導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案及說明

導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技術(shù)目標(biāo)：本節(jié)的中心任務(wù)是研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，概念的形成份為三個(gè)層次：(1)通過溫習(xí)舊知“求導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)步驟”和“平均轉(zhuǎn)變率與割線斜率的關(guān)系”，解決了平均轉(zhuǎn)變率的幾何意義后，明確探討導(dǎo)數(shù)的幾何意義能夠依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑。(2)借助兩個(gè)類比的動(dòng)畫，從圓中割線和切線的轉(zhuǎn)變聯(lián)系，推行到一樣曲線頂用割線逼近的方式直觀概念切線。(3)依據(jù)割線與切線的轉(zhuǎn)變聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合探討函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義，使學(xué)生熟悉到導(dǎo)數(shù)f(x0)確實(shí)是函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線的斜率。即：f/x lim'XoXf&o'=曲線在xx處切線的斜率0x0 x 0在此基礎(chǔ)上，通過例題和練習(xí)使學(xué)生學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明實(shí)際生活問題，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的明白得。在學(xué)習(xí)進(jìn)程中感受逼近的思想方式，了解“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方式。進(jìn)程與方式目標(biāo)：(1)學(xué)生通過觀看感知、動(dòng)手探討，培育學(xué)生的動(dòng)手和感知發(fā)覺的能力。(2)學(xué)生通過對(duì)圓的切線和割線聯(lián)系的熟悉，再類比探討一樣曲線的情形，完善對(duì)切線的認(rèn)知，感受逼近的思想，體會(huì)相切是種局部性質(zhì)的本質(zhì)，有助于數(shù)學(xué)思維能力的提高。(3)結(jié)合分層的探討問題和分層練習(xí)，期望各類層次的學(xué)生都能夠憑借自己的能力盡力走在教師的前面，獨(dú)立解決問題和發(fā)覺新知、應(yīng)用新知。情感、態(tài)度、價(jià)值觀：(1)通過在探討進(jìn)程中滲透逼近和以直代曲思想，使學(xué)生了解近似與精準(zhǔn)間的辨證關(guān)系；通過有限來熟悉無窮，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值；(2)在教學(xué)中向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)遇，如：探討活動(dòng)，讓學(xué)生自主探討新知，例題那么采納練在講之前，講在關(guān)鍵處。在活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，增進(jìn)他們真正明白得和把握大體的數(shù)學(xué)知識(shí)技術(shù)、數(shù)學(xué)思想方式，取得普遍的數(shù)學(xué)活動(dòng)體會(huì)，提高綜合能力，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面取得良好的進(jìn)展?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：明白得和把握切線的新概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用于解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方式。難點(diǎn)：發(fā)覺、明白得及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義?！窘虒W(xué)方式】《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念是“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)遇，幫忙他們?cè)谧灾魈接懞秃献鹘涣鞯倪M(jìn)程中真正明白得和把握大體的數(shù)學(xué)知識(shí)和技術(shù)，數(shù)學(xué)思想和方式”。?！緦W(xué)法指導(dǎo)】通過設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的試探問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與探討活動(dòng)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，教師在那個(gè)進(jìn)程中不打斷學(xué)生的思路，學(xué)生能夠依照學(xué)案超前完成活動(dòng)，期望有能力的學(xué)生走在教師的前面，同時(shí)，學(xué)生也能夠依照需要尋求教師和同窗的幫忙，以更好地在課堂上完成學(xué)習(xí)任務(wù)?！緮?shù)學(xué)知識(shí)線索】【教學(xué)進(jìn)程】教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課1.回顧舊知、引出研究的問題：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)在X=X處的導(dǎo)數(shù)f(x°)就是函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)攣化率。那么：問：(1)求導(dǎo)數(shù)f(X0)的步驟有哪幾步？老師引導(dǎo)學(xué)生回憶聯(lián)系本節(jié)課的舊知識(shí)，下面探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成，尋求解決問題的途徑。

生：第一步：求平均變化率包=于(*0+反)一手a(?；Ax Ax第二步：求瞬時(shí)變化率f(x)=lim(。+.”f(*0).0Ax-0 A(即Ax-0，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點(diǎn)導(dǎo)數(shù))?? ???? ??(2)觀察函數(shù)y=f(x)的圖象，平均變化率包=于(*。+用)-小°)在圖形中表Ax Ax示什么？生：平均變化率表示的是割線PPn的斜率.師：這就是平均變化率(孚)的幾何意義，那么瞬時(shí)變化率(lim孚)在圖中又表示A a-0Ax什么呢？今天我們就來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。教師板書，便于學(xué)生數(shù)形結(jié)合探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時(shí)能直接聯(lián)系此知識(shí)。同時(shí)引出本節(jié)課的研究問題一一導(dǎo)數(shù)幾何意義是什么？(復(fù)習(xí)引入用時(shí)約3分鐘)二、引導(dǎo)探究、獲得新知1.動(dòng)畫類比，得到切線的新定義要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即要探究Ax-0，割線的變化趨??????勢(shì)，看下圖。*圓上點(diǎn)A處的切線AT和割線AB,當(dāng)點(diǎn)B從右邊沿著圓逼近點(diǎn)A，然后再從左邊沿著圓逼近點(diǎn)A，即Ax—0,割線AB的變化趨勢(shì)。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系呢？生：先感知后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Ax—0，隨著點(diǎn)B沿著圓逼近點(diǎn)A,割線AB無限趨近于點(diǎn)A處的切線。?把割線逼近切線的結(jié)論從圓推廣到一般曲線，可得：教材上點(diǎn)P(x+Ax,f(x+Ax))沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)P(x,f(x))時(shí)，割線n0 0 0 0PPn的變化趨勢(shì)圖。師：類比，當(dāng)點(diǎn)P(x+Ax,f(x+Ax))沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)n0 0P(x0,f(x0))時(shí)，即Ax—0，研究割線PPn的變化趨勢(shì)。學(xué)生觀察，類比得出一般曲線的切線定義：當(dāng)點(diǎn)P(x+Ax,f(x+Ax))沿著曲線f(x)逼近點(diǎn)P(x,f(x))時(shí)，即n0 0 0 0以求導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)步驟????????為依據(jù)，從平均變化率的???幾何意義入手探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，抓住Ax-0的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題。帶著問題觀察圖形，借助熟悉的圓中的某點(diǎn)處的割線和切線，學(xué)生更易感知當(dāng)Ax-0,割線的變化趨勢(shì)。用逼近的方法體會(huì)割線逼近切線，消除學(xué)生對(duì)極限的神秘感?？隙▽W(xué)生的研究結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生把這種由割線逼近的方法得到切線推廣到一般曲線，并由此得出割線的變化趨勢(shì)，為研究幾何意義做好鋪墊。

