專題21圓錐曲線綜合-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學（理）母題題源解密（全國乙卷）（原卷版）

專題21周錐曲線綜合

畫題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年高考乙卷

【母題題文】已知拋物線。：％2=20，（。＞0）的焦點為尸，且尸與圓/：/+。+4）2:1上點的距離的

最小值為4.

（1）求"；

（2）若點P在"上，PAPB是。的兩條切線，A6是切點，求△PAB面積的最大值.

【答案】（1）p=2；（2）20亞.

【試題解析】（1）拋物線C的焦點為尸0，T，I五M卜g+4,

所以，F(xiàn)與圓〃：/+（y+4）2=l上點的距離的最小值為5+4-1=4,解得p=2；

FV

（2）拋物線C的方程為f=4y,即y=、，對該函數(shù)求導得y'=],

設點A（Xi，y）、35,%）、P&，%），

直線P4的方程為y_y=5（x_%）,即y=^_y,即-2y-2y=0,

同理可知，直線PB的方程為々工一2%—2y=0,

'x.x-2y,-2y=0

由于點尸為這兩條直線的公共點，則n-n八，

[馬馬-2y2-2%=0

所以，點A、8的坐標滿足方程玉彳一2丁一2%=0,

所以，直線的方程為/x—2y—2yo=0,

'xox-2y-2yo=0

聯(lián)立，x2，可得r—2%》+4%=0,

y

4

由韋達定理可得X1+%2=2玉)，X|X?=4%,

=7（X?+4）（XO-43?0）

所以，|A卻

\2-4yI

點P到直線AB的距離為d='x°01,

7^4

所以,SAPAB=；|AB|.d=；J（x：+4）（x：-4%）」；，一4%）2,

22J片+42

：片一4%=1-（%+4『-4%=—N：T2為T5=—（%+6『+21，

由已知可得一5<%<—3,所以，當為=-5時，△RIB的面積取最大值202=206.

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【點睛】

方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

【命題意圖】

(1)了解圓或拋物線的實際背景，了解圓或拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

(2)掌握圓或拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質.

(3)了解圓錐曲線的簡單應用.

(4)理解數(shù)形結合的思想.

【命題方向】

解析幾何的解答題一般難度較大，多為試卷的壓軸題之一，?？疾橹本€與圓錐曲線的位置關系及最值范圍、

定點、定值、存在性問題及證明問題，多涉及最值求法，綜合性強.從近三年高考情況來看，多考查直線與

橢圓或拋物線的位置關系，常與向量、圓等知識相結合，解題時，充分利用數(shù)形結合思想，轉化與化歸思

想.同時注重數(shù)學思想在解題中的指導作用，以及注重對運算能力的培養(yǎng).

【得分要點】

(-)求橢圓的方程有兩種方法:

（1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定序，加的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：

第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能（這時

需要分類討論）.

fv2v2x2

第二步，設方程.根據(jù)上述判斷設方程為二+二=1（“＞b＞0）或上+白=1（"＞人〉0）.

ah~a-h"

第三步，找關系.根據(jù)已知條件，建立關于a1,c的方程組（注意橢圓中固有的等式關系02="一〃）

第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設方程，即為所求.

【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量“，不能確定焦點的位置時，可進行分類討

論或把橢圓的方程設為如？+〃y2=i（'篦＞o,n＞0.S./M牛〃）.

（二）用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：

根據(jù)條件確定拋物線的焦點在哪

條坐標軸上及開口方向

畬度〉~（根據(jù)焦點和開口方向設出標準方程）

＜途〉■（根據(jù)條件列出關于p的方程）

余礴＞~｛解方程，將P代入所設方程為所求）

若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點的坐標，一般有兩種標準方程.

（三）直線與圓錐曲線的弦長問題有三種解法：

（1）過圓錐曲線的焦點的弦長問題，利用圓錐曲線的定義可優(yōu)化解題.

（2）將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，再運用兩點間距離公式求弦長.

（3）它體現(xiàn)了解析幾何中的設而不求的思想，其實質是利用兩點之間的距離公式以及一元二次方程根

與系數(shù)的關系.

