高一數(shù)學(xué)-平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律2

課題：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）教學(xué)目的：1-掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題；3掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b，作OA=a,OB=b，則zAOB=Q（OWBWn）叫a與b的夾角.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是e，則數(shù)量Ia||bicosO叫a與b的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b=|a||b|cos9,（oweWn）*并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.3．投影”的概念：作圖3．投影”的概念：作圖定義：IbIcosO叫做向量b在a方向上的投影”投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)O為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)O為鈍角時(shí)投影為

負(fù)值；當(dāng)e為直角時(shí)投影為0；當(dāng)e=0。時(shí)投影為Ib|；當(dāng)e=180。時(shí)投影為-ibi+4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a.b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影1bicose的乘積.5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量’—?—?1。e?a=a?e=|aicose；2。a丄boa.b=03。當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=-|a||b|+特別的a?a=|a|2或|a|=?a4°cos4°cose=a?b|a||b|5。|a?b|W|a||b|6．判斷下列各題正確與否：TOC\o"1-5"\h\z1。若a=0，則對(duì)任一向量b，有a?b=0(V)2。若a豐0，則對(duì)任一非零向量b，有a?b0(X)3。若a豐0，a?b=0,則b=0.(X)4。若a?b=0,則a、b至少有一個(gè)為零.(X)—>—*■―*■5。若a豐0，a?b=a?c，則b=c.(x)6。若a?b=a?C,則b=c當(dāng)且僅當(dāng)a豐0時(shí)成立+(X)—?—?—?7。對(duì)任意向量a、b、疋，有(a?b)?C豐a?(b?c卜(X)8。對(duì)任意向量a，有a2=|a|2.(V)二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律—?—?1.交換律：a?b=b?a證：設(shè)a，b夾角為e,則a?b=|a||b|cose，b?a=|b||a|cose

a?b=b?a數(shù)乘結(jié)合律：（九a）?b=九（a?b）=a?（九b）TOC\o"1-5"\h\z—?—?—?—?—?證：若九>0,（xa）?b=九|aiibicose,九（a?b）=九丨aiibbose,a?（xb）—?=xia丨丨bicose,—?—?—?—?若x<0,（xa）?b=ixaiibicos（冗一e）=-Xiaiibi（-cose）=x丨a丨丨bicose,—?—?x（a?b）=xiaiibicose,—?—?—?—?a?（xb）=iaiixbicos（冗一e）=-xiaiibi（-cose）=xiaiibicose.—?—?分配律：（a+b）?c=a?c+b?c]*f]在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作OA=a,AB=b,OC=c,—?r—??/a+b（即ob）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，—?—?即ia+bicose=iaicose+ibicose12—?—?.iciia+bicose=iciiaicose+iciibicose12—?—?—?c?（a+b）=c?a+c?b即:（a+b）?c=a?c+b?c說(shuō)明：（i）一般地，（a?b）c工a（b?c）—>—>―?（2）a?c=b?c,c工0牛a=b（3）有如下常用性質(zhì)：a2=1ai2,—?―?―?—?—?―?（a＋b）（c＋d）=a?c＋a?d＋b?c＋b?d—?—?—?（a＋b）2=a2＋2a?b＋b2三、講解范例：

例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a—5b垂直，a-4b與7a—2b垂直，求a與b的夾角.TOC\o"1-5"\h\z—?—?—?—?解：由(a+3b)(7a—5b)=0n7a2+16a.b—15b2=0①—?—?—?—?(a—4b)(7a—2b)=0n7a2—30a.b+8b2=0②兩式相減：2a?b=b2代入①或②得：a2=b2、一廠，亠一，a?bb21設(shè)a、b的夾角為0,則cos0=———?'?O=60。|a||b|2|b|22例2求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和AC=AB+AD解：如圖：□abcd中，AB=DC,AC=AB+ADA>>>>>>.??|AC|2=|AB+AD|2二AB2+AD2+2AB?AD而BD=AB—AD>>>>>>>.|BD|2=|AB—AD|2二AB2+AD2—2AB?AD?CC>>>>.?.|AC|2+|BD|2=2AB2+2AD2=|AB|2+1BC|2+|DC|2+|AD|2例3四邊形ABCD例3四邊形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，且a?b=b?c=c?d=d?a，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形？分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量?解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋悍矫妫篴+b+c+d=0,a+b=—(c+d),(a+b)2=(c+d)2即Ia〔2+2a?b+|b|2=|c〔2+2c?d+|d|2―*■—>由于a?b=c?d,aI2+Ib丨2=|cI2+Id丨2①同理有丨aI2+Id丨2=|cI2+Ib|2②由①②可得Ia|=|C|,且|b|=|d|即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等????四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由a?bb?c,有b(a—c)=0,而由平行四邊形ABCD可得a=—c，代入上式得b?(2a)=0即a?b=0,?.a丄b也即AB丄BC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形+評(píng)述：⑴在四邊形中，AB,BC,CD,DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即a+b+C+d=0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系”四、課堂練習(xí)：1下列敘述不正確的是()A向量的數(shù)量積滿足交換律B?向量的數(shù)量積滿足分配律C向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律Da?b是一個(gè)實(shí)數(shù)2一已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,貝V(a+2b)?(a-3b)等于()TOC\o"1-5"\h\zA72B-72C36D-36-3-3-3.|a|=3,|b|=4,向量a+才b與a--b的位置關(guān)系為()A+平行B垂直C-夾角為-D不平行也不垂直4已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150°，貝V(a+b)2=.5已知|a1=2,1b|=5,a?b=—3,貝y|a+b|=,|a—b|=+6,設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+Ab與a—Ab垂直，則人=-參考答案：1C2B3+B425—1+2^35、42v'356土5五、小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題六、課后作業(yè)1已知丨a|=i,|b|=J2，且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（）A60°B30°C135°D45°~~?兀~*2已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為-,那么向量m=a-4b的模為（）A2B2t3C6D123已知a、b是非零向量，貝y|a|=|b|是（a+b）與（a-b）垂直的（）A充分但不必要條件B必要但不充分條件C+充要條件D既不充分也不必要條件兀4已知向量a、b的夾角為3，|a|=2,|b|=i,貝y|a+b|?|a-b|=.5已知a+b=2i-8J,a-b=-8i+16J，其中i、J是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a?b=-6已知a丄b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=i,|b1=2,1c1=3,則—?（a+2b-c）2=+7已知丨a|=i,|b|=,（1）若a〃b，求a?b；（2）若a、b的夾角為60°,求Ia+b1；（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角.8設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角?9對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，求使1a+tb1最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角?參考答案：id2B3C4小云5-636117.（1）—<2（2）^32（3）45°8120°990°七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記及備用資料：1常用數(shù)量積運(yùn)算公式：在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和（差）公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛.—?—?—?—?—?—?即（a+b）2=a2+2a?b+b2,（a—b）2=a2—2a?b+b2上述兩公式以及（a+b）（a—b）=a2—b2這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過(guò)程中可以直接應(yīng)用”2.應(yīng)用舉例例1已知丨a1=2,|b1=5,a?b=—3，求丨a+bI,Ia—bI￥解：°.°ia+b丨2=（a+b）2=a2+2a?b+b2=22+2x（—3）+52=23—?I—?—?―?―?,*,|a+b|^\-'23,°.