把這個(gè)數(shù)叫做完美數(shù)

素?cái)?shù)就是質(zhì)數(shù)。它除了能表示為它自己和1的乘積以外，不能表示為任何其它兩個(gè)整數(shù)的乘積。當(dāng)除數(shù)可以整除被除數(shù)(意即被除數(shù)=除數(shù)*商)，則除數(shù)叫做被除數(shù)的因數(shù)

任何一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)中都有1和它本身,我們把小于它本身的因數(shù)叫做這個(gè)自然數(shù)的真約數(shù)

第四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日A.完美數(shù)完美數(shù)有多少?第五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日A.完美數(shù)只發(fā)現(xiàn)20多個(gè)第六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日完美數(shù)有許多有趣的性質(zhì)：1.它們都能寫(xiě)成連續(xù)自然數(shù)之和：6=1+2+3,

28=1+2+3+4+5+6+7,

496=1+2+3+4+......+31,

8128=1+2+3+4+......+1272.它們的尾數(shù)都是6或8

A.完美數(shù)第七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日A.完美數(shù)3.它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2。1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2

物以稀為貴。雖然未找到實(shí)際中的特別用途，但完美數(shù)的奇異和美麗吸引了許多人第八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日B.Mersen數(shù)Euclid（歐幾里得）在探尋完美數(shù)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：完美數(shù)可能的公式：第九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日B.Mersenne（梅森素?cái)?shù)）形如2p－1的正整數(shù)，其中p是素?cái)?shù)，常記為Mp

。若Mp是素?cái)?shù)，則稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)。p＝2，3，5，7時(shí)，Mp都是素?cái)?shù)，但M11＝2047＝23×89不是素?cái)?shù)。已發(fā)現(xiàn)的最大梅森素?cái)?shù)是p＝24036583的情形，此時(shí)Mp是一個(gè)7235733位數(shù)。是否有無(wú)窮多個(gè)梅森素?cái)?shù)是數(shù)論中未解決的難題之一。

第十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日B.MersenneMersenne在代數(shù)編碼（密碼學(xué)）中有用。第十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日C.回文素?cái)?shù)回文詩(shī)：《晚秋即景》煙霞映水碧迢迢，暮色秋聲一雁遙，前芩落輝殘照晚，邊城古樹(shù)冷蕭蕭。倒過(guò)來(lái)念為：蕭蕭冷樹(shù)古城邊，晚照殘輝落芩前，遙雁一聲秋色暮，迢迢碧水映霞煙。芩（qín）

第十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)中的回文素?cái)?shù)或回文質(zhì)數(shù)：例如：2位數(shù)的回文素?cái)?shù)有4對(duì)：13—31；17—71；37—73；97—79三位數(shù)的回文素?cái)?shù)共13對(duì)；四位數(shù)的回文素?cái)?shù)共102對(duì)；五位數(shù)共684對(duì)…………有趣的是=3.1415926……前兩位數(shù)：31-13前六位數(shù)：314159-951413試著找一對(duì)吧第十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日D：其它有趣的現(xiàn)象：自守?cái)?shù)：所謂自守?cái)?shù)就是自已和自己相乘以后得到的數(shù)，尾數(shù)不變。在自然數(shù)中凡末尾數(shù)是1、5和6的數(shù)，不論自乘多少次，尾數(shù)仍然是1、5、6。例如：

21×21=421

21×21×21=9261

325×325=105625

6×6×6×6=1296末尾是25和76的數(shù)也是自守?cái)?shù)，三位數(shù)以上也有。第十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日自然數(shù)中的奇數(shù)和偶數(shù)。

奇數(shù)：偶數(shù)：2=1×22+4=6=2×32+4+6=12=3×42+4+6+8=20=4×5

……2+4+6+8+…+2n=n（n+1）第十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)所有的自然數(shù)，下面的規(guī)律也成立并且十分有趣：

第十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日在自然數(shù)中還有一些數(shù)，看起來(lái)貌不驚人，但卻十分特別，令人百思不得其解。6174就是其中之一。

7641-1467=6174

有趣的是，不僅6174本身，就是任意一四位數(shù)字，只要4個(gè)數(shù)字不完全相同，用上述辦法重復(fù)多次，最后終能得到6174這個(gè)數(shù)。例如1234這個(gè)數(shù)，我們用下列步聚運(yùn)算：4321-1234=3087

8730-0378=8352

8532-2358=6174

第十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（1）素?cái)?shù)的分布規(guī)律區(qū)間素?cái)?shù)個(gè)數(shù)1-10025100-20021200-30016300-40016400-50017500-60014600-70016有起有伏，似乎沒(méi)有規(guī)律第十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日區(qū)間比例1-1001/41-10001/61-100001/81-1000001/10E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（1）素?cái)?shù)的分布規(guī)律進(jìn)一步看，也沒(méi)有一般規(guī)律第十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（1）素?cái)?shù)的分布規(guī)律19世紀(jì)有一位數(shù)學(xué)愛(ài)好者觀察了600000內(nèi)的素?cái)?shù)，發(fā)現(xiàn)在n和2n之間至少有1個(gè)素?cái)?shù)。9年后一位俄國(guó)數(shù)學(xué)家證明了猜想的正確性。有一般的規(guī)律第二十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)無(wú)窮多1-n的區(qū)間

素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(n)π(n)/n<n100251/4n10001661/6n1000012291/8n10000095921/10第二十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日n101001000100001000001000000n/π(n)2.545.958.1410.4212.05lnn2.34.66.99.211.513.1E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)第二十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)1800年一位德國(guó)數(shù)學(xué)家猜想這一等式成立，96年后，兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家同時(shí)獨(dú)立地證明了猜想的正確性。

