概率論第二章隨機(jī)變量

概率論第二章隨機(jī)變量第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義1:稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。定義2:設(shè)X是一隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)返回0xX第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日證明：上一頁(yè)下一頁(yè)返回0xX第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回有第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例1：口袋里裝有3個(gè)白球2個(gè)紅球，從中任取三個(gè)球，求取出的三個(gè)球中的白球數(shù)的分布函數(shù)解：設(shè)X表示取出的3個(gè)球中的白球數(shù)。X的可能取值為1，2，3。而且由古典概率可算得上一頁(yè)下一頁(yè)返回第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日于是，X的分布函數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)返回0y1321x第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例2:考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間[0，1]上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)X。那么X是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為X取到[0，1]上任一點(diǎn)的可能性相同。求X的分布函數(shù)。當(dāng)x<0時(shí)解：由幾何概率的計(jì)算不難求出X的分布函數(shù)所以：上一頁(yè)下一頁(yè)返回yx011第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布分布律常用表格形式表示如下：Xx1x2

…xk…pk

p1p2

…pk…

如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為xk(k=1,2,…),事件發(fā)生的概率為pk,即稱為隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。上一頁(yè)下一頁(yè)返回公式形式第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日分布律的兩個(gè)基本要素：分布律的兩條基本性質(zhì)：例3:

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下：試求常數(shù)a.非負(fù)性第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（１）確定常數(shù)a的值;（２）求Ｘ的分布函數(shù)得：解：（１）由分布律的完備性知Ｘ０１２pa上一頁(yè)下一頁(yè)返回第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（2）由分布函數(shù)定義得Ｘ的分布函數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)返回0y1321x5/61/21/21/31/6第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例：已知隨機(jī)變量X分布函數(shù)是求：X的分布律。解：X的所有取值就說(shuō)分布函數(shù)的間斷點(diǎn)1，2，3。X的分布律為：X1230.30.60.1第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日兩點(diǎn)分布若在一次試驗(yàn)中X只可能取x1

或x2

兩值(x1<x2),它的概率分布是則稱X服從兩點(diǎn)分布。當(dāng)規(guī)定x1=0,x2=1時(shí)兩點(diǎn)分布稱為（0－1）分布。簡(jiǎn)記為X~(0-1)分布。X01pk1-pp上一頁(yè)下一頁(yè)返回第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日若離散型隨機(jī)變量X的分布律為二項(xiàng)分布其中0<p<1,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為X~b(n,p)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布化為：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1

在n重貝努里試驗(yàn)中，假設(shè)A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，若以X表示n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)。那么由二項(xiàng)概率公式得X的分布律為：即X服從二項(xiàng)分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即為（0－1）分布上一頁(yè)下一頁(yè)返回第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日令X

=“4次拋擲中擲出5點(diǎn)的次數(shù)”，則4次拋擲中3次擲出5點(diǎn)的概率為：

解：令A(yù)=“擲出5點(diǎn)”，例4：將一枚均勻的骰子擲4次,求3次擲出5點(diǎn)的概率.第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例5：某交互式計(jì)算機(jī)有10個(gè)終端，這些終端被各個(gè)單位獨(dú)立使用，使用率均為0.7，求同時(shí)使用的終端不超過(guò)半數(shù)的概率。在涉及二項(xiàng)分布的概率計(jì)算時(shí)，直接計(jì)算很困難時(shí)，采用了近似計(jì)算。下面給出近似公式：解：設(shè)X表示10個(gè)終端中同時(shí)使用的終端數(shù)，則X~b(10,0.7)。所求的概率為：上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日泊松定理設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是任意整數(shù)，設(shè)npn=λ，則對(duì)任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有證明上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日定理的條件npn=λ，意味著n很大時(shí)候pn必定很小。因此當(dāng)n很大，p很小時(shí)有近似公式其中λ=np。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)時(shí)用（λ=np）作為的近似值效果很好。而當(dāng)時(shí)效果更佳。的值有表可查。從而上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例6：有同類設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已知每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障需要一人去處理，問(wèn)至少需要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率小于0.01？查表可得N+1=9，滿足上式最小的N是8。即：至少需配備8個(gè)工人才能滿足要求。解：設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，依題意知X~b(300,0.01)，若配備N位維修人員，所需解決的問(wèn)題是確定最小的N，使得：P{X>N}<0.01（λ=np=3）上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日泊松(Poisson)分布上式給出的概率滿足：pk=P{X=k}0,且設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2…,而取各值的概率為其中λ>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~()

或X~P()。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回例7：某人騎摩托車上街,出事故的概率為0.01,獨(dú)立重復(fù)上街400次，求出事故至少兩次的概率。

解：400次上街400重Bernoulii實(shí)驗(yàn)記X為出事故的次數(shù)，則所求概率為:另解:第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回例8:(進(jìn)貨問(wèn)題）由某商店過(guò)去的銷售記錄知道，某商品每月的銷售數(shù)可用參數(shù)為λ=5的泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證月底不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)多少臺(tái)？解：設(shè)每月的銷售數(shù)為X，月底進(jìn)N臺(tái)，則即求滿足P(X≤N)>0.95的最小的N由于P(X≤N)=1-P(X>N)，即求查表知：N+1=10,所以Ｎ＝９第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量及其分布（4）若x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則有概率密度f(wàn)(x)具有以下性質(zhì)：定義3:

