2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷分項（第02期）專題06數(shù)列、不等式

專題數(shù)列、不等式一、選擇題1．【2023湖南株洲兩校聯(lián)考】等差數(shù)列{an}中，a3，a7是函數(shù)f〔x〕=x2﹣4x+3的兩個零點，那么{an}的前9項和等于〔〕A.﹣18B.9C.18D.36【答案】C2．【2023陜西西安五中聯(lián)考】等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，假設(shè)，為數(shù)列的前項和，那么的最小值為〔〕A.3B.4C.D.【答案】B【解析】成等比數(shù)列，解得d=2．當(dāng)且僅當(dāng)時即時取等號，且取到最小值4，應(yīng)選：A．【點睛】此題考查了等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，等比中項的性質(zhì)，根本不等式求最值的知識，解題的關(guān)鍵是利用別離常數(shù)法化簡式子，湊出積為定值．3．【2023東北名校聯(lián)考】中國古代數(shù)學(xué)著作?算法統(tǒng)宗?中有這樣一個問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見末日行里數(shù)，請公子仔細算相還.〞其意思為：“有一個人走了里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的的路程且前一天的一半，走了天后到達目的地，請問題第六天走了〞〔〕A.里B.里C.里D.里【答案】D【解析】由題知每天所走路程形成以為首項，公比為的等比數(shù)列，且前六項的和為，那么，解得，那么，即第六天走了里．故此題答案選．4．【2023河北邢臺聯(lián)考】表示正整數(shù)的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，那么；21的因數(shù)有1,3,7,21，那么，那么的值為〔〕A.2488B.2495C.2498D.【答案】D選D5．【2023河北衡水武邑調(diào)研】己知數(shù)列與的前項和分別為、，，且，假設(shè)恒成立，那么的最小值是〔〕A.B.C.D.【答案】B，要使恒成立，只需，即的最小值是，應(yīng)選B.【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，一些有關(guān)三角函數(shù)、等比數(shù)列的求和題型，也可以利用裂項相消法求解.6．【2023河北衡水武邑中學(xué)三調(diào)】數(shù)列與的前項和分別為，且,,,假設(shè)恒成立，那么的最小值是()A.B.C.49D.【答案】B【解析】，，兩式子做差得到，故數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式得到，故，故裂項求和得到，由條件恒成立，得到K的最小值為．故答案選B．點睛：此題考查到了通項公式的求法，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，再求出，根據(jù)裂項求和的方法可以求出前n項和。7．【2023南寧摸底聯(lián)考】等差數(shù)列中，，那么的前9項和等于〔〕A.B.27C.18D.【答案】B【解析】由題意可得,選B.8．【2023云南昆明一中摸底】數(shù)列的前項和為，且，，那么數(shù)列中的為〔〕A.B.C.D.【答案】B應(yīng)選B.【方法點晴】此題主要考查等差數(shù)列的定義以及數(shù)列的遞推公式求通項，屬于中檔題.由數(shù)列的遞推公式求通項常用的方法有：累加法、累乘法、構(gòu)造法，數(shù)列前項和與第項關(guān)系，求數(shù)列通項公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項的遞推關(guān)系，假設(shè)滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否那么適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式.在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意的情況.，進而得出的通項公式.9．【2023河南林州一中調(diào)研】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且滿足，，那么，，…，中最大的項為〔〕A.B.C.D.【答案】C考點：等差數(shù)列的性質(zhì).10．【2023河南林州一中調(diào)研】數(shù)列中，對任意正整數(shù)，有，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，那么，，選B.11．【2023河南名校聯(lián)考】公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，那么由得，，即，解得或〔舍去〕，又由得，所以，，應(yīng)選D.12．【2023河北衡水中學(xué)二調(diào)】設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，且，假設(shè)，，那么〔〕A.63或120B.256C.120D.【答案】C13．【2023廣西賀州桂梧聯(lián)考】設(shè)，滿足約束條件那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】直線與的交點為，作出不等式組表示的可行域，由圖可知，的取值范圍為.選B。14．【2023湖南株洲兩校聯(lián)考】在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機地取一點M，那么點M恰好落在第二象限的概率為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為點恰好落在第二象限平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為點恰好落在第二象限的概率為故答案選15．