測量誤差理論與數(shù)據(jù)處理

測量誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一頁，共九十九頁，2022年，8月28日概念：為確定被測對象的量值而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過程。測量第二頁，共九十九頁，2022年，8月28日計(jì)量：為了保證量值的統(tǒng)一和準(zhǔn)確一致的一種測量，具有統(tǒng)一性、準(zhǔn)確性和法制性等三大主要特征。計(jì)量器具：按用途分為計(jì)量基準(zhǔn)、計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和工作用計(jì)量器具三類。計(jì)量基準(zhǔn)：分為國家基準(zhǔn)、副基準(zhǔn)和工業(yè)基準(zhǔn)。計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)：分標(biāo)準(zhǔn)器具和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)兩類。計(jì)量第三頁，共九十九頁，2022年，8月28日電子測量廣義說：凡是利用電子技術(shù)來進(jìn)行的測量都可以說是電子測量。狹義說：是指在電子學(xué)中測量有關(guān)電的量值。通常包括以下幾個方面的內(nèi)容：1、電能量的測量，如電流、電壓、電功率等。2、信號的特性及所受干擾的測量，如信號的波形和失真度、頻率、相位、脈沖參數(shù)、調(diào)制度、信號頻譜、信噪比等。3、元件和電路參數(shù)的測量，如電阻、電感、電容、頻率響應(yīng)、通帶寬度、品質(zhì)因數(shù)、增益等。第四頁，共九十九頁，2022年，8月28日電子測量特點(diǎn)1、測量頻率范圍極寬，低端可測直流，測交流時可低至10-4~10-5Hz，高端可至100GHz左右。2、量程很廣。3、測量準(zhǔn)確度高。4、測量速度快。5、易于實(shí)現(xiàn)遙測和長期不間斷測量，顯示方式可以做到清晰、直觀。6、易于利用計(jì)算機(jī)，形成電子測量與計(jì)算技術(shù)的緊密結(jié)合。第五頁，共九十九頁，2022年，8月28日電子測量的應(yīng)用廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的一切領(lǐng)域：大到天文觀測、宇宙航天，小到物質(zhì)結(jié)構(gòu)、基本粒子；從復(fù)雜深奧生命、細(xì)胞、遺傳問題到日常的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、商業(yè)各部門，都越來越多地采用電子測量和設(shè)備。電子測量技術(shù)的發(fā)展與自然科學(xué)特別是電子技術(shù)的發(fā)展互相促進(jìn)、互相推動。第六頁，共九十九頁，2022年，8月28日本課程的任務(wù)了解電子測量中最基本的測量原理和測量方法；具備一定的測量誤差分析和測量數(shù)據(jù)處理能力；對現(xiàn)代新技術(shù)在電子測量中的應(yīng)用有一定的了解；對頻率、電壓等常用電學(xué)量的計(jì)量方法具備一定的知識。第七頁，共九十九頁，2022年，8月28日第二章測量誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)測量誤差的基本概念第二節(jié)測量誤差的估計(jì)和處理第三節(jié)測量誤差的合成與分配第四節(jié)測量數(shù)據(jù)處理第八頁，共九十九頁，2022年，8月28日第一節(jié)測量誤差的基本概念真值：一個量在被觀測時，該量本身具有的真實(shí)大小稱為真值。一、測量誤差的定義測量誤差：就是測量結(jié)果與被測量真值的差別。通?？煞譃榻^對誤差和相對誤差兩種。二、測量誤差的分類

根據(jù)測量誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)，可將它們分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三大類。三、測量誤差對測量結(jié)果的影響第九頁，共九十九頁，2022年，8月28日絕對誤差：又叫作絕對真誤差，可表示為：

Δx=x–x0

絕對誤差的大小和符號分別表示了給出值偏離真值的程度和方向。實(shí)際值：滿足準(zhǔn)確度要求，用來代替真值使用的量值。修正值C：與絕對誤差大小相等、符號相反的量，即

C=x0–x第十頁，共九十九頁，2022年，8月28日相對誤差：又叫作相對真誤差，它是絕對誤差與真值的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示。即

（Δx／x0）

100%分貝誤差：在電子學(xué)和聲學(xué)中常用分貝來表示相對誤差，叫分貝誤差，它實(shí)質(zhì)上是相對誤差的另一種表示形式。例如某有源網(wǎng)絡(luò)的電壓傳輸函數(shù)為A0，則該傳輸函數(shù)可用分貝表示為

A0[dB]=20lgA0dB

當(dāng)測量中存在誤差時，測得的傳輸函數(shù)偏離A0[dB]一個數(shù)值[dB]，即

A[dB]=A0[dB]+[dB]第十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日分貝誤差[dB]與相對誤差關(guān)系：由A=A0+ΔA可得

A[dB]=20lg（A0+ΔA）dB=20lgA0（1+ΔA／A0

）dB=20lgA0dB+20lg（1+ΔA／A0

）dB=A0[dB]+20lg（1+

）dB與式A[dB]=A0[dB]+[dB]比較，可得分貝誤差為

[dB]=20lg（1+

）dB同理，當(dāng)A為功率傳輸函數(shù)時，有[dB]=10lg（1+

）dB第十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例1]某單級放大器電壓增益的真值A(chǔ)0為100，某次測量時測得的電壓增益A=95，求測量的相對誤差和分貝誤差。