第二十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日E.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)獵奇——審美，它們之間是相通的。在雜亂無(wú)章的素?cái)?shù)分布上，人們發(fā)現(xiàn)了許多奇特的規(guī)律，猶如萬(wàn)樹(shù)叢中的鳥(niǎo)語(yǔ)花香第二十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.對(duì)無(wú)理數(shù)的品位古希臘數(shù)學(xué)十分繁榮，與藝術(shù)和哲學(xué)緊密相連的。古希臘哲學(xué)（畢達(dá)哥拉斯流派）對(duì)數(shù)（正整數(shù)）和對(duì)世界的思考是不可分割的。他們認(rèn)為：萬(wàn)物皆數(shù)，數(shù)生萬(wàn)物，1最神圣古中國(guó)：一生二、二生三、三生萬(wàn)物第二十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.對(duì)無(wú)理數(shù)的品位無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)打破了古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)的和諧，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)（也是哲學(xué)）的第一次危機(jī)第二十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.1黃金分割第二十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.1黃金分割2.1黃金分割正五邊形對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比正五邊形邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)之比第二十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.1黃金分割0.618的美學(xué)實(shí)例人體:軀干部分的寬與長(zhǎng)之比

肚臍、膝蓋植物：相鄰兩葉在與莖垂直的平面上的投影的兩夾角的比利于通風(fēng)采光第二十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

在研究黃金分割與人體關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)了人體結(jié)構(gòu)中有14個(gè)“黃金點(diǎn)”（物體短段與長(zhǎng)段之比值為0.618），12個(gè)“黃金矩形”（寬與長(zhǎng)比值為0.618的長(zhǎng)方形）和2個(gè)“黃金指數(shù)”（兩物體間的比例關(guān)系為0.618）。黃金點(diǎn)：(1)肚臍：頭頂－足底之分割點(diǎn)；(2)咽喉：頭頂－肚臍之分割點(diǎn)；(3)、(4)膝關(guān)節(jié)：肚臍－足底之分割點(diǎn)；(5)、(6)肘關(guān)節(jié)：肩關(guān)節(jié)－中指尖之分割點(diǎn)；(7)、(8)乳頭：軀干乳頭縱軸上這分割點(diǎn)；(9)眉間點(diǎn)：發(fā)際－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(10)鼻下點(diǎn)：發(fā)際－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；(11)唇珠點(diǎn)：鼻底－頦底間距上1/3與中下2/3之分割點(diǎn)；(12)頦唇溝正路點(diǎn)：鼻底－頦底間距下1/3與上中2/3之分割點(diǎn)；(13)左口角點(diǎn)：口裂水平線左1/3與右2/3之分割點(diǎn)；(14)

右口角點(diǎn)：口裂水平線右1/3與左2/3之分割點(diǎn)。第三十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日面部黃金分割律面部三庭五眼黃金矩形：(1)軀體輪廓：肩寬與臀寬的平均數(shù)為寬，肩峰至臀底的高度為長(zhǎng)；(2)面部輪廓：眼水平線的面寬為寬，發(fā)際至頦底間距為長(zhǎng)；(3)鼻部輪廓：鼻翼為寬，鼻根至鼻底間距為長(zhǎng)；(4)唇部輪廓：靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)上下唇峰間距為寬，口角間距為長(zhǎng)；(5)、(6)手部輪廓：手的橫徑為寬，五指并攏時(shí)取平均數(shù)為長(zhǎng)；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上頜切牙、側(cè)切牙、尖牙（左右各三個(gè)）輪廓：最大的近遠(yuǎn)中徑為寬，齒齦徑為長(zhǎng)。

黃金指數(shù)：(1)反映鼻口關(guān)系的鼻唇指數(shù)：鼻翼寬與口角間距之比近似黃金數(shù)；(2)反映眼口關(guān)系的目唇指數(shù)：口角間距與兩眼外眥間距之比近似黃金數(shù)。

第三十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.1黃金分割0.618的美學(xué)實(shí)例名曲:高潮出現(xiàn)在全曲的黃金分割點(diǎn)名畫(huà)：充分利用了0.618建筑:

如建筑物的特征點(diǎn)、門(mén)窗等黃金分割點(diǎn)體現(xiàn)了美與實(shí)用，溝通了人與自然第三十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π無(wú)理數(shù)分類(lèi)代數(shù)無(wú)理數(shù)：整系數(shù)多項(xiàng)式的根超越無(wú)理數(shù)：代數(shù)無(wú)理數(shù)以外的無(wú)理數(shù)證明它們是超越無(wú)理數(shù)是相當(dāng)困難的。第三十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π來(lái)源與背景第三十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π無(wú)理數(shù)的定義說(shuō)明它們不可以用有限個(gè)有理數(shù)來(lái)表示。微積分的無(wú)窮級(jí)數(shù)提供了無(wú)理數(shù)的有理數(shù)的無(wú)限和表示。例如有理數(shù)表示第三十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π數(shù)值計(jì)算猜測(cè)：1.每隔10位數(shù)就會(huì)出現(xiàn)同樣的數(shù)字;2.π的數(shù)字中必有e的前n位數(shù)字,e的數(shù)字中必有π的前n位數(shù)字。第三十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π奇妙關(guān)系1：實(shí)數(shù)單位i：虛數(shù)單位0：唯一中性數(shù)i：來(lái)源于幾何π：來(lái)源于分析第三十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π同構(gòu)關(guān)系乘法運(yùn)算形式一致第三十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2.2e與π萊布尼茲第三十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日3．無(wú)限世界的美妙數(shù)學(xué)是研究無(wú)限的科學(xué)，數(shù)學(xué)提供了研究無(wú)限的基本思想方法有限無(wú)限生命、財(cái)產(chǎn)、人口、金錢(qián)、距離直線上的點(diǎn)一尺之椎，日取其半，萬(wàn)世不竭。正整數(shù)個(gè)數(shù)第四十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)無(wú)限的最早感受是正整數(shù)區(qū)分有限與無(wú)限的方法:數(shù)數(shù)把握無(wú)限的方法:反證法第四十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日正整數(shù)的屬性3:是什么?代表什么?實(shí)際上3就是一個(gè)符號(hào),與a,f(x)