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(t),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(t)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或分布密度。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日由性質(zhì)（2）知：介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1（見(jiàn)圖1）。由性質(zhì)（3）知：X落在區(qū)間（x1,x2）的概率等于區(qū)間（x1,x2）上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積（見(jiàn)圖2）。由性質(zhì)（4）知：若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，求導(dǎo)得概率密度f(wàn)(x)。圖１圖２上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(1)若X為具有概率密度f(wàn)(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量。則有如果x0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有f(x)在x0處的函數(shù)值f(x0)反映了概率在x0點(diǎn)處的“密集程度”，而不表示X在x0處的概率。設(shè)想一條極細(xì)的無(wú)窮長(zhǎng)的金屬桿，總質(zhì)量為1，概率密度相當(dāng)于各點(diǎn)的質(zhì)量密度。（2）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，由定義知X的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。兩點(diǎn)說(shuō)明第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日然而，事件{X=a}并非不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為1的事件不一定是必然事件。

上一頁(yè)下一頁(yè)返回X取一個(gè)點(diǎn)a的概率為零，事實(shí)上在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間，即有：第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F(x)（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例:(P42)第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例:(P43)第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)，均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為X的分布函數(shù)為：上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)的圖形可用圖示上一頁(yè)下一頁(yè)返回f(x)F(x)第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。指數(shù)分布X的分布函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日f(shuō)(x)和F(x)可用圖形表示上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日指數(shù)函數(shù)具有“無(wú)記憶性”,即：第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日利用可以證明，正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯分布,記為X~N(,2).X的分布函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（1）最大值在x=μ處，最大值為;（3）曲線y=f(x)在處有拐點(diǎn)；正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的幾何特征：（2）曲線y=f(x)關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，于是對(duì)于任意h>0，有（4）當(dāng)時(shí)，曲線y=f(x)以x軸為漸近線上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)固定，改變的值，y=f(x)的圖形沿Ox軸平移而不改變形狀，故又稱為位置參數(shù)。若固定，改變的值，y=f(x)的圖形的形狀隨的增大而變得平坦。越小，X落在附近的概率越大。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)=0，=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(0,1)。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用和表示，即和的圖形如圖所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日定理

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,則~N(0,1)

設(shè)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性知函數(shù)寫不出它的解析表達(dá)式，人們已編制了它的函數(shù)表，可供查用。第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)定理：一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)F(x)可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表達(dá)。若X~,X的分布函數(shù)為因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b(a<b)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例2：設(shè)X~N(0,1),求P{1<X<2},P{}.設(shè)X~N(1.5,4),求P{-1<X<2}.上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例3：某儀器需安裝一個(gè)電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時(shí)即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802)。問(wèn)應(yīng)選擇哪個(gè)廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時(shí)，又如何？解：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和Y，則X~N(1100,502)，Y~N(1150,802).第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日比較兩個(gè)概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品。(1)依題意要比較概率的大小,兩個(gè)概率如下：上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日比較兩個(gè)概率的大小就知應(yīng)選乙廠的產(chǎn)品。(2)依題意要比較概率的大小,兩個(gè)概率如下：上一頁(yè)下一頁(yè)返回第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例:(P48)公交車門的高度是按成年男子與車門碰頭的概率在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高（單位:cm）X~N(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定？查表知:φ(2.33)=0.9901>0.99,所以第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例:(P49)第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日陰影部分面積為第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)Y=g(X)。那么Y也是離散型隨機(jī)變量。設(shè)y=g(x)為一個(gè)通常的連續(xù)函數(shù)，X為定義在概率空間上的隨機(jī)變量，令Y=g(X)，那么Y也是一個(gè)定義在概率空間上的隨機(jī)變量。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)Y=-2X2分布律為Y-18-8-20P0.30.30.30.1例1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-10123P0.20.10.10.30.3求：（1）Y=X-1；(2)Y=-2X2的分布律。

P0.20.10.10.30.3

X-10123

X-1-2-1012-2X2-20-2-8-18解：由X的分布律可得由上表易得Y的分布律（1）Y=X-1的分布律為Y-2-1012P0.20.10.10.30.3上一頁(yè)下一頁(yè)返回第五十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)此類問(wèn)題，先由X的取值xk，（k=1，2…）求出Y=g(X)的取值yk=g（xk），（k=1，2…）；本例（2）中，X的兩個(gè)取值-1和1都對(duì)應(yīng)Y的一個(gè)值-2，這樣：P{Y=-2}=P{X=-1或X=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.1=03如果諸yk各不相同，則由X的分布律P{X=xk

}=pk,k=1，2…，便可得y的分布律：P{Y=yk

}=pk,k=1，2…。如諸yk中有些值相同，則應(yīng)把相同的值合并并將對(duì)應(yīng)的概率加在一起。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第五十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度f(wàn)X(x)。又Y=g(X)，在大部分情況下Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量。為了求出Y的概率密度f(wàn)Y(y)，可以先求出Y的分布函數(shù)FY(y)由FY(y)便可求出Y的概率密度f(wàn)Y(y)=F’Y(y)。計(jì)算的關(guān)鍵是給出上式的積分區(qū)間。即將事件轉(zhuǎn)化為用X表示的事件。其中。這種方法稱之為分布函數(shù)法。上一頁(yè)下一頁(yè)返回第