[解]先求得增益的絕對誤差為

ΔA=A–A0=95–100=–5

則相對誤差為=ΔA／A0

=–5／100=–5%

分貝誤差為

[dB]=20lg（1+

）dB=20lg（1–0.05

）dB=–0.446dB第十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日引用相對誤差：又叫滿度相對誤差，即

nΔx／xm常用電工儀表分為±0.1、±0.2、±0.5、±1.0、±1.5、±2.5、±5.0七級，分別表示它們的引用相對誤差所不超過的百分比。

判斷：檢定一個1.5級100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大，為1.4mA，其它刻度處的誤差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？

第十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日實(shí)際測量時如何選取量程？設(shè)某儀表的等級是s級，其滿刻度值為xm

，被測量的真值為x0

，則測量的絕對誤差

Δxxm.s%

可見，儀表等級選定后，測量中絕對誤差的最大值與滿刻度值成正比。測量的相對誤差為

（xm.s%）／x0可見,儀表等級選定后，x0越接近xm，測量中相對誤差的最大值越小，測量越準(zhǔn)確。因此，實(shí)際測量時，在一般情況下應(yīng)使被測量的數(shù)值盡可能在儀表滿刻度的2／3以上。第十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的定義：在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差：不隨某些測量條件而變化的系統(tǒng)誤差。

造成系統(tǒng)誤差的原因很多，常見的有：測量設(shè)備原因（測量設(shè)備的缺陷、測量儀器不準(zhǔn)、測量儀表的安裝、放置和使用不當(dāng)?shù)龋?；測量環(huán)境原因（溫度、濕度、電源電壓變化、周圍電磁場的影響等）；測量方法原因；測量人員的原因（感覺器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、不正確的測量習(xí)慣等）。第十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日電流表電壓表電流表電壓表(A)RR(B)圖2-2測量電阻中的電壓和電流時存在的方法誤差方法誤差舉例第十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差的定義：在實(shí)際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預(yù)定的方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。

造成隨機(jī)誤差的根源：由那些對測量值影響較微小，又互不相關(guān)的多種因素共同造成。如熱騷動、噪聲干擾、電磁場的微變、空氣擾動、大地微振等。

隨機(jī)誤差的特點(diǎn)：1.有界性（多次測量中，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的界限）；2.對稱性（絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相同）；3.抵償性（隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的無限增加而趨近于零）。第十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日粗大誤差

粗大誤差的定義：超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差，又稱寄生誤差。

造成粗大誤差的主要原因：讀數(shù)錯誤、測量方法錯誤、測量儀器有缺陷。粗大誤差明顯地歪曲了測量結(jié)果，對應(yīng)的測量結(jié)果稱為壞值，應(yīng)剔除不用。第十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日測量誤差對測量結(jié)果的影響

1.測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望和方差（1）測量值為離散值時的數(shù)學(xué)期望和方差若測量值X可能的取值數(shù)m為有限個或無窮可數(shù)個離散值，當(dāng)進(jìn)行了足夠多次的測量時，根據(jù)概率論中的貝努力定理可知，事件發(fā)生的頻率ni／n依概率收斂于它的概率Pi，即當(dāng)測量次數(shù)n

∞

時，可以用事件發(fā)生的頻率ni／n代替事件發(fā)生的概率Pi

（i=1~m

）。這時，測量值X的數(shù)學(xué)期望為第二十頁，共九十九頁，2022年，8月28日M（X）=Σ

xiPi=Σxi?ni／n

(當(dāng)n

∞)i=1mi=1m若每個測量值只得到一次，或者對每次測量結(jié)果單獨(dú)統(tǒng)計(jì)，認(rèn)為n次測量得到n個測量值，而不考慮這些結(jié)果中有無相同的情況。當(dāng)測量次數(shù)n

∞

時，用測量值出現(xiàn)的頻率1／n代替概率Pi

，則得到測量值X的數(shù)學(xué)期望為M（X）=——Σ

xi

（當(dāng)n

∞

）n1i=1n可見，測量值的數(shù)學(xué)期望就是當(dāng)測量次數(shù)n

∞

時，它的各次測量值的算術(shù)平均值x。第二十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日測量值的數(shù)學(xué)期望反映了測量值平均的情況。而測量數(shù)據(jù)的離散程度通常用測量值的方差σ2(X)來反映。若離散值可能的取值數(shù)目為m種,當(dāng)測量次數(shù)n

∞

時，第i種取值的概率Pi可用事件發(fā)生的頻率ni／n代替，其中i=1~m

。這時測量值的方差為σ2(X)=Σ[xi–M(X)]2

Pi=Σ[xi–M(X)]2——（當(dāng)n

∞

）i=1i=1mmnni第二十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日若每個測量值只得到一次，或者對每次測量結(jié)果單獨(dú)統(tǒng)計(jì)，認(rèn)為n次測量得到n個測量值，而不考慮這些結(jié)果中有無相同的情況。當(dāng)測量次數(shù)n