是一樣的!其含義就是表示若干不同表現(xiàn)形式的共性:相同的數(shù)量或不同的專(zhuān)一屬性----編碼.第四十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日如:3個(gè)蘋(píng)果,3支鋼筆,3個(gè)人,3分錢(qián)......實(shí)際上,脫離實(shí)際情況,3本身是沒(méi)有實(shí)際意義的.但作為媒介，3包含了上述情況的共性——在數(shù)量上一樣多。雖然世界各地的讀音不同。第四十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66第四十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日多少的比較方法之二：比較少多映射第四十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日自然數(shù)的比較122436n2n自然數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)第四十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日推廣第四十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日推廣第四十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日●●●●●這個(gè)運(yùn)動(dòng)表明：當(dāng)x沿直線趨于正無(wú)窮大時(shí)，圓周上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜈呌陧旤c(diǎn)這個(gè)運(yùn)動(dòng)表明：當(dāng)x沿直線趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，圓周上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蜈呌陧旤c(diǎn)演示表明：在直線上無(wú)論x是趨于,還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點(diǎn)沿著圓周分別按逆時(shí)針和順時(shí)針都趨于一個(gè)共同的點(diǎn)——頂點(diǎn)！圓周比直線多一點(diǎn)！第四十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日新概念集合A與B稱(chēng)為基數(shù)相等，如果A，B之間存在1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系（1-1映射）。記為顯然基數(shù)概念推廣了個(gè)數(shù)概念。第五十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)有趣的結(jié)論1、有理數(shù)與自然數(shù)一樣多這個(gè)集合的基數(shù)不超過(guò)自然數(shù)的基數(shù)，而自然數(shù)是其子集，所以這兩個(gè)集合的基數(shù)相等。同樣的理由知道有理數(shù)與自然數(shù)一樣多。第五十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)有趣的結(jié)論2、（0，1）與（0，+∞）的點(diǎn)一樣多第五十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)有趣的結(jié)論3、（0，1）的點(diǎn)比自然數(shù)多5、自然數(shù)是基數(shù)最小的無(wú)窮集合。4、自然數(shù)的所有子集所成的集合與（0，1）的基數(shù)一樣。第五十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)有趣的結(jié)論6、一個(gè)集合的基數(shù)（?）小于其子集所成的集合的基數(shù)（2?

）?<2?

第五十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日由此人們給出了處理無(wú)窮多（自然數(shù)）的一個(gè)方法——數(shù)學(xué)歸納法：如果與自然數(shù)k有關(guān)的命題P(k)滿(mǎn)足條件

（1）P(1)成立；（2）若P(n)成立，則P(n+1)也成立,則P(k)對(duì)所有的自然數(shù)成立。第五十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日4、數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美

觀點(diǎn)和方法是數(shù)學(xué)的兩個(gè)方面：既緊密聯(lián)系，又有所區(qū)別。但方法影響觀點(diǎn)。我們來(lái)看看數(shù)學(xué)方法的美。第五十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日4.1反證法“不能不”反證法通常的證明方法：+條件結(jié)論“對(duì)”“不對(duì)”新結(jié)論條件矛盾成立正證法反證法第五十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日例1反證法：依據(jù)是排中律第五十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日例2（抽屜原理）3個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)2個(gè)抽屜中，至少有1個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋(píng)果。（反證法易得）10本書(shū)，共3類(lèi)（抽屜），文學(xué)類(lèi)（A）、史學(xué)類(lèi)（B）和數(shù)學(xué)類(lèi)（C），證明至少有一類(lèi)有4本或4本以上。第五十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日10本書(shū)，共3類(lèi)（抽屜），文學(xué)類(lèi)（x）、史學(xué)類(lèi)（y）和數(shù)學(xué)類(lèi)（z），證明x,y,z至少有一個(gè)大于或等于4。抽象為一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題：第六十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)人類(lèi)的頭發(fā)最多為200萬(wàn)根，那么南平市至少有2人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。（南平市人口超過(guò)200萬(wàn)）

在任意6人中，一定可以找到3個(gè)相互認(rèn)識(shí)，或3個(gè)相互不認(rèn)識(shí)的人。以上例子表明：反證法能夠說(shuō)明許多有趣的現(xiàn)象。給我們帶來(lái)了美的享受：精美和優(yōu)美。第六十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日4.2RMI方法RMI：R-relation,M-mapping,I-inversion.即關(guān)系、映射和取逆。它屬于形式邏輯范疇。如“三段式”給人以邏輯美。RMI方法體現(xiàn)了辨證思想的方法。第六十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日例1顯得容易。例2運(yùn)算數(shù)值第六十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日曲折：化難為易曲折：創(chuàng)造、發(fā)明曲折：實(shí)現(xiàn)的根據(jù)是對(duì)數(shù)Galileo(伽利略)：給我空間、時(shí)間和對(duì)數(shù)，我即可創(chuàng)造一個(gè)宇宙。RMI的體現(xiàn)：R：21/11（關(guān)系），M：lgx