【2023河北衡水武邑中學(xué)三調(diào)】點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，那么最小值為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】16．【2023河南天一聯(lián)考】實數(shù)滿足假設(shè)的最大值為10，那么〔〕A.1B.2C.3D.【答案】B【解析】作可行域，那么直線過點(3,4)時取最大值，由得，選B.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比擬，防止出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.二、填空題17．【2023河南漯河中學(xué)三?！渴嵌x在上的偶函數(shù)，令，假設(shè)是的等差中項，那么__________．【答案】4034故答案為4034．18．【2023北京大興聯(lián)考】數(shù)列滿足，，表示不超過的最大整數(shù)〔如〕，記，數(shù)列的前項和為.①假設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，那么=_____；②假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，那么=_____．【答案】6【解析】①假設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，，那么，所以，那么；故填6.②假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，那么，那么，；故填.【點睛】此題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、二項式定理和新定義型數(shù)列的求解；此題的難點是第二問如何確定數(shù)列的通項公式，采用了二項式展開式，利用二項式的性質(zhì)進行求解，難度較大.19．【2023東北名校聯(lián)考】數(shù)列滿足，那么數(shù)列滿足對任意的，都有，那么數(shù)列的前項和__________．【答案】點睛：利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的根本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法和分組求和法等，此題考查錯位相減法求和..此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.此題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答此題，布列方程組，確定通項公式是根底，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位〞之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).20．【2023南寧摸底聯(lián)考】在等比數(shù)列中，，，那么__________.【答案】1【解析】由題意可得，又，所以，即數(shù)列為常數(shù)列，所以，填1.21．【2023河南名校聯(lián)考】設(shè)等差數(shù)列的前項和，假設(shè)且，那么__________．【答案】22．【2023河南中原名校聯(lián)考】設(shè)，實數(shù)，滿足假設(shè)，那么實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意得可行域所圍成的三角形必在兩平行線和之間，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是，填.三、解答題23．【2023廣西賀州桂梧聯(lián)考】是數(shù)列的前項和，，.〔1〕證明：當(dāng)時，；〔2〕假設(shè)等比數(shù)列的前兩項分別為，，求的前項和.【答案】〔1〕詳見解析〔2〕試題解析：〔1〕證明：當(dāng)時，，∴.〔2〕解：由〔1〕知，，∴的公比，且，∴.24．【2023陜西西安五中二?！繑?shù)列的前項和為，且，.〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】試題分析：〔1〕利用得到，整理的為等比數(shù)列，求出通項公式；〔2〕，利用錯位相減法求和。試題解析：〔1〕∵①，②②-①得，即，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列∴〔2〕由，∴，∴③，左右兩邊乘于2得④，③-④得。∴點睛：求的題，利用公式求通項公式；求和問題涉及到常用的求和方法，此題中考察錯位相減法的應(yīng)用，學(xué)生要對錯位相減法的解題套路要熟悉，正確計算，得到答案。25．【2023河南漯河中學(xué)三?！繑?shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)都有.〔1〕求證：為等比數(shù)列；〔2〕假設(shè)，且，求數(shù)列的前項和.【答案】〔1〕見解析〔2〕試題解析：解：〔1〕證：當(dāng)時，，因為，解得，，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.〔2〕由〔1〕知，時，，所以，所以.點睛：〔1〕公式在常規(guī)數(shù)列題型中的應(yīng)用，解得遞推關(guān)系；〔2〕通過整理，得到，那么求和為裂項相消求和，解得。在數(shù)列的常規(guī)題型中，公式求通項，裂項相消都是常見的考察方式。26．【2023江西宜春昌黎學(xué)校二?！繑?shù)列{an}中，a1＝1，又數(shù)列(n∈N*)是公差為1的等差數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式an；(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.