2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第13講 橢圓中的垂直問題、垂直弦問題

2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第13講橢圓中的垂直問題一、問題綜述 1.橢圓中的垂直問題主要有以下幾類： （1）是橢圓上的兩個動點，且滿足，即橢圓的正交中心角問題，此時有,中心到直線的距離為定值,且； （2）橢圓的正交焦點弦問題，即經(jīng)過橢圓的焦點有兩條直線互相垂直，分別交橢圓于和，則； （3）經(jīng)過非焦點的兩條弦互相垂直問題. 2.橢圓中的垂直問題的主要策略： （1）利用斜率之積等于,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量數(shù)量積等于0. 3.幾類與垂直相關(guān)或可利用與垂直類似的方法的問題： （1）形如“以為直徑的圓過原點”，則； （2）形如“橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱”，則直線與直線垂直； （3）形如“直線與橢圓交于兩點，為銳角”，則. 4.在處理橢圓垂直弦問題時，強化對稱意識，可減少運算.二、典例分析類型1：橢圓中的正交中心角問題例1.在中心為的橢圓上任取兩點，使，求證：（1）;（2）中心到直線的距離是否為定值？證明：設(shè)直線的斜率為①當(dāng)存在時，且.設(shè)，則的方程分別為：，，由方程組得，同理＝，所以.②當(dāng)不存在時，，滿足.③當(dāng)時，，滿足.所以成立.（2）因為,顯然是一個定值.例2.(2019年山東理T22)設(shè)橢圓過兩點，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在說明理由.解析:（1）因為橢圓過兩點,所以解得所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且,設(shè)該圓的切線方程為,解方程組得,即,則,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足.綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且.因為,所以,,①當(dāng)時因為所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.當(dāng)時,.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r,兩個交點為或,所以此時,綜上,的取值范圍為即:.類型2：橢圓中的正交焦點弦問題例3.過橢圓的一個焦點作兩條互相垂直的弦分別交橢圓于和，求證：.證明：設(shè)，方程為，則方程為由方程組得，所以所以所以，同理，所以.例4.(2007年全國Ⅰ理T21)已知橢圓的左、右焦點分別為,.過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為.（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，證明：；（2）求四邊形的面積的最小值.解析：（1）橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，．（2）（?。┊?dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．設(shè)，，則，；因為與相交于點，且的斜率為，所以，．四邊形的面積．當(dāng)時，上式取等號．（ⅱ）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積．綜上，四邊形的面積的最小值為.類型3：橢圓中的垂直弦問題例5.(2014年浙江理T21)如圖，設(shè)橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限.（1）已知直線的斜率為，用表示點的坐標(biāo)；（2）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為.解析：（1）設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，解得點的坐標(biāo)為，由點在第一象限，故點的坐標(biāo)為.（2）由于直線過原點，且與垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以點到直線的距離的最大值為.例6.(2013年浙江理T21)如圖，點是橢圓：的一個頂點，的長軸是圓：的直徑，，是過點P且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點，交橢圓于另一點.（1）求橢圓的方程；（2）求面積取最大值時直線的方程.