∞

時，用測量值出現(xiàn)的頻率1／n代替概率Pi

，則得到測量值X的方差為σ2(X)=——Σ[xi–M(X)]2

（當(dāng)n

∞

）n1i=1n方差的算術(shù)平方根σ(X)叫作標(biāo)準(zhǔn)方差,又叫均方根差。σ(X)越小，測量值越集中，離散程度越小。第二十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日（2）測量值為連續(xù)值時的數(shù)學(xué)期望和方差若測量值的取值在它所在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，則可能取值有無窮多個，對應(yīng)于某個取值的概率趨近于零，故需要用到概率密度。設(shè)測量值X落在區(qū)間(x，x+x)內(nèi)的概率密度為P(x<X<x+x)，當(dāng)x趨近于零時，若P(x<X<x+x)與x之比的極限存在，就把它稱為測量值X在x點(diǎn)的概率密度，記為(x)。(x)=lim——————P(x<X<x+x)xx第二十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日則測量值X的數(shù)學(xué)期望為

M（X）=x

(x)dx–0則測量值X的方差為

σ2(X)=[x–M（X）]2(x)dx–0第二十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日2.測量誤差對測量結(jié)果的影響一般地說,任何一次測量誤差都是由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差共同組成的。在確定條件下，對被測量x的第i次測量的誤差為xi

=xi–x0=i

上式中為系統(tǒng)誤差，在測量條件不變時不變。當(dāng)測量次數(shù)n時，對n次測量結(jié)果取平均值，則

——Σxi

=+——Σi

nn11i=1i=1nn第二十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日由于隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n時，i的平均值等于零。于是

=——Σxi

（當(dāng)n

）nn1i=1將xi

=xi–x0代入上式，則=——Σ（xi–x0）

（當(dāng)n

）

=M（X）–x0由于xi

=xi–x0=i

i

=

xi

–（x0

）

i

=xi–M（X）n1ni=1第二十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日結(jié)論：

1.對于同時存在隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，只要測量次數(shù)足夠多，各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值就等于測量的系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差使測量值的數(shù)學(xué)期望偏離被測量的真值。當(dāng)不存在系統(tǒng)誤差時，測量值的數(shù)學(xué)期望就等于被測量的真值。

3.某次測量的隨機(jī)誤差等于這次測量的測量值與測量值的數(shù)學(xué)期望之差。即隨機(jī)誤差使測量值偏離數(shù)學(xué)期望。下面用圖來表示測量誤差對測量結(jié)果的影響第二十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日

———————————————X[M（X）]=x0ixi不存在系統(tǒng)誤差時

——————————————Xx0ixiM（X）存在隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差時

———————————————Xx0ixiM（X）xk（壞值）三種誤差同時存在時測量誤差對測量結(jié)果的影響第二十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日測量結(jié)果的正確度、精密度和準(zhǔn)確度在剔除粗大誤差后，隨機(jī)誤差可通過多次測量取平均的方法來消除，故系統(tǒng)誤差越小，測量結(jié)果越正確。

正確度：用系統(tǒng)誤差作為衡量測量是否正確的尺度，稱為正確度。即正確度是表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。隨機(jī)誤差的大小可用均方根差σ(X)來衡量，σ(X)越小，測量值越集中。

精密度：用來表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度，簡稱精度。

準(zhǔn)確度：用來表示測量結(jié)果與真值的一致程度，是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合。第三十頁，共九十九頁，2022年，8月28日第二節(jié)測量誤差的估計(jì)和處理一、隨機(jī)誤差的影響及統(tǒng)計(jì)處理二、用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù)三、處理系統(tǒng)誤差的一般方法第三十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日1、測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布由概率論中的中心極限定理可知，只要構(gòu)成隨機(jī)變量總和的各獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)目足夠多，而且每個隨機(jī)變量對總和的影響足夠小，隨機(jī)變量總和的分布規(guī)律就可認(rèn)為是正態(tài)分布。測量中的隨機(jī)誤差通常是多種因素造成的許多微小誤差的總和，因而測量中隨機(jī)誤差的分布及在隨機(jī)誤差影響下測量數(shù)據(jù)的分布大多接近于服從正態(tài)分布。測量隨機(jī)誤差及測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線如下圖所示:一、隨機(jī)誤差的影響及統(tǒng)計(jì)處理第三十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日0()M(X)X(X)0隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布(a)(b)第三十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日結(jié)論：（1）測量值對稱地分布在被測量的數(shù)學(xué)期望兩側(cè)，絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率??；（2）測量數(shù)據(jù)的分散程度可用標(biāo)準(zhǔn)方差來表示；（3）絕對值很大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率趨近于零，即可認(rèn)為測量值有一個實(shí)際界限。第三十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日2、用有限次測量數(shù)據(jù)估計(jì)測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差（1）n次測量值的平均值的性質(zhì)對于某被測量進(jìn)行一系列獨(dú)立的等精密度的測量，從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看，這一系列測量值的分布形狀完全是確定的，即只要測量系統(tǒng)、測量條件和被測量不變，那么這一系列測量就具有相同的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差：