【答案】(1)；(2).由,利用“裂項求和〞即可得出。解析：數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．解得點睛：根據(jù)題目意思先求數(shù)列的通項公式，然后再求數(shù)列的通項公式，遇到通項形如時，運用裂項求和法，求得數(shù)列前項和。27．【2023河北衡水武邑中學(xué)三調(diào)】等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列．〔1〕求的值及數(shù)列的通項公式；〔2〕假設(shè)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)的通項公式為；(2).〔1〕∵成等差數(shù)列，∴，當(dāng)時，,當(dāng)時，，∵是等比數(shù)列，∴,那么，得,∴數(shù)列的通項公式為〔2〕由〔1〕得，那么，①，②①-②得,．∴．點睛：此題考查數(shù)列的通項公式的求法，前n項和與通項的關(guān)系式，求通項；考查數(shù)列的前n項和的求法，錯位相減法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用，準(zhǔn)確計算．28．【2023河南林州一中調(diào)研】數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1=1，公比q＞0，其前n項和為Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列．〔Ⅰ〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，假設(shè)Tn≥m恒成立，求m的最大值．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．〔Ⅱ〕因為恒成立，所以只需即可，由〔Ⅰ〕知，又，所以，利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前項和，通過的正負確定的單調(diào)性，進而求得的最小值，即可求得的最大值．試題解析：〔Ⅰ〕因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，又，所以，所以數(shù)列的通項公式；，所以故所以所以所以所以是遞增數(shù)列所以所以所以的最大值為考點：1．?dāng)?shù)列的通項公式；2．?dāng)?shù)列的求和；3．?dāng)?shù)列的最值．【方法點睛】數(shù)值最值的求解方法如下：1．鄰項比擬法，求數(shù)列的最大值，可通過解不等式組求得的取值范圍；求數(shù)列的最小值，可通過解不等式組求得的取值范圍；2．?dāng)?shù)形結(jié)合，數(shù)列是一特殊的函數(shù)，分析通項公式對應(yīng)函數(shù)的特點，借助函數(shù)的圖像即可求解；3．單調(diào)性法，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，可通過函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，必須注意的是數(shù)列對應(yīng)的是孤立的點，這與連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性有所不同；也可以通過差值的正負確定數(shù)列的單調(diào)性．29．【2023河南林州一中調(diào)研】數(shù)列中，，，記為的前項的和，，．〔1〕判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并求出；〔2〕求.【答案】〔1〕是公比為的等比數(shù)列，；〔2〕.試題解析：〔Ⅰ〕，，，即，所以是公比為的等比數(shù)列．，，〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項，以為公比的等比數(shù)列……10分考點：1．等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；2．?dāng)?shù)列求和．【名師點睛】此題主要考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì)以及等比數(shù)列求和與分組求和，屬中檔題；等比數(shù)列根本量運算問題常見類型及解題策略有：1．化根本量求通項；2．化根本量求特定項；3．化根本量求公比；4．化根本量求和．30．【2023河南林州一中調(diào)研】設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項和,，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)假設(shè)，求和:.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用等比數(shù)列的通項公式等知識求解；(2)依據(jù)題設(shè)運用列項相消求和法探求.．……………5分〔2〕由〔1〕得，由于，，，，．……7分………10分考點：等比數(shù)列的通項公式及前項和公式列項相消求和法等有關(guān)知識和方法的綜合運用．31．【2023江西南昌摸底】數(shù)列的前項和，記.〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕求數(shù)列的前項和.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】試題分析：〔1〕利用，同時驗證時也滿足，可得通項公式；〔2〕利用分組求和及等比數(shù)列前項和公式可求得結(jié)果.點睛：解題中，在利用的同時一定要注意和兩種情況，否那么容易出錯；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法