解析：（1）由題意得，，，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)，，,由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為.又圓：，故點到直線的距離，所以，又，故直線的方程為，由，消去，整理得，故，所以，設(shè)面積為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。所以所求直線的方程為.類型4：橢圓中的對稱問題例7.(2015年浙江理T19)已知橢圓上兩個不同的點關(guān)于直線對稱.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點）.解析：（1）由題意知，可設(shè)直線的方程為，由，消去，得，∵直線與橢圓由兩個不同的交點，∴，①，將中點代入直線方程，解得，②，由①②得或.（2）令，則，且到直線的距離為，設(shè)的面積為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最大值為.類型5：可轉(zhuǎn)化為垂直的問題例8.(2007年山東理)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．解析：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）設(shè)． 聯(lián)立得 ，則 又． 因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，即． ． ． ． 解得：，且均滿足． 當(dāng)時，的方程，直線過點，與已知矛盾； 當(dāng)時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標(biāo)為．類型6：銳角（或鈍角）問題例9.(2007年四川理)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍.解析:（2）顯然不滿足題設(shè)條件．可設(shè)的方程為，設(shè)，．聯(lián)立∴，由得．①又為銳角，∴又∴∴．②綜①②可知，∴的取值范圍是.三、鞏固練習(xí)1．（08廣州一模）已知曲線上任意一點到兩個定點和的距離之和為4．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過的直線與曲線交于、兩點，且（為坐標(biāo)原點），求直線的方程.解析：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓，其中，，則．所以動點M的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，∵，∴．∵，，∴．∴．…………①由方程組得．則，，代入①，得．即，解得或．所以，直線的方程是或．2．(08遼寧)在平面直角坐標(biāo)系中,點到兩點的距離之和等于4.設(shè)點的軌跡為.（1）寫出的方程；（2）設(shè)直線y=kx+1與交于兩點.為何值時？此時的值是多少？解析：（1）設(shè)，由橢圓定義可知，點的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線的方程為．（2）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故．由得，即．而，于是．所以時，，故．當(dāng)時，，．，而，所以．3.(2008年安徽文T22)設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為.（1）求橢圓的方程；（2）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證：;（3）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點和,求的最小值.解析：（1）由題意得：橢圓的方程為.（2）方法一：由（1）知是橢圓的左焦點，離心率設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則作，與軸交于點(如圖)點在橢圓上同理.方法二：當(dāng)時，記，則將其代入方程得設(shè)，則是此二次方程的兩個根.................(1)代入（1）式得........................(2)當(dāng)時，仍滿足（2）式.（3）設(shè)直線的傾斜角為，由于由（2）可得，當(dāng)時，取得最小值.4.已知直線相交于兩點.（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若（其中為坐標(biāo)原點），當(dāng)橢圓的離率時，求橢圓的長軸長的最大值.解析：（1）即，又，得，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）由消去得由得設(shè)，則 即即 ，代入上式得 適合條件由此得所以所以長軸長的最大值為.5.