Mx1=Mx2=???=Mxn=MX

x1=x2=???=xn=X

由概率論中有關(guān)定理可知：幾個隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望之和；幾個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個隨機(jī)變量方差之和。故有：第三十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日

M（x）=M（——xi

）

=——M（

xi

）

=——nM（X）

=M（X）n1i=1ni=1nn1n1可見：有限次測量值的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)期望就等于被測量X的數(shù)學(xué)期望。第三十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日這表明：n次測量值平均值的方差為被測量X的方差的1/n；平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為被測量X標(biāo)準(zhǔn)偏差的1/。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是描述大量平均值的離散程度的。如果每個平均值都由n個標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(X)的數(shù)據(jù)平均而成，則n越大，平均值的離散程度越小。這就是用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差影響的理論依據(jù)。n同理易得：

x=——(X)或x=——(X)n11n第三十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日（2）用有限次測量的數(shù)據(jù)來估計(jì)測量值的數(shù)學(xué)期望若用來作為未知參數(shù)x的估計(jì)值，那么如何判斷這種估計(jì)是否恰當(dāng)？最常用的有兩個原則：估計(jì)的一致性及無偏性。x^（a）當(dāng)樣本容量n無限增大時，若估計(jì)值依概率收斂于x，則稱為x的一致估計(jì)值。這種估計(jì)叫一致估計(jì)或協(xié)調(diào)估計(jì)。x^x^x^（b）若估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望等于x，則稱為x的無偏估計(jì)值。這種估計(jì)叫無偏估計(jì)。x^根據(jù)上述原則，可用n次測量值的算術(shù)平均值x來估計(jì)測量值的數(shù)學(xué)期望M（X）。第三十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日（3）用有限次測量的數(shù)據(jù)來估計(jì)測量值的方差這里給出貝塞爾公式：2(X)^n-1=————vi2i=1n(X)^vi2i=1n————n-1=（vi=xi-x）（vi=xi-x）式中vi稱為殘差或剩余誤差。第三十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日3、測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間根據(jù)某種條件下多次測量數(shù)據(jù)的分散情況，知道了這種測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差X，當(dāng)我們測得一個測量值x后，希望根據(jù)這個測量值估計(jì)被測量的數(shù)學(xué)期望在什么范圍？即求數(shù)學(xué)期望可能處于x附近某確定區(qū)間[x-cX,x+cX]內(nèi)的概率是多少，這里c是一個指定系數(shù)。這里，數(shù)學(xué)期望不是隨機(jī)變量，不存在通常意義上的概率問題。上述所說置信問題上的概率稱為置信概率，所對應(yīng)的確定區(qū)間稱為置信區(qū)間。（2）服從正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率一般通過查正態(tài)分布在對稱區(qū)間的積分表的方法求解。第四十頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]已知某被測量的測量值服從正態(tài)分布，測量中系統(tǒng)誤差可以忽略。分別求出置信區(qū)間為真值附近的三個區(qū)間x0(X)，x02(X)，x03(X)時的置信概率。

[解]由于測量的系統(tǒng)誤差可以忽略，則被測量的真值x0就等于數(shù)學(xué)期望M(X)，置信區(qū)間M(X)c(X)分別為x0(X)，x02(X)，x03(X)，則系數(shù)c分別為1、2、3。查表可得置信概率分別為：

P[|x-x0|<(X)]=P[|Z|<1]=68.3%P[|x-x0|<2(X)]=P[|Z|<2]=95.5%P[|x-x0|<3(X)]=P[|Z|<3]=99.73%結(jié)果表明：對于正態(tài)分布的誤差或測量值，不超過3(X)的置信概率為99.73%，因而可認(rèn)為實(shí)際測量值均處于M(X)附近3(X)的范圍內(nèi)。第四十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日二、用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù)在無系統(tǒng)誤差的情況下，由于隨機(jī)誤差的影響，測量數(shù)據(jù)分布在被測量真值附近，而遠(yuǎn)離真值的情況很少。在正態(tài)分布情況下，誤差絕對值超過2.576(X)的概率僅占1%，誤差絕對值超過3(X)的概率僅占0.27%，可見出現(xiàn)大誤差的概率是非常小的。對于誤差絕對值較大的測量數(shù)據(jù)，可列為可疑數(shù)據(jù)。對待可疑數(shù)據(jù)的處理辦法是：（1）通過多次測量或通過對測量條件的分析，檢查這個數(shù)據(jù)的測量中是否有差錯或是否有偶然原因嚴(yán)重影響了測量結(jié)果。（2）當(dāng)從物理或技術(shù)上找原因有困難時，可根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法來處理可疑數(shù)據(jù)。第四十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法處理可疑數(shù)據(jù)的基本思想是：給定一個置信概率，找出相應(yīng)的置信區(qū)間，凡在這個置信區(qū)間以外的數(shù)據(jù)，就列為異常數(shù)據(jù)并予以剔除。例如對正態(tài)分布的測量值，給定置信概率為99%或99.73%等，查表得相應(yīng)系數(shù)c=2.576或c=3等等。在實(shí)際測量中，常用算術(shù)平均值代替真值，用標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值代替標(biāo)準(zhǔn)偏差。凡測量值xi在區(qū)間[x-c