（映射）,I:10lgx（取逆）第六十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日例3:求和M,逐項(xiàng)微分I,積分第六十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)上互逆的運(yùn)算很多:如0的作用是+項(xiàng)與-項(xiàng);1的作用是乘項(xiàng)與除項(xiàng).第六十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日4.3抽象方法抽象=枯燥乏味?語(yǔ)言學(xué)抽象嗎?美、神、好文學(xué)抽象嗎？詩(shī)歌藝術(shù)抽象嗎？繪畫(huà)、舞蹈音樂(lè)抽象嗎？高山流水、悲歡離和美的感受第六十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)的抽象美的表現(xiàn)形式不同，它給人帶來(lái)的是簡(jiǎn)潔、明快和高效的美第六十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日例1（七橋問(wèn)題）如圖，能否從某個(gè)橋出發(fā)，走過(guò)所有的橋，但每座橋只經(jīng)過(guò)一次？ABCD？？BACD第六十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日BACD一次走完（一筆畫(huà)）一次走不完（一筆畫(huà)不出）能否一筆畫(huà)出？24213313335偶奇奇否Euler第七十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日點(diǎn)線圖——拓?fù)鋵W(xué)topology:不注重?cái)?shù)量關(guān)系和形狀特征，而注重點(diǎn)與點(diǎn)的連接方式！如：建立校園網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。從網(wǎng)絡(luò)中心到各辦公樓、教學(xué)樓、學(xué)生宿舍樓，到各辦公室、教室和寢室。你如何設(shè)計(jì)呢？你需要建立一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱D即可。實(shí)際上如果兩個(gè)圖的點(diǎn)與連接方式一致，它們實(shí)際上就是拓?fù)湟饬x下的一張圖。第七十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展進(jìn)一步表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象程度，起抽象的美與實(shí)際是如此的協(xié)調(diào)，展示了數(shù)學(xué)的優(yōu)美！

拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生極大沖擊了直觀性原則！

1人的認(rèn)知能力(直觀，抽象飛躍)2直觀與抽象在認(rèn)識(shí)上的統(tǒng)一受年齡和知識(shí)的接受方式的限制.3直觀可能造成錯(cuò)覺(jué).第七十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

思辯的作用越來(lái)越大.直觀具有較大的局限性.物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中許多重大發(fā)現(xiàn)和突破是由想象力開(kāi)導(dǎo)的。善于抽象不僅只限于數(shù)學(xué)，人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)，更越來(lái)越抽象，只不過(guò)給人的感覺(jué)不象數(shù)學(xué)強(qiáng)烈而已。第七十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日5、數(shù)學(xué)美的幾種類(lèi)型

美的不同表現(xiàn)形式有不同的形容：壯美、俊美、秀美、柔美、優(yōu)美數(shù)學(xué)美也呈現(xiàn)多樣性，我們分為：簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美和奇異美。第七十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美簡(jiǎn)潔美是人們最欣賞的一種美，在藝術(shù)、建筑、徽標(biāo)等的設(shè)計(jì)中最為常見(jiàn)。中國(guó)畫(huà)更是體現(xiàn)了簡(jiǎn)潔美。數(shù)學(xué)以簡(jiǎn)潔而著稱(chēng)！第七十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日大數(shù)和小數(shù)的表示：10221，286243，10-900數(shù)的表示：所有數(shù)均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(稱(chēng)為阿拉伯?dāng)?shù)字,但是由一、簡(jiǎn)潔美第七十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美印度人發(fā)明的.由阿拉伯人傳到西方.)形式上和位置上意義非凡,絕妙非常.實(shí)際上,0的出現(xiàn)大約要晚好幾百年.第七十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美簡(jiǎn)潔美的發(fā)展過(guò)程:235×4=940羅馬人的算法:CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXX

XX

CMXL表示900表示40第七十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美十進(jìn)制與二進(jìn)制:十進(jìn)制:8989=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20二進(jìn)制:1011001第七十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美十進(jìn)制:符號(hào)多(10),表示上簡(jiǎn)潔,方便人工運(yùn)算,但系統(tǒng)復(fù)雜.二進(jìn)制:符號(hào)少(2),表示上麻煩,方便機(jī)器運(yùn)算,但系統(tǒng)簡(jiǎn)單.二進(jìn)制與最簡(jiǎn)單的自然現(xiàn)象(信號(hào)的兩極)結(jié)合,造就了計(jì)算機(jī)！第八十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美其它符號(hào)的簡(jiǎn)潔美：未知量：x,y,z已知量：π,e,a,b,c函數(shù)關(guān)系：f(x)形狀符號(hào)：第八十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、簡(jiǎn)潔美其它符號(hào)的簡(jiǎn)潔美：運(yùn)算符號(hào)：函數(shù)與邏輯：第八十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、對(duì)稱(chēng)美幾何：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線對(duì)稱(chēng)、面對(duì)稱(chēng)、球?qū)ΨQ(chēng)。球面被認(rèn)為最完美！代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運(yùn)算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運(yùn)算。第八十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式中的系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角形：112133114641151051二、對(duì)稱(chēng)美第八十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日命題變換中：命題逆命題否命題逆否命題二、對(duì)稱(chēng)美第八十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)一與和諧美是數(shù)學(xué)美的又一側(cè)面，它比對(duì)稱(chēng)美具有廣泛性。以幾何與代數(shù)的和諧與統(tǒng)一的表現(xiàn)為例：行列式與矩陣三、和諧美第八十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日平面上過(guò)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線方程:三、和諧美第八十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日平面上過(guò)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的圓方程:

三、和諧美第八十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、和諧美第八十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、和諧美第九十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、和諧美第九十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美奇異：稀罕、出乎意料但卻引人入勝！第九十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美一、分?jǐn)?shù)的奇異性第九十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美第九十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美二、費(fèi)馬猜想第九十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美第九十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)證明了n=3,4時(shí)費(fèi)馬定理成立；后來(lái)，有人證明當(dāng)n<105是定理成立。20世紀(jì)80年代以來(lái)，取得了突破性的進(jìn)展。1995年英國(guó)數(shù)學(xué)家AndrewWiles（安德魯˙懷爾斯，普林斯頓大學(xué)教授）的108頁(yè)論文解決了費(fèi)馬定理。他1996年獲wolf獎(jiǎng)，1998年獲Fielz獎(jiǎng)。(伍爾佛基金會(huì)獎(jiǎng)(WolfFoundationPrizes)宗旨:成立于1978年,為前古巴派駐以色列外交家、發(fā)明家、慈善家Dr.RicardoWolf發(fā)起,為獎(jiǎng)勵(lì)杰出科學(xué)家、藝術(shù)家對(duì)人類(lèi)的貢獻(xiàn),不論國(guó)籍、種族、性別、政治信念。獎(jiǎng)賞以下列領(lǐng)域?yàn)橹?農(nóng)業(yè)、化學(xué)、）...