已知橢圓的左右焦點分別是，，上頂點，右頂點為，的外接圓半徑為.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點，求面積的最大值.解析：（1）右頂點為，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得．以為直徑的圓經(jīng)過點，① ，代入①式得或（舍去），故直線過定點． 令，則在上單調(diào)遞減，時，．6.如圖，兩條過原點的直線分別與軸、軸成的角，已知線段的長度為，且點在直線上運動，點在直線上運動．（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)過定點的直線與(Ⅰ)中的軌跡交于不同的兩點、，且為銳角,求直線的斜率的取值范圍．解析：（1）由已知得直線，：，：，在直線上運動，直線上運動，,，由得，即，，動點的軌跡的方程為．（2）直線方程為，將其代入，化簡得，，，設(shè)、，則，為銳角，，即，，．將代入上式，化簡得，．由且，得.xyACBO7.(2016桐鄉(xiāng)一模T19)已知橢圓，過作互相垂直的兩直線與橢圓交于xyACBO（1）若直線經(jīng)過點,求線段的長；（2）求面積的最大值.解析：（1）不妨設(shè)直線:，則的方程為。由得：，同理用代入得，直線，即直線過定點又因為直線過，直線：，得由弦長公式可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，從而有于是令，有當(dāng)且僅當(dāng)，.8.(2012年浙江理科T21)如圖，橢圓：（）的離心率為，其左焦點到點的距離為，不過原點的直線與相交于，兩點，且線段被直線平分。（1）求橢圓的方程；（2）求面積取最大值時直線的方程。（1）設(shè)橢圓左焦點為，則由題意得，得，所以橢圓方程為。（2）設(shè)，，線段的中點為。當(dāng)直線與軸垂直時，直線的方程為，與不過原點的條件不符，舍去，故可設(shè)直線的方程為（），由，消去，整理得，①則，，所以線段的中點，因為在直線上，所以，得（舍去）或此時方程①為，則，，所以，設(shè)點到直線距離為，則，設(shè)的面積為，則其中，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取到最大值，故當(dāng)且僅當(dāng)，取到最大值.綜上，所求直線的方程為.第14講圓錐曲線垂徑定理一．問題綜述 1．圓中的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。ㄔ谶@里我僅研究垂直平分弦） 如圖0-1，在圓中，已知點是弦的中點，則． 2．橢圓與圓的聯(lián)系 （教材《選修2-1》第41頁例2） 如圖0-2，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當(dāng)點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？為什么？（所求得的軌跡方程是．） （教材《選修2-1》第50頁B組第1題） 如圖0-3，軸，點在的延長線上，且．當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡方程，并說明它時什么曲線．（所求得的軌跡方程是．） 由上述兩道習(xí)題推廣到一般情形：在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，點在上，若，且，則當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡方程是．（，且．當(dāng)時，表示焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時，表示焦點在軸上的橢圓．） 特別地，當(dāng)時，橢圓即為圓．由此，我們可以將橢圓看成是由圓升縮而成的，圓中某些性質(zhì)也可以類比拓展到橢圓，本專題就圓的垂徑定理在橢圓．雙曲線中的拓展．應(yīng)用加以總結(jié)．二．典例分析類型1：橢圓中的垂徑定理【例1-1】已知橢圓，不垂直坐標(biāo)軸直線交橢圓于，兩點，為線段的中點，直線和的斜率分別為，，求證：．證法1：如圖1-1，設(shè)，，．則，．因為，兩式作差得，即，于是．所以．證法2：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，．由，消得，所以，于是．所以，于是．因此．證法3：令，則．原題設(shè)中的點，，分別對應(yīng)單位圓中的點，，且是線段的中點．由圓的垂徑定理由．又因為，，所以．【方法小結(jié)】三種解法分別從三個不同角度給出解析，解法2是解決直線與橢圓問題的通法，解法3利用的是仿射變換轉(zhuǎn)化為直線與圓的問題求解.該問題是與弦中點有關(guān)的問題，故解法1利用點差法大大簡化了運算．