，x+c]以外的，即

|xi-x|>c時，就將數(shù)據(jù)xi剔除不用。

(X)^

(X)^

(X)^

(X)^第四十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日三、處理系統(tǒng)誤差的一般方法1、處理系統(tǒng)誤差應(yīng)注意的幾個方面：（1）設(shè)法檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差是否存在；（2）分析可能造成系統(tǒng)誤差的原因，并在測量之前盡力消除之；（3）在測量過程中盡量采取某些技術(shù)措施，盡力消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；（4）設(shè)法估計(jì)出殘存的系統(tǒng)誤差的數(shù)值或范圍。第四十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日系統(tǒng)誤差恒值系差變值系差線性系差周期性系差不定系差{{2、系統(tǒng)誤差表現(xiàn)形式：第四十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日3、系統(tǒng)誤差的判別最常用的判據(jù)有兩種：馬利科夫判據(jù)和阿卑-赫梅特判據(jù)。（1）馬利科夫判據(jù)——判別線性系差（累進(jìn)性系差）把n次等精密度測量的殘差按測量條件的變化順序排列為v1、v2、???vn，然后把n個殘差分成前后兩部分并求其差值M：

M=vi–vi

（n為偶數(shù)時）

M=vi–vi

（n為奇數(shù)時）i=1n/2n/2+1ni=1(n-1)/2(n+3)/2n當(dāng)測量中含有累進(jìn)性誤差時，則前后兩部分殘差明顯不同，因而M明顯地不為0。通常M的絕對值不小于最大殘差絕對值時就可認(rèn)為有累進(jìn)性誤差。第四十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日（2）阿卑-赫梅特判據(jù)先按順序把殘差兩兩相乘，然后取和的絕對值，并求出測量數(shù)據(jù)的方差（通常用估計(jì)值代替），如果滿足：

|

vivi+1

|

>

σ2(X)則可認(rèn)為測量中存在變值系差。i=1n-1n-1第四十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日4、測量前盡力消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源（1）盡力避免測量儀器產(chǎn)生系統(tǒng)誤差：正確安裝和放置儀器；注意儀器的正確使用條件和方法；定期對儀器進(jìn)行檢定和校準(zhǔn)。（2）盡力消除測量環(huán)境對測量的影響：如溫度、電磁場、振動等。（3）盡力消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差：業(yè)務(wù)技術(shù)水平、工作責(zé)任心、疲勞程度、儀器選用等。第四十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日5、消除或減弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)（1）零示法：目的：消除指示儀表不準(zhǔn)而造成的誤差。方法：使被測量對指示儀表的作用與某已知的標(biāo)準(zhǔn)量對它的作用相互平衡，從而使指示儀表示零，這時被測量就等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量。用零示法測未知電壓第四十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日（2）代替法（置換法）在測量條件不變的情況下，用一個標(biāo)準(zhǔn)已知量去代替被測量，并調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀器的示值不變，則被測量就等于標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值。這種方法的好處是：在代替過程中，儀器的狀態(tài)和示值都不變，那么儀器的誤差和其它造成系統(tǒng)誤差的因素對測量結(jié)果基本上不產(chǎn)生影響。用代替法求未知電阻第五十頁，共九十九頁，2022年，8月28日（3）交換法（對照法）當(dāng)估計(jì)由于某些因素可能使測量結(jié)果產(chǎn)生單一方向的系統(tǒng)誤差時，我們可以進(jìn)行兩次測量：利用交換被測量在測量系統(tǒng)中的位置或測量方向等辦法，設(shè)法使兩次測量中誤差源對被測量的作用相反。對照兩次測量值，可以檢查出系統(tǒng)誤差的存在，對兩次測量值取平均值，將大大削弱系統(tǒng)誤差的影響。（4）微差法零示法要求被測量與標(biāo)準(zhǔn)量完全相同。但在實(shí)際中標(biāo)準(zhǔn)量不一定是連續(xù)可調(diào)的，這時只要標(biāo)準(zhǔn)量與被測量差別較小，也會使儀表誤差對測量的影響大大減弱。第五十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日設(shè)被測量為x，和它相近的標(biāo)準(zhǔn)量為B，被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的微差為A，A的數(shù)值可由指示儀表讀出。則