第九十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日四、奇異美第九十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日6、數(shù)學(xué)史上的幾大奇觀

數(shù)學(xué)史的發(fā)展和其它學(xué)科有著許多相同的地方，即存在許多奇異的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理論知識(shí)發(fā)展的局限性，或者社會(huì)制度、宗教等的因素。但是這些思想的出現(xiàn)對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)的進(jìn)步是積極的。第九十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日一、尺規(guī)作圖在中學(xué)我們就知道，幾何作圖嚴(yán)格局限于圓規(guī)和無(wú)刻度直尺。這種限制從古希臘一直延續(xù)至今。為什么？第一百頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日古希臘認(rèn)為，所有圖形都是由直線和圓弧構(gòu)成的，圓是最完美的圖形。他們確信僅靠圓規(guī)和直尺就可以繪出圖形來(lái)。他們還認(rèn)為，依據(jù)少量假設(shè)，通過(guò)邏輯把握的東西最可靠。一、尺規(guī)作圖第一百零一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日如求線段AB的中點(diǎn)步驟為：1、以A為圓心，以一適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫(huà)??；2、以B為圓心，以同樣長(zhǎng)度的半徑畫(huà)?。?、兩弧交于兩點(diǎn)，作兩點(diǎn)連線，其與AB的交點(diǎn)即為AB的中點(diǎn)。一、尺規(guī)作圖第一百零二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日人們很快找到了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖的方法，然而在正七邊形的尺規(guī)作圖時(shí)，一直研究了2000多年！一、尺規(guī)作圖第一百零三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日17世紀(jì)，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了猜想：形如Fi=22i+1是素?cái)?shù)！i=0,1,2,3,4時(shí)Fi是的確如此。而i=5時(shí)F5

是不是素?cái)?shù)一、尺規(guī)作圖第一百零四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日則在差不多100年后才由偉大的歐拉證明它不是素?cái)?shù)！F5=641×6700417.看來(lái)，驗(yàn)證一個(gè)大數(shù)是否為素?cái)?shù)是一個(gè)多么困難的事?。∫?、尺規(guī)作圖第一百零五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日迄今為止，人們只知道F1,F2,F3,F4,是素?cái)?shù)。人們又猜想費(fèi)馬素?cái)?shù)只有有限個(gè)，但仍是一個(gè)未解問(wèn)題。一、尺規(guī)作圖第一百零六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日在歐拉之后60年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯20歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)是可以用尺規(guī)作圖的，并且得到一般性結(jié)論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分必要條件是：一、尺規(guī)作圖第一百零七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日由此我們知道正7邊形是不可以尺規(guī)作圖的！因?yàn)?不是費(fèi)馬素?cái)?shù)。一、尺規(guī)作圖第一百零八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

而正17邊形（屬于高斯，80多頁(yè)），正257邊形（200多頁(yè)）是可以用尺規(guī)作圖的。高斯的墓碑上刻著一個(gè)正17邊形。

大家可以驗(yàn)證3，5，17，257是否為費(fèi)馬素?cái)?shù)。一、尺規(guī)作圖第一百零九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日古希臘流傳下來(lái)的還有三大幾何作圖難題：1、化圓為方：=2、倍立方問(wèn)題：=3、三等分角問(wèn)題。一、尺規(guī)作圖第一百一十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日它們的解決實(shí)際上都促進(jìn)了幾何與代數(shù)，也就是現(xiàn)在的解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。上述三個(gè)問(wèn)題都是不可能的！1、化圓為方，因?yàn)棣惺浅綗o(wú)理數(shù)。是不可作幾何量。一、尺規(guī)作圖第一百一十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日2、倍立方問(wèn)題。因?yàn)槭遣豢勺鲙缀瘟俊?、三等分角問(wèn)題。以60度角為例，可得到代數(shù)方程一、尺規(guī)作圖第一百一十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分前面已經(jīng)提到，古希臘的幾大幾何難題都是借助于代數(shù)方法得到解決的。實(shí)際上，從公元前到公元16世紀(jì)，幾何與代數(shù)各自并行發(fā)展著。表面上看，幾何似乎是關(guān)于形的科學(xué)而與數(shù)無(wú)關(guān)，代數(shù)似乎是關(guān)于數(shù)的科學(xué)而與形無(wú)關(guān)。第一百一十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分代數(shù)與幾何難以聯(lián)系的原因是：人們心目中的數(shù)是相互孤立的，難以從數(shù)想到由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線等圖形。而對(duì)于形來(lái)說(shuō)，例如線段或封閉圖形，它們與數(shù)的聯(lián)系也只限于長(zhǎng)度與面積，難以從圖形想到數(shù)的能力。第一百一十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分人們從“運(yùn)動(dòng)”的角度來(lái)聯(lián)系數(shù)與形的：決定性的工具是建立了坐標(biāo)系，點(diǎn)數(shù)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成了線，線的運(yùn)動(dòng)形成了體......。數(shù)與形的充分結(jié)合才產(chǎn)生了解析幾何。第一百一十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)始人是笛卡兒！在笛卡兒之前，就已經(jīng)出現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合，即解析幾何的萌芽.我們來(lái)看一個(gè)例子。第一百一十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分求比例中項(xiàng)問(wèn)題。求給定長(zhǎng)度AB與AC的比例中項(xiàng)。若AB=AC，那么他們本身就是比例中項(xiàng)，否則，可設(shè)AB<AC.第一百一十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分將AB置于AC上,以AC為直徑畫(huà)圓,過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線交圓于D,連接AD,AD即為所求比例中項(xiàng).∽第一百一十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分