A%f0，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線。突破研究的難點(diǎn)：A%f0，割線PPnf點(diǎn)P處的切線那么：A%f0，割線的斜率f？與導(dǎo)數(shù)f(%)又有何關(guān)系呢？02.數(shù)形結(jié)合，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像的變化過程，學(xué)生思考下面的問題，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。【探究一⑷】.已知曲線上兩點(diǎn)P(%0,f(%J),P(%°+A%,f(%°+A%))：(1)根據(jù)切線定義可知：A%f0，割線尸尸趨近于切線PT。那么割線PP的斜率k與切線PT的斜率k又有何關(guān)系？n生：當(dāng)A%f0,則kfk,即k=limkA Af0n(2)對(duì)比“A%f0時(shí)，平均變化率趨近的確定常數(shù)就是瞬時(shí)變化率”，又割線的斜率對(duì)應(yīng)平均變化率，那么切線的斜率對(duì)應(yīng)什么？生：切線的斜率對(duì)應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。.結(jié)合上面的研究過程，你能指出導(dǎo)數(shù)f'(%。)的幾何意義嗎？生：函數(shù)f(%)在%=%0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率k，即：k二lim于(，0+A%)一f(%0)=f，(%)a%f0 A% 0【探究一⑻】兩點(diǎn)P(%0,f(%0)),P(%0+A%,f(%0+A%))，求：(1)結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)，割線PP的斜率k可表示為什么？n n生k-f(%0+A%1f(%0)n A%(2)結(jié)合A%f0，割線PP一切線PT,則切線PT的斜率k可表n示為什么？生：k-lim于(%0+A%1f(%0)A%f0 A%2.你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？生：函數(shù)f(%)在%-%0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率k,即：k-limf(%0+A%1f(%0)-f，(%)a%f0 A% 0類比兩個(gè)動(dòng)畫，探索一般曲線中的切線定義，讓不同程度的學(xué)生都能借助直觀的圖象感知和發(fā)現(xiàn)，得出：A%f0,割線逼近該點(diǎn)處的切通過兩個(gè)思考問題：(1)先解決割線斜率與切線斜率的關(guān)系，(2)再對(duì)照平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系，自然得出切線的斜率對(duì)應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)。(A)組題要求學(xué)生結(jié)合圖形直觀感知，找到聯(lián)系得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。增加了鋪墊問題為學(xué)生引導(dǎo)思路。便于學(xué)生較好地完成探索活動(dòng)，主動(dòng)獲得知識(shí)。優(yōu)生可以選擇(B)組題，感知聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究數(shù)值表示。從直觀感知到數(shù)式研究相對(duì)照，有利于大多數(shù)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，進(jìn)而得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。要求學(xué)生善于歸納和

3.在上面的研究過程中，某點(diǎn)處的割線斜率與切線斜率與某點(diǎn)附近的平均變化率和瞬時(shí)變化率有何聯(lián)系？生：平均變化率一，°＞瞬時(shí)變化率割線的斜率&x＞。＞切線的斜率總結(jié)并深入體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系。四、知識(shí)應(yīng)用、鞏固理解例題變式1：函數(shù)y=3x+2上有一點(diǎn)(x0,j0)，求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)，并由此解釋函數(shù)的增減情況。解：八七)二lim八x'-0)0△x-0 AX「3(x+Ax)+2-(3x+2)0二lim 0 0 二3Axt0 Ax函數(shù)在定義域上任意點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率都是3,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。(此時(shí)任意點(diǎn)處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)例題變式2：突破導(dǎo)數(shù)的幾何意義這個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)。通過將曲線一點(diǎn)處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現(xiàn)“以直代曲”思想。滲透用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)的增減性六、歸納總結(jié)、深化認(rèn)識(shí)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和方法？學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)：(回顧學(xué)習(xí)的兩個(gè)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法)(1)切線的定義：當(dāng)點(diǎn)P(x+Ax,f(x+Ax))沿著曲線f(x)逼近點(diǎn)P(x,f(x))n0 0