x=B+AxxBxAx+=BA+BAA

Ax=+由于A<<B，故A+BB，可得測量誤差為：xx=BB+AA

Ax很小很小第五十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日第三節(jié)測量誤差的合成與分配實(shí)際測量中，測量誤差常常是由許多因素產(chǎn)生的；在間接測量中，測量誤差與各個直接測量量有關(guān)。當(dāng)某項(xiàng)誤差與若干分項(xiàng)有關(guān)時，這項(xiàng)誤差稱為總誤差，各分項(xiàng)的誤差都叫分項(xiàng)誤差或部分誤差。測量誤差的合成測量誤差的分配最佳測量方案的選擇第五十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日一、測量誤差的合成（一）誤差傳遞公式總誤差與分項(xiàng)誤差的關(guān)系是各種各樣的，如和差關(guān)系、積商關(guān)系、乘方開方關(guān)系、指數(shù)對數(shù)關(guān)系等。誤差傳遞公式是一個普遍適用的公式，不涉及具體情況。設(shè)某量y由兩個分項(xiàng)x1，x2合成

y=f（x1，x2

）若在y0=f（x10，x20

）附近各階偏導(dǎo)數(shù)存在，則可把y展開成臺勞級數(shù)：第五十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日y=f(x1，x2)=f(x10，x20)+[(x1–x10)+(x2–x20)]+[(x1–x10)2+2(x1–x10)(x2–x20)+(x2–x20)2]+???2fx1x2fx1fx212！2fx122fx22用x1=(x1–x10)及x2=(x2–x20)分別表示x1及x2分項(xiàng)的誤差，由于x1

<<x1

及x2

<<

x2

則臺勞級數(shù)中高階小量可以忽略，總誤差為：y=y–y0=y–f(x10，x20

)=x1

+x2

fx1fx2第五十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日同理，當(dāng)總合y由m個分項(xiàng)合成時，可得

y=xj（絕對誤差傳遞公式）fxjj=1m由此易得，相對誤差傳遞公式為：y=xjlnfxjj=1m第五十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]用間接測量法測電阻消耗的功率，若電阻、電壓和電流的測量相對誤差分別為R/R、V/V和I/I，問所求功率的相對誤差為多少？

[解]

方案1：用公式P=IV

由絕對誤差傳遞公式，有

P=I+V=VI+IV則功率的相對誤差為P=P/P=（VI+IV）/（VI）=I+VPIPV第五十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日方案2：用公式P=V2/R

由絕對誤差傳遞公式，有

P=V+R=2VV/R+V2R/R2則功率的相對誤差為P=P/P=???=2V–RPVPR方案3：用公式P=I2R

由絕對誤差傳遞公式，有

P=I+R=2IRI+I2R則功率的相對誤差為P=P/P=???=2I+RPIPR第五十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日（二）系統(tǒng)誤差的合成當(dāng)測量中各隨機(jī)誤差可以忽略，且各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差為確定性系統(tǒng)誤差時，由誤差傳遞公式容易推得：

y=j即總合的系統(tǒng)誤差可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成。fxjj=1m第五十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日（三）隨機(jī)誤差的合成當(dāng)測量中各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差為零時，忽略非線性關(guān)系的影響，可以認(rèn)為總合也沒有系統(tǒng)誤差，則由誤差傳遞公式容易推得：

y=j當(dāng)測量次數(shù)n時fxjj=1mσ2(X)=—Σ[xi–M(X)]2=—Σi2n1i=1nn1i=1n第六十頁，共九十九頁，2022年，8月28日

σ2(y)=Σ()2σ2(xj)j=1m于是可得方差的合成公式為：fxj注意：上式僅適用于對m項(xiàng)相互獨(dú)立的分項(xiàng)測量結(jié)果進(jìn)行總合。第六十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日（四）不確定度的合成系統(tǒng)不確定度：不能確切掌握的系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度。隨機(jī)不確定度：隨機(jī)誤差總是在一個范圍內(nèi)隨機(jī)變化的，隨機(jī)變化的最大幅度稱為隨機(jī)不確定度，通常以標(biāo)準(zhǔn)偏差的若干倍表示。由于誤差是不確定的，誤差變化的最大幅度也不是絕對不能超過的，而是就一定的置信概率而言的。如置信概率為99%，則從統(tǒng)計(jì)意義來講，誤差的變化范圍有99%的可能不大于不確定度規(guī)定的范圍。第六十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日

1、系統(tǒng)不確定度的合成（1）絕對值合成法從最壞的情況出發(fā)，認(rèn)為m個分項(xiàng)中各分項(xiàng)的不確定度同時取正值或同時取負(fù)值，則總合的不確定度為各分項(xiàng)不確定度絕對值的合成，即y=jfxjj=1m第六十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日實(shí)際上，每一個分項(xiàng)取正或取負(fù)的概率為1/2，故m個相互獨(dú)立的不確定度都取正或都取負(fù)的概率為(1/2)m。當(dāng)m較大時，同號的概率很小。在一般情況下，正負(fù)誤差抵消的結(jié)果，使總合誤差的不確定度小于絕對值合成法的結(jié)果?？梢?，絕對值合成法僅用于估計(jì)分項(xiàng)數(shù)目較少的總合不確定度。第六十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]已知DYC-5超高頻電子管電壓表在測量交流電壓時的技術(shù)指標(biāo)如下：

1）測量電壓范圍：0.1－100V，分五檔，各檔滿度電壓為1，3，10，30，100V；頻率范圍20Hz－300MHz；在環(huán)境溫度（205）C及頻率50Hz時各檔滿度測量基本誤差為2.5%；