接著,我們依次作出E、F、G、H、...使得第一百一十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分因?yàn)锳D=x時(shí),AF=x3,AF=AD+DF,故當(dāng)DF=a時(shí),我們得到X3=x+a第一百二十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分結(jié)論:從幾何得到了一個(gè)代數(shù)方程.另一方面,若a是已知數(shù),那么AD=x作為方程的根可以在幾何上表示出來(lái)(尺規(guī)作圖).第一百二十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分反過(guò)來(lái),笛卡兒對(duì)幾何問(wèn)題應(yīng)用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問(wèn)題.解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程來(lái)表示,同時(shí)又用代數(shù)的研究方法來(lái)研究幾何.這種方法顯示了其強(qiáng)大的生命力:代數(shù)是純演算的和第一百二十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分推理的,它只需要邏輯的和技巧的,而不需要面對(duì)千變?nèi)f化的幾何曲線的表面現(xiàn)象得到其本質(zhì)性的東西.即幾何曲線(曲面)的分類(lèi).第一百二十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分第一百二十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分通過(guò)代數(shù)方法(平移和旋轉(zhuǎn))我們可以把一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.而且還有三個(gè)不變量.它們是二次曲線的本質(zhì)—三類(lèi):橢圓、雙曲線和拋物線。難以想象,沒(méi)有代數(shù)的參與,在眾多曲線中我們能看到這些本質(zhì)性的東西.第一百二十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了?？梢哉f(shuō)，微積分不僅是數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學(xué)開(kāi)辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀(jì)的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類(lèi)文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。第一百二十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分微積分的來(lái)源是科學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)要求的必然：速度、距離、重心；切線、長(zhǎng)度、面積、體積；極值問(wèn)題等等。速度切線微分距離體積積分第一百二十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分微積分的創(chuàng)立是以發(fā)現(xiàn)微分與積分互為逆運(yùn)算為標(biāo)志的，即我們所說(shuō)的微積分學(xué)基本定理：第一百二十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分微積分的偉大意義在于：1、微積分改變了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、方式和方法，帶來(lái)了數(shù)學(xué)空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。第一百二十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分2、推動(dòng)了自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學(xué)的基本語(yǔ)言。其他如力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)等學(xué)科都得到了無(wú)限的推動(dòng)力。近代的生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)等都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。第一百三十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分3、對(duì)人類(lèi)物質(zhì)文明作出了巨大貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和更新，通過(guò)其他學(xué)科對(duì)人類(lèi)的進(jìn)步產(chǎn)生了前所未有的作用：工業(yè)革命、人造衛(wèi)星、新星的發(fā)現(xiàn)、經(jīng)濟(jì)規(guī)律、金融運(yùn)作等等。第一百三十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日二、解析幾何與微積分4、對(duì)人類(lèi)文化產(chǎn)生了革命性的影響。只要研究變化規(guī)律就要用到微積分，在人文、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也是如此。哲學(xué)（馬克思、恩格斯）、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、法學(xué)......它們直接影響著人們的世界觀和文化結(jié)構(gòu)。第一百三十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何一個(gè)遺憾的事：幾乎所有的大學(xué)生不知道非歐幾何，甚至數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的本科生也是如此。今天我們?cè)噲D來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)遺憾，來(lái)了解影響和改變世界的非歐幾何。第一百三十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，起始特征是建立了公理化方法：即從幾個(gè)概念和幾個(gè)命題，演繹出本學(xué)科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學(xué)科的全貌。運(yùn)用這種方法的學(xué)科被認(rèn)為是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)和成熟的科學(xué)。第一百三十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的《集合原本》中，在其之后的2200年后，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》上加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。然而，令人放心不下的是該公理體第一百三十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何系中的第五公理，即平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題。因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們開(kāi)始從三個(gè)方面研究平行公理。1、試圖給出新的平行線定義以繞開(kāi)這個(gè)困難；第一百三十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何2、試圖用比平行公理缺點(diǎn)更少的其他公理取代它；（等價(jià)或包含）3、試圖用其他公里推出它。第三個(gè)問(wèn)題得到的最多的研究，但是毫無(wú)結(jié)果。第一百三十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何在用反證法研究第三個(gè)問(wèn)題時(shí)，試圖推出矛盾，但是沒(méi)有。實(shí)際上，反證法就是假設(shè)與第五公理不成立。第五公理是說(shuō)：過(guò)已知直線外一點(diǎn)，可作一條也只可作一條直線與已知直線平行。第一百三十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何19世紀(jì)初，俄羅斯人羅巴切夫斯基在否定第五公理的同時(shí)，假設(shè)其反面之一：“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，可作多于一條的直線與已知直線平行”，得到了一系列定理，并且認(rèn)為他得到了一門(mén)新的幾何學(xué)。這是過(guò)去2000年以來(lái)的重大突破。第一百三十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何羅巴切夫斯基1826年2月11日宣布自己建立了新的幾何學(xué)之后，得到了許多數(shù)學(xué)大家的嘲笑、諷刺，德國(guó)詩(shī)人歌德也出來(lái)諷刺他。實(shí)際上，羅巴切夫斯基的理論得到世界的認(rèn)可是在他去世幾十年后的事了.第一百四十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何

在羅氏幾何產(chǎn)生后的1854年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼把歐氏第五公理改為：“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，沒(méi)有與其平行之直線”，得到的一種新的幾何學(xué)——黎曼幾何，為非歐幾何的另一翼。第一百四十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何絕對(duì)幾何歐氏幾何羅氏幾何黎曼幾何聯(lián)系公理迭合公理順序公理連續(xù)公理第一百四十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何