★橢圓中垂徑定理的拓展拓展一：割線轉(zhuǎn)切線【例1-2】已知橢圓，設(shè)直線與橢圓相切于點，求證：．證明：如圖1-2，設(shè)，則切線的方程為，所以切線的斜率為，于是．【方法小結(jié)】該問題也可以看成是例1-1中割線的極限位置為切線．拓展二：平移中線（中線轉(zhuǎn)變中位線）【例1-3】已知橢圓，點是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，點是橢圓上異于的任意一點，求證：．證法1：設(shè)點，則，又，兩式作差，得，于是．證法2：如圖1-3，取的中點，連接，則．所以．【方法小結(jié)】找到該問題中各線段的幾何關(guān)系易知，該問題又可以回到例1-1中的垂徑定理．【例1-4】（教材《選修2-1》第41頁例3）如圖1-4，設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，．直線，的斜率之積是，求點的軌跡方程．解析：設(shè)點，則（），（），由條件有（）化簡，得點的軌跡方程是（）．【方法小結(jié)】該問題實際是與例1-3題型對應(yīng)的逆命題，如取的中點，則．類型2：雙曲線中的垂徑定理【例2-1】已知雙曲線，不垂直坐標(biāo)軸直線交雙曲線于，兩點，為線段的中點，直線和的斜率分別為，，求證：．證明：略（同例1-1方法1和方法2），如圖2-1．【方法小結(jié)】事實上，垂徑定理之斜率之積為常數(shù)的這一性質(zhì)，對于有心圓錐曲線均成立．我們知道，雙曲線方程與圓方程．橢圓方程一樣時關(guān)于的二元齊次方程，我們可以對垂徑定理作一個歸納，如下：★圓．橢圓．雙曲線中垂徑定理的統(tǒng)一【定理】設(shè)點是有心圓錐曲線，或 中與坐標(biāo)軸不垂直且不過中心的弦的中點，則．證明：設(shè)，，．則，．因為，兩式作差得，所以，即．所以． 特別地，當(dāng)時，該定理即為圓的垂徑定理．【例2-2】如圖2-2，已知雙曲線，設(shè)直線與雙曲線相切于點，求證：．證明：略（同橢圓中的例1-2）【例2-3】如圖2-3，已知雙曲線，點是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點是橢圓上異于的任意一點，求證：．證明：略（同橢圓中的例1-3）【例2-4】（教材《選修2-1》第55頁探究）如圖2-4，點，的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，試求點的軌跡方程，并由點的軌跡方程判斷軌跡的形狀．解析：略（同例1-4）．【方法小結(jié)】綜合例1-4和例2-2，可以對此類斜率之積為定值的軌跡作一個歸納，如下：★動點與兩定點所連直線斜率之積為常數(shù)的軌跡【例2-5】（教材《選修2-1》第80頁復(fù)習(xí)參考題A組第10題）已知的兩個頂點，的坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于，試探求頂點的軌跡方程．解析：設(shè)點，則，，由已知得 整理成 當(dāng)，且時，點的軌跡值橢圓（除去兩點），且當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，當(dāng)時，焦點在軸上；當(dāng)時，點的軌跡是雙曲線（除去兩點），且焦點在軸上．當(dāng)時，點的軌跡是圓（除去兩點）．（其中即為圓的直徑所對的圓周角，為直角）【方法小結(jié)】該問題中啟示我們，動點與兩個定點連線的斜率之積為非零常數(shù)時，動點的軌跡可能是圓、橢圓、雙曲線．【例2-6】如圖2-5，直線與雙曲線的兩條漸近線交于點，，且點是線段的中點，求證：．證明：由題意有，雙曲線的漸近線為．設(shè)，，．則，．因為，兩式作差得，即，于是．所以．【方法小結(jié)】此問題中的點．雖然是分別在兩條漸近線上的點，從上述解答所用的漸近線方程易知，筆者在此依然將，兩點視作時關(guān)于的二元二次齊次方程所表示曲線上的兩點，其解答過程類似于橢圓與雙曲線相關(guān)例題的解答．★類型1，類型2思想方法歸納：1．圓．橢圓．雙曲線中的垂徑定理如圖2-6，點是曲線的弦的中點，若將圓看作是離心率的特殊的橢圓，則有： （因為在橢圓中，有，在雙曲線中，有．）2．圓．橢圓．雙曲線中切線與中心和切點連線斜率之積如圖2-7，已知直線是在各曲線上點處的切線，若將圓看作是離心率的特殊的橢圓，則有3．過圓．橢圓．雙曲線中心的弦有關(guān)的斜率之積如圖2-8，是過曲線中心的一條弦，點是曲線上不同于的任意一點，若將圓看作是離心率的特殊的橢圓，則有 以上各結(jié)論都可以回歸到第一種類型．類型3：垂徑定理的應(yīng)用題型一：與角度有關(guān)的問題【例3-1】已知橢圓的離心率，、是橢圓的左右頂點，為橢圓與雙曲線的一個交點，令，則．【解析】令，由橢圓的垂徑定理可知：.【方法小結(jié)】其實所謂的雙曲線方程只是一個障眼法，并不影響題目的解答.