2）在0－15C及25－40C附加誤差為2.5%；

3）頻率附加誤差為

20Hz－100MHz3%100－200MHz5%200－300MHz10%

現(xiàn)在欲測量5V、150MHz的高頻電壓，環(huán)境溫度為32C，求測量誤差的不確定度。第六十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[解]已知滿度相對誤差為n=，在測量5V電壓時的滿度電壓為10V，故測量的基本相對誤差的最大值為：V0/V=nVm/V=10/5=

又知頻率附加誤差Vf/V=，溫度附加誤差為Vt/V=，從最不利的情況出發(fā)，認(rèn)為各誤差是同方向相加的，則總合的不確定度為V/V=[|V0/V|+|Vf/V|+|Vt/V|]=[++]=1

顯然，用絕對值合成法求總合的不確定度比較安全，但卻偏于保守。第六十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日（2）均方根合成法當(dāng)分項(xiàng)數(shù)目較多而系統(tǒng)誤差的大小和方向不能確切掌握時，如果能知道各分項(xiàng)的誤差分布形狀和不確定度j，則可對系統(tǒng)誤差定義一個表征項(xiàng)u(xj)u(xj)=j/Kj

式中Kj與誤差的分布形狀有關(guān)（見P78表2-1）。u(xj)與標(biāo)準(zhǔn)偏差類似，但不能因多次測量取平均值而減小。仿照隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)方差合成公式，有

u2(y)=Σ()2u2(xj)j=1mfxj第六十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日最后,根據(jù)總合的分布形狀求出總合的不確定度

y=Kyu(y)=Ky

Σ()2(j/Kj)2

j=1mfxj上式從理論上來說比較嚴(yán)格，但實(shí)用上比較困難，通常有兩種常用方法估計(jì)總合的不確定度：第六十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日第一種方法：假設(shè)Ky=Kj

，則

Σ()2j

2

j=1mfxjy=這種方法中的假設(shè)并不合理（Ky

常常大于Kj

），按此估計(jì)的總合不確定度可能偏小，有一定的冒險，但由于計(jì)算簡便而常用到。第二種方法：對不能確切掌握分布形狀的分項(xiàng)誤差均認(rèn)為是均勻分布，即Kj取3，而總合的分布介于均勻分布與正態(tài)分布之間，即Ky?。?～3），當(dāng)分項(xiàng)數(shù)目較少時，Ky取小些，當(dāng)分項(xiàng)數(shù)目較大時，Ky取大些。第六十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日于是有

y=（３～３）

Σ()2(j/Kj)2

j=1mfxj由于常常并不掌握各分項(xiàng)誤差的變化規(guī)律，因此采用均勻分布來估計(jì)各分項(xiàng)誤差是比較合理的。這種方法的估計(jì)結(jié)果比較接近實(shí)際情況。第七十頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]已知DYC-5超高頻電子管電壓表在測量交流電壓時的技術(shù)指標(biāo)如下：

1）測量電壓范圍：0.1－100V，分五檔，各檔滿度電壓為1，3，10，30，100V；頻率范圍20Hz－300MHz；在環(huán)境溫度（205）C及頻率50Hz時各檔滿度測量基本誤差為2.5%；

2）在0－15C及25－40C附加誤差為2.5%；

3）頻率附加誤差為

20Hz－100MHz3%100－200MHz5%200－300MHz10%

現(xiàn)在欲測量5V、150MHz的高頻電壓，環(huán)境溫度為32C，求測量誤差的不確定度。第七十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[解]用第一種方法：由于

Σ()2j

2

j=1mfxjy=

Σ()2(j/V)2

j=1mfxjV/V==0.052+0.052+0.0252

=7.5%第七十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日用第二種方法：考慮到分項(xiàng)數(shù)目較少，各分項(xiàng)的影響相差不懸殊，取Ky=2，各分項(xiàng)的分布形狀不掌握，按均勻分布取Kj=3，則

Σ()2(

)2

j=13fxjV/V=2j

3V=（2/3

）0.052+0.052+0.0252

=8.7%關(guān)于同時含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差時不確定度的合成以及微小誤差準(zhǔn)則,請同學(xué)們自行閱讀教材。第七十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日二、測量誤差的分配給定總誤差后，如何將這個總誤差分配給各分項(xiàng)，即對各分項(xiàng)誤差應(yīng)提出什么要求，這是一個制定誤差分配方案的問題。下面介紹一些常用的誤差分配原則。（一）等準(zhǔn)確度分配當(dāng)各分項(xiàng)性質(zhì)相同，大小相近時，可把總誤差平均分配給各分項(xiàng)，即

=mx1=x2==xm第七十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日于是由系統(tǒng)誤差合成公式和標(biāo)準(zhǔn)方差合成公式可得：j=————yfxjj=1mxj=——————ymj=1fxj()2第七十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]有一電源變壓器的原邊與兩個副邊的圈數(shù)比為w1:w2:w3=1:2:2，用最大量程為500V的交流電壓表測量兩個副邊總電壓，要求相對誤差小于，問應(yīng)該選哪個級別的電壓表？