（四）圓錐曲線中的定點、定值問題

定點、定值問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定

值等問題的證明.解決此類問題的關鍵是引進參變量表示所求問題，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋

找不受參數(shù)影響的量.可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再視具體情況進行研究.同時，也要

掌握巧妙利用特殊值解決相關的定點、定值問題，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來

研究等.

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1.（2021?四川遂寧市?高三三模（理））已知橢圓C：xy=1（。＞0,匕＞0）的左、右焦點分別為《，

部+5F2,

過尸2且與X軸垂直的直線與橢圓。交于A,B兩點,AAQB的面積為2近，點P為橢圓。的下頂點,

\PF2\=y[2\OP\.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）經(jīng)過拋物線＞2=4x的焦點廠的直線/交橢圓。于加，N兩點，求|麗?麗|的取值范圍.

2.（2021?上海復旦附中高三其他模擬）已知過點加（日,0）的直線/與拋物線y2=2px（p＞0）交于A、B

兩點，且礪.礪=-3，其中。為坐標原點.

（1）求〃的值；

（2）當最小時，求直線/的方程.

3.（2021?重慶高三其他模擬）已知直線/：y=Ax+4與拋物線C：y=℃2交于A、8兩點，O為坐標原點，

OAA.OB.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）若過點A的另一條直線/i與拋物線C交于另一點與y軸交于點N,且滿足=求忸的

最小值.

4.(2021?河北高三其他模擬)已知拋物線。：：/=2〃％(9>0)的焦點為凡C上一點G到F的距離為5,

到直線x=—1的距離為5.

(1)求C的方程；

(2)過點F作與x軸不垂直的直線/與C交于A,B兩點，再過點A,8分別作直線/的垂線，與x軸分別

交于點尸，Q,求四邊形APB。面積的最小值.

5.(2021?浙江省杭州第二中學高三其他模擬)已知拋物線。：丁=2庶(〃>0)經(jīng)過點(2,2&),尸是圓

M:(x+l)-+y2=1上一點，PA-尸3都是。的切線.

(1)求拋物線。的方程及其準線方程;

(2)求的面積的最大值.

6.(2021.湖南岳陽市.高三其他模擬)已知動圓過定點P(l,0),且與定直線/:x=-l相切，點C在/上.

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；

(2)設過點P且斜率為-6的直線與曲線M相交于A,8兩點.

①問：△MC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由;

②當AA6c為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

7.（2021?浙江金華市?高三三模）如圖，已知拋物線V=4x,過x軸正半軸上一點P的兩條直線分別交拋

物線于4c和民。兩點，且A,。在第一象限，直線A8與x軸的交點E在原點O和尸點之間.

（1）若尸為拋物線的焦點，且IAP|=3,求點A的坐標;

\OP\

（2）若尸為動點，且ACDP的面積是AMBP面積的3倍，求房3的值.

\OE\

8.（2021?浙江嘉興市?高三其他模擬）拋物線。：丁=2后的焦點為廣，準線為/,尸是拋物線上一點，過F

的直線交拋物線于A,8兩點，直線AP、8P分別交準線/于當AB/〃，點P恰好與原點。重合時,

&MNF的面積為4.

（I）求拋物線c的方程；

（2）記5“削=$5“柳=52，夕點的橫坐標與48中點的橫坐標相等，若S「|P可=/lS2,求;I的最小值.

9.（2021?全國高三其他模擬（理））己知拋物線C:y2=2px（〃>0）的焦點為尸，點。（/,一2）在。上，且

歸耳=2|。耳（。為坐標原點）.

（1）求C的方程；

（2）若A,3是。上的兩個動點，且A,3兩點的橫坐標之和為8,求當|A到取最大值時，直線A3的

方程.

io.（2021?四川高三二模（理））己知點F（I,O）,直線/：》=—2,p為y軸右側或y軸上動點，且點尸至u

的距離比線段PF的長度大1,記點尸的軌跡為E.

（1）求曲線E的方程；

（2）已知直線4：x=l交曲線E于A,3兩點（點A在點5的上方），C,。為曲線E上兩個動點，且

ZCAB=ZDAB,求證：直線的斜