非歐幾何的產(chǎn)生具有三個(gè)重大意義:1、解決了平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題。推動(dòng)了一般公理體系的獨(dú)立性、相容性、完備性問(wèn)題的研究，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。第一百四十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何2、證明了對(duì)公理方法本身的研究能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，理性思維和對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯和完美的追求，推動(dòng)了科學(xué)，從而推動(dòng)了社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認(rèn)為最困難的概率論也在20世紀(jì)30年代第一百四十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何

建立自己的公理體系。實(shí)際上公理化的研究又孕育了元數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展。3、非歐幾何實(shí)際上預(yù)示了相對(duì)論的產(chǎn)生，就象微積分預(yù)示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對(duì)論的匯合是第一百四十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何科學(xué)史上劃時(shí)代的事件。人們都認(rèn)為是愛(ài)因斯坦創(chuàng)立了相對(duì)論，但是，也許愛(ài)因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學(xué)家Poincare龐加萊

,Minkouski閔柯夫斯基

,Hilbert希爾伯特等共同的工作。出現(xiàn)動(dòng)鐘延緩，動(dòng)尺縮短，時(shí)空彎曲等現(xiàn)象。這些都是非歐幾何與相對(duì)論的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。第一百四十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日三、非歐幾何非歐幾何的模型。復(fù)變函數(shù)理論。非歐直線非歐距離、非歐角、非歐圓、非歐三角形...，非歐三角形內(nèi)角和小于180度；不存在非歐矩形。第一百四十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日7、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展

數(shù)學(xué)作為一門(mén)課程進(jìn)入學(xué)校在公元前2400年時(shí)就開(kāi)始了。柏拉圖規(guī)定，不懂幾何學(xué)不得進(jìn)入他的哲學(xué)學(xué)校。這說(shuō)明那時(shí)就把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教育和做人聯(lián)系起來(lái)了?，F(xiàn)在全世界最普遍開(kāi)設(shè)的教育課程就是數(shù)學(xué)，開(kāi)設(shè)的時(shí)間是所有課程中最長(zhǎng)的！人類(lèi)是如何達(dá)成這一共識(shí)？又是如何確立了數(shù)學(xué)如此重要地位的呢？第一百四十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

中國(guó)數(shù)學(xué)歷史悠久，也曾達(dá)到過(guò)很高的水平，但中國(guó)的古代數(shù)學(xué)偏向于應(yīng)用與使用。與中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成鮮明對(duì)照的是古希臘數(shù)學(xué)所具有的強(qiáng)烈的理性色彩。古希臘數(shù)學(xué)更接近于世界觀，接近哲學(xué)，接近人生，因而也更接近人文學(xué)。所以數(shù)學(xué)作為人類(lèi)的思想產(chǎn)品，獲得了極高的地位。數(shù)學(xué)對(duì)人的發(fā)展的影響第一百四十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

近代中國(guó)的教育觀念中，還承繼著老祖宗的某些傳統(tǒng)。過(guò)分強(qiáng)調(diào)感性、實(shí)用性和目的性。數(shù)學(xué)只作為一種工具來(lái)學(xué)習(xí)和掌握。所謂“有沒(méi)有用”的“用”，其含義更多的是對(duì)某個(gè)學(xué)科專(zhuān)業(yè)的實(shí)用性，而不包含對(duì)人的發(fā)展的作用。實(shí)際上，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的相互促進(jìn)，使得數(shù)學(xué)的發(fā)展異常迅猛，用途的廣泛性已經(jīng)超出了人們的想象。實(shí)用主義降低了數(shù)學(xué)的作用，由于過(guò)分的強(qiáng)調(diào)，而使數(shù)學(xué)的人文作用處于一個(gè)幾乎被忽略的地位。第一百五十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

世界觀的形成是后天的。它與人的成長(zhǎng)過(guò)程密切相關(guān)。世界觀左右人的認(rèn)識(shí)、觀點(diǎn)與方法。其共性表現(xiàn)為：符合邏輯的、辨證統(tǒng)一的和純理性的。數(shù)學(xué)家也不例外，他們?cè)趶氖聰?shù)學(xué)研究的同時(shí)，必定通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)看世界。反過(guò)來(lái)，他們對(duì)世界的看法也影響著其數(shù)學(xué)工作。從畢達(dá)格拉斯直到近代的伽利略、笛卡兒、開(kāi)普勒一直認(rèn)為世界是數(shù)的體現(xiàn)，世界是按數(shù)學(xué)公式運(yùn)行的，宇宙的書(shū)本是按數(shù)學(xué)寫(xiě)成的。數(shù)與世界密不可分。不少數(shù)學(xué)家都是哲學(xué)家。數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家龐加萊說(shuō)：“沒(méi)有數(shù)學(xué)這門(mén)語(yǔ)言，事物間大多數(shù)密切的類(lèi)似關(guān)系將永遠(yuǎn)不會(huì)被我們發(fā)現(xiàn)；我們也無(wú)從發(fā)現(xiàn)世界內(nèi)部的和諧，而這種和諧正是惟一真正的客觀現(xiàn)實(shí)......是我們所能達(dá)到的惟一真理。”實(shí)際上，出現(xiàn)的問(wèn)題是數(shù)學(xué)與世界和諧的關(guān)系。如果說(shuō)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)了世界的和諧，則數(shù)學(xué)優(yōu)先于世界觀；如果說(shuō)，世界的和諧是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的，則世界觀優(yōu)先于數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)對(duì)世界觀起到了作用。數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

1、數(shù)學(xué)影響人們的邏輯思維數(shù)學(xué)的突出特點(diǎn)是講究普遍聯(lián)系的，最大特征是抽象，因而數(shù)學(xué)廣泛存在于眾多的事物中。事物與事物的聯(lián)系多少靠什么來(lái)判斷呢？靠的是共性與個(gè)性，或者稱(chēng)為內(nèi)涵與外延。表面的東西通常反映的是個(gè)性，它會(huì)掩蓋共性。數(shù)學(xué)抽象性的主要特征就是從個(gè)性中發(fā)現(xiàn)共性。數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

個(gè)性“抽”的越多，就越在內(nèi)涵的共同處考慮，就越能發(fā)現(xiàn)事物間的共性。內(nèi)涵越少，外延越大。這是基本的邏輯結(jié)論.例如：速度、切線—導(dǎo)數(shù)—邊際、變化率......例如：黃金分割0.618:廣泛存在于人體、植物、動(dòng)物繁殖、建筑、藝術(shù)、音樂(lè)......

