知識講解-《平面向量》全章復習與鞏固-提高

-.z."平面向量"全章復習與穩(wěn)固編稿：*永釗審稿：王靜偉【學習目標】1.平面向量的實際背景及根本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；2.向量的線性運算〔1〕通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；〔2〕通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；〔3〕了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的根本定理及坐標表示〔1〕了解平面向量的根本定理及其意義；〔2〕掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；〔3〕會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；〔4〕理解用坐標表示的平面向量共線的條件.4.平面向量的數(shù)量積〔1〕通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；〔2〕體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；〔3〕掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進展平面向量數(shù)量積的運算；〔4〕能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應用經(jīng)歷用向量方法解決*些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，開展運算能力和解決實際問題的能力.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一：向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如等.(2)幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如，等.(3)坐標表示法：在平面直角坐標系中，設(shè)向量的起點為在坐標原點，終點A坐標為，則稱為的坐標，記為=.3.相等向量：長度相等且方向一樣的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向量與相等，記為.4.零向量：長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個，其方向是任意的.5.單位向量：長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量：方向一樣或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.7.相反向量：長度相等且方向相反的向量.要點二、向量的運算1.運算定義運算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+==記=(*1，y1)，=(*2，y2)則=(*1+*2，y1+y2)=(*2-*1，y2-y1)+=實數(shù)與向量的乘積記=(*，y)則兩個向量的數(shù)量積記則=*1*2+y1y22.運算律加法：①(交換律)；②(結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：①；②；③兩個向量的數(shù)量積：①·=·；②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·3.運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量根本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合.①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.③當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量根本定理實際上是平面向量坐標表示的根底.向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即假設(shè)A(*，y)，則=(*，y)；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即假設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，則=(*2-*1，y2-y1)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設(shè)非零向量，則∥(*1，y1)=(*2，y2)，或*1y2-*2y1=0.(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設(shè)非零向量，則(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：①即(求線段的長度)；②(垂直的判斷)；③(求角度).要點詮釋：1.向量的線性運算(1)在正確掌握向量加法減法運算法則的根底上能結(jié)合圖形進展向量的計算，將數(shù)和形有機結(jié)合，并能利用向量運算完成簡單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問題，減法的三角形法則應記?。哼B接兩端(兩向量的終點)，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運用的前提.2.共線向量與三點共線問題向量共線的充要條件實質(zhì)上是由實數(shù)與向量的積得到的.通常用來判斷三點在同一條直線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題.(1)用向量證明幾何問題的一般思路：先選擇一組基底，并運用平面向量根本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來證明.(2)向量在幾何中的應用：①證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件(*1，y1)=(*2，y2)②證明垂直問題，常用垂直的充要條件③求夾角問題，利用④求線段的長度，可以利用或【典型例題】類型一：平面向量的概念例1.給出以下命題：①假設(shè)||=||，則=；②假設(shè)A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③假設(shè)=，=，則=；④=的充要條件是||=||且//；⑤假設(shè)//，//，則//；其中正確的序號是.(2)設(shè)為單位向量，(1)假設(shè)為平面內(nèi)的*個向量，則；(2)假設(shè)與平行，則；(3)假設(shè)與平行且，則.上述命題中，假命題個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D【思路點撥】利用平面向量的相關(guān)根本概念和根本知識進展判斷。【解析】(1)①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定一樣；②正確；∵，∴且，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，則且，因此，.③正確；∵=，∴，的長度相等且方向一樣；又=，∴，的長度相等且方向一樣，∴，的長度相等且方向一樣，故=.④不正確；當//且方向相反時，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件；⑤不正確；考慮=這種特殊情況；綜上所述，正確命題的序號是②③.(2)向量是既有大小又有方向的量，與模一樣，但方向不一定一樣，故(1)是假命題；假設(shè)與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時，故(2)、(3)也是假命題.綜上所述，答案選D.【總結(jié)升華】本例主要復習向量的根本概念.向量的根本概念較多，因而容易遺忘.為此，復習時一方面要構(gòu)建良好的知識構(gòu)造，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進展類比和聯(lián)想.