兩頂點一動點的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切.題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點.【變式3-1】已知雙曲線的左右頂點分別為，為雙曲線右支一點，且，求.【解析】令，，則，如圖3-2.由雙曲線的垂徑定理可知：.則.題型二：與均值定理有關(guān)的問題【例3-2】已知、是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點，直線的斜率分別為，且．若的最小值為1，則橢圓的離心率為．【解析】由題意可作圖3-3，如下：連接MB，由橢圓的第三定義可知：，而..【方法小結(jié)】合理利用的對稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的垂徑定理將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來，結(jié)合“一正”“二定”“三相等”利用均值定理即可用表示出最值1，進而求出離心率.【變式3-2】已知、是橢圓長軸的兩個端點，若橢圓上存在，使，則橢圓的離心率的取值范圍為.【解析】（正切+均值）令在軸上方，則直線的傾斜角為，直線的傾斜角為。，由橢圓的第三定義：，則帶入可得：（取等條件：，即為上頂點）而在單增，則為上頂點時，所以此時，故題型三：與弦的中垂線有關(guān)的問題【例3-3】已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同兩點關(guān)于直線對稱．解析：設(shè)是橢圓上關(guān)于直線對稱的不同兩點，弦的中點為，則由垂徑定理有 又，所以，即．又因為點在直線上，且在橢圓內(nèi)，所以 ．解得，，故所求實數(shù)的取值范圍是．【方法小結(jié)】例3-3橢圓中弦的垂直平分線的橫截距與縱截距的范圍求解，利用垂徑定理大大減少了運算量．（注：如果是解答題，垂徑定理的結(jié)論需要利用點差法給出．）【變式3-3】已知是橢圓上兩點，弦的垂直平分線交軸于，求證：．證明：若平行于軸，則，顯然不等式成立．若不平行于軸，設(shè)弦的中點為，弦的垂直平分弦為，由垂徑定理有 又，且，，所以 即，因為，且，所以．題型四：與長軸有關(guān)的問題【例3-4】已知橢圓的左．右頂點分別是，設(shè)點是直線上任意一點（除與軸的交點），連接交橢圓于點，連接．過點作的垂線，垂足為，求證：直線過定點．證明：設(shè)點，如圖3-4，則有，所以，于是直線的方程為，即，故直線過定點．【變式3-4】已知橢圓的左．右頂點分別是，，設(shè)，連接交橢圓于點，連接，，求證：．證明：因為，，所以．又因為，所以，于是有．【方法小結(jié)】例3-4和例3-4中條件“”與“直線過定點”可以互逆，而且直線可以換成任意與軸垂直的直線，結(jié)論依然成立．題型五：與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題【例3-5】（2014年浙江理）設(shè)直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點，若，求雙曲線的離心率．解法1（聯(lián)立方程+垂直平分）：設(shè)線段的中點為，如圖3-6．由，消得，，所以，于是，所以，于是，，化簡得．所以，解法2（垂直平分+垂徑定理）：設(shè)線段的中點為，如圖3-7，因為，所以，于是，所以直線的方程為由，解得，所以．又由垂徑定理，有，即，所以．解法3（傾斜角+垂徑定理）直線與軸的交點為，為的中點，設(shè)的中點為，則，設(shè)，則，由雙曲線垂徑定理有：，即，得.【方法小結(jié)】例3-5是直線截雙曲線的漸近線所得弦中點有關(guān)的直線斜率關(guān)系，常規(guī)設(shè)線或利用垂徑定理都可以得解，顯然，知道垂徑定理的結(jié)論能使運算量大大降低．三．鞏固練習(xí)1．已知直線與橢圓相交于兩點，求弦的中點坐標(biāo)．2．是橢圓上兩點，線段的中點在直線上，則直線與軸交點的縱坐標(biāo)的取值范圍是．3．設(shè)是雙曲線上的兩點， （1）若點是線段的中點，求直線的方程； （2）若直線過定點，求線段的中點軌跡方程．4．（2013高考大綱卷8）橢圓的左．右頂點分別為，點在橢圓上，直線的斜率的取值范圍是，那么直線的斜率的取值范圍是（） A. B. C. D.5．已知橢圓，點為橢圓上異于頂點的任意一點，過點作長軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于另一點，連結(jié)并延長交橢圓于點，若，則橢圓的離心率為．6．（2011江蘇卷）如圖4-1，在平面直角坐標(biāo)系中，點分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點，設(shè)直線的斜率為． （1）當(dāng)直線平分線段時，求的值； （2）當(dāng)時，求點到直線