問(wèn)題是0.618是不是世界和諧的標(biāo)志呢?數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響抽掉個(gè)性共性體現(xiàn)個(gè)性第一百五十四頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

人們發(fā)現(xiàn)了優(yōu)選法.

00.3820.6181

實(shí)驗(yàn)點(diǎn)原則:去劣存優(yōu)第一步:若在0.382點(diǎn)優(yōu),則在[0,0.618]繼續(xù)實(shí)驗(yàn);否則,在[0.382,1]上繼續(xù)實(shí)驗(yàn).共性:區(qū)間長(zhǎng)度為0.618.

第二步:在第一步的區(qū)間上用0.618×0.618和(1-0.618)×0.618作實(shí)驗(yàn)點(diǎn),繼續(xù)選擇原則.數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十五頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

共性區(qū)間長(zhǎng)度為0.6182.

如此繼續(xù)下去,得到一個(gè)”區(qū)間套”:數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十六頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

那么,為什么非得選擇0.618呢.實(shí)際上,我們可以從任何兩點(diǎn)出發(fā)也能得到x0.

如果xn是第n次黃金分割實(shí)驗(yàn)后的點(diǎn),而xn’是任何其他優(yōu)選方法第n次實(shí)驗(yàn)后的點(diǎn),那么|xn-x0|<|xn’-x0|所以在同樣實(shí)驗(yàn)次數(shù)下,黃金分割是最好的方法.

這也說(shuō)明,最美的一定反映了某種和諧,主觀和客觀是相互作用的.數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十七頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日

2.數(shù)學(xué)最正確最客觀地體現(xiàn)了辨證唯物主義思想.影響著唯物論的認(rèn)識(shí)論.

辯證唯物主義是講聯(lián)系,講統(tǒng)一的.但有些觀點(diǎn)過(guò)分強(qiáng)調(diào)”本質(zhì)聯(lián)系”中的”本質(zhì)”,犯了形而上學(xué)的錯(cuò)誤.實(shí)際上,本質(zhì)都是從聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)的,而不是事先就知道的.

數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵之一是建立對(duì)應(yīng)關(guān)系(聯(lián)系),通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系去發(fā)現(xiàn)共性(本質(zhì)).數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響第一百五十八頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響fffff同構(gòu)、同倫、同調(diào)、同胚......第一百五十九頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響變與不變的關(guān)聯(lián):辯證法數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是變量與常量.變與不變是辨證的關(guān)系.我們來(lái)看數(shù)列極限的定義.這里,”任意的”意味著變化,因此,ε>0是變的.但是我們要說(shuō)明數(shù)列以A為極限,只需要對(duì)每個(gè)ε>0驗(yàn)證”存在...”這段話是對(duì)的就可以,而”每個(gè)”又意味著ε>0在驗(yàn)證的過(guò)程中是不變的.第一百六十頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響

如代數(shù)中的“恒等變換”，恒等意味著不變，變換意味著變化。這就是辯證法!其意義之重大已使數(shù)學(xué)與世界觀的核心部分的關(guān)系越來(lái)越緊密，與對(duì)世界本身的看法緊密相連。第一百六十一頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響3、數(shù)學(xué)的純理性是辯證唯物主義認(rèn)識(shí)世界和預(yù)知世界的強(qiáng)大思想。唯物論的觀點(diǎn)已經(jīng)被有意或無(wú)意地曲解了。一個(gè)極端是認(rèn)為認(rèn)識(shí)必定來(lái)源于物質(zhì)世界而且必定直接來(lái)自于物質(zhì)世界；另一個(gè)極端是沒(méi)有實(shí)踐基礎(chǔ)就要求人民解決思想問(wèn)題，認(rèn)為解決思想認(rèn)識(shí)問(wèn)題就解決了一切。數(shù)學(xué)科學(xué)的事實(shí)與發(fā)展排除了這兩種極端。第一百六十二頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響經(jīng)典數(shù)學(xué)：數(shù)與形（物質(zhì)世界）近代數(shù)學(xué)：物質(zhì)世界（工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)......）理性思維：公理化體系（歐氏幾何）產(chǎn)生了新幾何；解析幾何；各數(shù)學(xué)分支的建立。走向高度思維。高度思維在某個(gè)時(shí)候又走到現(xiàn)實(shí)生活中來(lái)，更是唯物主義的體現(xiàn)。符合黑格爾所說(shuō)被列寧所贊賞的“自己運(yùn)動(dòng)”的意義。第一百六十三頁(yè)，共一百七十八頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)對(duì)世界觀的影響海王星的發(fā)現(xiàn)是由數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的。這是數(shù)學(xué)理性的一大勝利。1871年英國(guó)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了天王星，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行有些失常，與計(jì)算結(jié)果不符。問(wèn)題的出現(xiàn)產(chǎn)生兩種猜測(cè)：一是牛頓的萬(wàn)有引力定律有問(wèn)題；一是還有其他因素在發(fā)揮作用（其它星的作用產(chǎn)生了“攝動(dòng)”）。1842年，劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯按照第二種假設(shè)經(jīng)過(guò)由運(yùn)動(dòng)軌道為“圓”到“橢圓”的理性思考，進(jìn)行了大量的復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，于1845