向量的概念較多，且容易混淆，故在學習中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念.舉一反三：【變式】判斷以下各命題正確與否：(1)；(2)；(3)假設(shè)，則；(4)假設(shè)，則當且僅當時成立；(5)對任意向量都成立；(6)對任意向量，有.【解析】(1)錯；(2)對；(3)錯；(4)錯；(5)錯；(6)對.【總結(jié)升華】通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別與聯(lián)系，重點清楚為零向量，而為零.類型二：平面向量的運算法則例2.如下圖，正六邊形ABCDEF，O是它的中心，假設(shè)=，=，試用，將向量，，，表示出來.【思路點撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可.【解析】因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以，=＋，==+，由于A，B，O，F(xiàn)四點也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=＋=+=++=2+，同樣在平行四邊形BCDO中，===＋(＋)=＋2，==-.【總結(jié)升華】其實在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用，表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為，，另外任取兩點為起點和終點，也可用，表示.舉一反三：【變式1】設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：①，②，③.【解析】①原式=；②原式=；③原式=.【變式2】設(shè)為未知向量，、為向量，解方程2(5+34)+3=0【解析】原方程可化為：(23)+(5+)+(43)=0，∴=+.【總結(jié)升華】平面向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運算法則，求解時兼顧到向量的性質(zhì).類型三：平面向量的坐標及運算例3.點，試用向量方法求直線和(為坐標原點)交點的坐標.【解析】設(shè)，則因為是與的交點，所以在直線上，也在直線上.即得，由點得，.得方程組，解之得.故直線與的交點的坐標為.例4.，，，按以下條件**數(shù)的值.(1)；(2)；.【解析】(1)；(2)；.【總結(jié)升華】此例展示了向量在坐標形式下的平行、垂直、模的根本運算.舉一反三：【變式】平面內(nèi)給定三個向量，答復以下問題：(1)求滿足的實數(shù)m，n；(2)假設(shè)，**數(shù)k；(3)假設(shè)滿足，且，求.【解析】(1)由題意得，所以，得.(2)，；(3)由題意得，得或.例5.(1)求；(2)當為何實數(shù)時，與平行，平行時它們是同向還是反向？【解析】(1)因為所以，則(2)，因為與平行，所以即得.此時，，則，即此時向量與方向相反.【總結(jié)升華】上面兩個例子重點解析了平面向量的性質(zhì)在坐標運算中的表達，重點掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法.舉一反三：【變式】=(3，4)，=(4，3)，求*，y的值使(*+y)⊥，且｜*+y｜=1.【解析】由=(3，4)，=(4，3)，有*+y=(3*+4y，4*+3y)；又(*+y)⊥(*+y)·=０3(3*+4y)+4(4*+3y)=0；即25*+24y=０①；又｜*+y｜=1｜*+y｜２=１；(３*+4y)２＋(４*+3y)２=１；整理得25*２＋48*y+25y２=１即*(25*+24y)+24*y+25y２=１②；由①②有24*y+25y２=１③；將①變形代入③可得：y=±；再代回①得：.【總結(jié)升華】這里兩個條件互相制約，注意表達方程組思想.類型四：平面向量的夾角問題例6.||=1，||=2，=+，且⊥，則向量與的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】設(shè)所求兩向量的夾角為，，即：所以【總結(jié)升華】解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標形式的運算.向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑.對于這個公式的變形應用應該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握.舉一反三：【變式】與向量的夾角相等，且模為1的向量是()(A)(B)或(C)(D)或【解析】設(shè)所求平面向量為，由或時，當時，；當時，故平面向量與向量的夾角相等.應選B.例7.設(shè)向量與的夾角為，且，則=_____.【思路點撥】此題主要考察平面向量的坐標運算和平面向量的數(shù)量積，以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.【解析】設(shè)，由得，故填.例8.兩單位向量與的夾角為，假設(shè)，試求與的夾角.【解析】由題意，，且與的夾角為，所以，，，，同理可得.而，設(shè)為與的夾角，則.例9.、都是非零向量，且+3與垂直，與垂直，求與的夾角θ?！舅悸伏c撥】把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0聯(lián)立求與的關(guān)系應用夾角公式求結(jié)果?！窘馕觥坷?0.向量，〔1〕求證：;〔2〕假設(shè)存在不等于0的實數(shù)k和t，使?jié)M足試求此時的最小值?！舅悸伏c撥】〔1〕可通過求證明;〔2〕由得，即求出關(guān)于k，t的一個方程，從而求出的代數(shù)表達式，消去一個量k，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值?！窘馕觥俊?〕〔2〕由得，即舉一反三：【變式】，其中.(1)求證：與互相垂直；(2)假設(shè)與()的長度相等，求.【解析】(1)因為所以與互相垂直.(2)，，所以，，因為，所以，有，因為，故，又因為，所以.【總結(jié)升華】平面向量與三角函數(shù)在"角〞之間存在著密切的聯(lián)系.如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性.假設(shè)根據(jù)所給的三角式的構(gòu)造及向量間的相互關(guān)系進展處理.可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度.類型五：平面向量綜合問題例11.向量與的對應關(guān)系用表示.(1)證明：對于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；(2)設(shè)，求向量及的坐標；(3)求使，(p，q為常數(shù))的向量的坐標.【解析】(1)設(shè)，則，故，∴(2)由得=(1，1)，=(0，-1)(3)設(shè)=(*，y)，則，∴y=p，*=2p-q，即=(2p-q，p).例12.求證：起點一樣的三個非零向量，，3-2的終點在同一條直線上.證明：設(shè)起點為O，=，=，=3-2，則=2(-)，=-，，∵共線且有公共點A，因此，A，B，C三點共線，即向量，，3-2的終點在同一直線上.【總結(jié)升華】(1)利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩個向量有公共點；(2)用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩向量無公共點.例13..【思路點撥】，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式.【證明】設(shè)則.【總結(jié)升華】在向量這局部內(nèi)容的學習過程中，我們接觸了不少含不等式構(gòu)造的式子，如等.例14.=(cos*+sin*,sin*),=(cos*-sin*,2cos*).〔1〕記f(*)=·,假設(shè)*∈［0,］，求f(*)的值域；〔2〕求證：向量與向量不可能平行.【解析】〔1〕f(*)==(cos*+sin*)(cos*-sin*)+2sin*cos*=cos2*-sin2*+sin2*=cos2*+sin2*又∴f(*)的值域為［-1，］.〔2