[解]由題意可知，兩個副邊的電壓均約為440V，總電壓約為880V，而電壓表最大量程只有500V，因此應(yīng)分別測量兩個副邊的電壓V1和V2，然后相加得副邊總電壓，即V=V1+V2又據(jù)題意知測量允許的最大總誤差為

V=V（）=17.6V第七十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日可以認(rèn)為測量誤差主要是電壓表造成的，而且由于兩項(xiàng)測量的電壓值基本相同，可采用等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差，則Vi=V1=V2=V/2=17.6/2=8.8V用引用相對誤差為n的電壓表測量電壓時，若電壓表的滿度值為Vm，則可能產(chǎn)生的最大絕對誤差應(yīng)小于或等于Vi，即

|Vmax|=|n

Vm|

|

Vi|所以，|

n|

|

Vi

|/Vm=8.8/500=1.66%，可見選用1.5級的電壓表能滿足測量要求。第七十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日（二）等作用分配是指分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上雖然不一定相等，但它們對測量誤差總合的作用是相同的，即——1x1=——2x2=——mxm=

——x1()22x1

——x2()22x2

——xm()22xm==根據(jù)系統(tǒng)誤差合成公式和標(biāo)準(zhǔn)方差合成公式可得:第七十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日j=————

m——

xjyxj=————ym——xj第七十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]通過測電阻上的電壓、電流值間接測電阻上消耗的功率。已測出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW。若要求功率測量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于5mW，問電壓和電流的測量誤差多大時才能保證上述功率誤差的要求？

[解]按題意，功率測量允許的系統(tǒng)誤差為

300mW=15mW

按等作用分配原則，分配給電流測量的系統(tǒng)誤差為I————P2——

IP=————15mW23V=2.5mA第八十頁，共九十九頁，2022年，8月28日同理，分配給電壓測量的系統(tǒng)誤差為V————P2——

VP=————15mW2100mA=75mV下面分配隨機(jī)誤差：I————P2P——I=————5mW2V1.2mA第八十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日V————P2P——V=————5mW2100mA35mV注意：實(shí)際測量中，在按等作用分配原則進(jìn)行誤差分配后，可根據(jù)各分項(xiàng)誤差達(dá)到給定要求的難易程度適當(dāng)進(jìn)行調(diào)節(jié)。第八十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日（三）抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配當(dāng)各分項(xiàng)誤差中第k項(xiàng)誤差特別大，而其它項(xiàng)對總合誤差的影響可以忽略時，只要保證主要項(xiàng)的誤差小于總合的誤差即可。主要誤差項(xiàng)可以是多項(xiàng)，這時可把誤差在這幾個主要誤差項(xiàng)中分配。第八十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日三、最佳測量方案的選擇fxjj=1my=j=minσ2(y)=Σ()2σ2(xj)=minj=1mfxj從誤差的角度來說，最佳測量就是要使誤差的總合最小。最佳測量方案就是要做到：當(dāng)然，選擇測量方案，應(yīng)注意在總合誤差基本相同的情況下，兼顧測量的經(jīng)濟(jì)、簡便等條件。第八十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日第四節(jié)測量數(shù)據(jù)處理測量數(shù)據(jù)處理是建立在誤差分析的基礎(chǔ)上的。在數(shù)據(jù)處理過程中要進(jìn)行去粗取精、去偽存真的工作，并通過分析、整理引出正確的科學(xué)結(jié)論。一、有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則二、非等精度測量與加權(quán)平均第八十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日一、有效數(shù)字及數(shù)字的舍入規(guī)則（一）有效數(shù)字實(shí)際測量或計(jì)算所得的數(shù)據(jù)通常只是一個近似數(shù)，用它來表示一個量時，為了表示得確切，通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半。對于這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù)，從它左邊第一個不為零的數(shù)字起，直到右邊最后一個數(shù)字止，都叫有效數(shù)字。例如：123.08——5位有效數(shù)字

3.10——3位有效數(shù)字

0.0038k——2位有效數(shù)字

3.910105Hz——4位有效數(shù)字第八十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日（二）數(shù)字的舍入規(guī)則目前廣泛采用的舍入規(guī)則是：（1）當(dāng)保留n位有效數(shù)字時，若后面的數(shù)字小于第n位單位數(shù)字的0.5就舍掉；（2）當(dāng)保留n位有效數(shù)字時，若后面的數(shù)字大于第n位單位數(shù)字的0.5，則第n位數(shù)字進(jìn)1；（3）當(dāng)保留n位有效數(shù)字時，若后面的數(shù)字恰為第n位單位數(shù)字的0.5，則第n位數(shù)字為偶數(shù)或零時就舍掉后面的數(shù)字；第n位數(shù)字為奇數(shù)時，第n位數(shù)字加1。第八十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日

[例]將下面的數(shù)字保留3位有效數(shù)字：

45.77,36.251,43.035,38050,47.15

[解]將各數(shù)字列于箭頭左側(cè),保留的有效數(shù)字列于右側(cè):45.7745.836.25136.343.03543.0380503.80104