2023年高考數(shù)學專題01函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學案理

專題1函數(shù)的圖象與性質(zhì)【2023年高考考綱解讀】(1)函數(shù)的概念和函數(shù)的根本性質(zhì)是B級要求，是重要題型；(2)指數(shù)與對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點，要求都是B級；(3)冪函數(shù)是A級要求，不是熱點題型，但要了解冪函數(shù)的概念以及簡單冪函數(shù)的性質(zhì)。【重點、難點剖析】1．函數(shù)及其圖象(1)定義域、值域和對應關系是確定函數(shù)的三要素，是一個整體，研究函數(shù)問題時務必須“定義域優(yōu)先〞．(2)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種根本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對稱變換．2．函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．證明函數(shù)的單調(diào)性時，標準步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結論．復合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減〞的原那么；(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，在關于坐標原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；(3)周期性：周期性也是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．假設函數(shù)滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，那么其周期T＝ka(k∈Z)的絕對值．3．求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于或能判斷單調(diào)性的函數(shù)；(2)圖象法：適合于或易作出圖象的函數(shù)；(3)根本不等式法：特別適合于分式結構或兩元的函數(shù)；(4)導數(shù)法：適合于可求導數(shù)的函數(shù)．4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1和a>1兩種情況，著重關注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)；(2)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)α>0和α<0兩種情況．5．函數(shù)圖象的應用函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關系的主要表現(xiàn)形式，它們的實質(zhì)是相同的，在解題時經(jīng)常要互相轉(zhuǎn)化．在解決函數(shù)問題時，尤其是較為繁瑣的(如分類討論，求參數(shù)的取值范圍等)問題時，要注意充分發(fā)揮圖象的直觀作用.高考題型1、函數(shù)的性質(zhì)及其應用【例1】【2023北京，理5】函數(shù)，那么〔A〕是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) 〔B〕是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)〔C〕是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 〔D〕是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù)，應選A.【舉一反三】【2023年高考四川理數(shù)】函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，，那么=.【答案】-2【舉一反三】(1)(2023·重慶卷)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋3，x≤0.))假設f(a)＋f(1)＝0，那么實數(shù)a的值為()A．－3B．－1或3C．1D．－3或1(1)答案：D解析：要使函數(shù)有意義，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函數(shù)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f(1)＝lg1＝0，所以f(a)＝0.當a>0時，那么lga＝0，a＝1；當a≤0時，那么a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.【變式探究】(1)(2023·江西)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為()A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2023·浙江)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0.))假設f(f(a))≤2，那么實數(shù)a的取值范圍是________．【命題意圖】(1)此題主要考查函數(shù)的定義域求法以及不等式的解法．通過定義域的求法考查考生的運算求解能力及轉(zhuǎn)化意識．(2)此題主要考查分段函數(shù)和不等式恒成立問題，可結合函數(shù)圖象進行分析求解．【方法技巧】1．函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域的主要依據(jù)有：(1)分式中分母不為零；(2)偶次方根下的被開方數(shù)大于或等于零；(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的真數(shù)x＞0；(4)零次冪的底數(shù)不為零；(5)正切函數(shù)y＝tanx中，x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．如果f(x)是由幾局部的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)的定義域是使各局部式子都有意義的自變量的集合．根據(jù)函數(shù)求定義域時：(1)假設函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)假設函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，那么f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．2．函數(shù)的值域是由函數(shù)的對應關系和函數(shù)的定義域所唯一確定的，具有相同對應關系的函數(shù)如果定義域不同，函數(shù)的值域也可能不相同．函數(shù)的值域是在函數(shù)的定義域上求出的，求解函數(shù)的值域時一定要與函數(shù)的定義域聯(lián)系起來，從函數(shù)的對應關系和定義域的整體上處理函數(shù)的值域．題型2、函數(shù)的圖象及其應用【例2】【2023高考新課標1卷】函數(shù)在的圖像大致為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【感悟提升】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷類試題的根本方法．(2)研究函數(shù)時，注意結合圖象，在解方程和不等式等問題時，借助圖象能起到十分快捷的作用．【舉一反三】(1)(2023·四川卷)函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的圖象大致是()(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如下圖，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，那么n的取值范圍是()A.{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}(1)答案：C解析：由3x－1≠0?x≠0，排除A；又∵x<0時，3x－1<0，x3<0，∴y＝eq\f(x3,3x－1)>0，故排除B；又y′＝eq\f(x2[3x3－xln3－3],3x－12)，當3－xln3<0時，x>eq\f(3,ln3)>0，y′<0，所以D不符合．應選C.(2)答案：B解析：eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx1－0,x1－0)表示(x1，f(x1))與原點連線的斜率；eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))與原點連線的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲線圖象上，故只需考慮經(jīng)過原點的直線與曲線的交點個數(shù)有幾種情況．如下圖，數(shù)形結合可得，有2,3,4三種情況，應選B.【變式探究】(1)假設函數(shù)f(x)＝(k－1)·ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，那么g(x)＝loga(x－k)的圖象是()(2)(2023·山東)函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.假設方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，那么實數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2)D．(2，＋∞)【命題意圖】(1)此題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的概念以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象．(2)此題主要考查方程的根與函數(shù)的零點，意在考查考生的數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力．【方法技巧】1．關于判斷函數(shù)圖象的解題思路(1)確定定義域；(2)與解析式結合研究單調(diào)性、奇偶性；(3)觀察特殊值．2．關于函數(shù)圖象應用的解題思路主要有以下兩點(1)方程f(x)＝g(x)解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)交點的個數(shù)；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集為函數(shù)y＝f(x)位于y＝g(x)圖象上方(下方)的那局部點的橫坐標的取值范圍．題型3、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例3、【2023山東，理10】當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，那么正實數(shù)的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】當時，，單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需選B.【變式探究】【2023天津，理6】奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.假設，，，那么a，b，c的大小關系為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，，又，那么，所以即，，所以，應選C．【舉一反三】【2023年高考北京理數(shù)】設函數(shù).①假設，那么的最大值為______________；②假設無最大值，那么實數(shù)的取值范圍是________.【答案】，.【感悟提升】(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法及其運算能力．(2)比擬數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性．【舉一反三】(2023·全國卷Ⅰ)假設函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，那么a＝________.答案：1解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r(a＋x2))－xln(x＋eq\r(a＋x2))＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴l(xiāng)na＝0，即a＝1.【變式探究】(1)(2023·湖南)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，那么f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)(2023·湖北)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．假設?x∈R，f(x－1)≤f(x)，那么實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))【命題意圖】(1)此題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性和求函數(shù)的值，意在考查考生的轉(zhuǎn)化思想和方程思想．求解此題的關鍵是用“－x〞代替“x〞，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.(2)此題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)以及函數(shù)的最值與恒成立問題，意在考查考生應用數(shù)形結合思想，綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)用“－x〞代替“x〞，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化簡得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，應選C.(2)當x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，0≤x≤a2，,－a2，a2<x≤2a2，,x－3a2，x>2a2，))又f(x)為奇函數(shù)，可得f(x)的圖象如下圖，由圖象可得，當x≤2a2時，f(x)max＝a2，當x>2a2時，令x－3