算法初步算法的概念教案新人教a版必修3

第一章算法初步

1.1算法與程序框圖

第一課時算法的概念

教學目標

1.通過實例體會算法思想，了解算法的含義與主要特點；

2.能按步驟用自然語言寫出簡單問題的算法過程；

3.培養(yǎng)學生邏輯思維能力與表達能力.

教學重點將問題的解決過程用自然語言表示為算法過程.

教學難點用自然語言描述算法.

教學過程

一.序言

算法不僅是數(shù)學及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計算機理論和技術(shù)的核心.在現(xiàn)代社會里,

計算機已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡

通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機幾乎滲透到了人們生活的所有領(lǐng)域.那么，計算機是怎樣工作的呢？

要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.同時，算法有利于發(fā)展有條理的思考與表達的

能力，提高邏輯思維能力.

在以前的學習中，雖然沒有出現(xiàn)算法這個名詞，但實際上在數(shù)學教學中已經(jīng)滲透了大量的算

法思想，如四則運算的過程、求解方程的步驟等等，完成這些工作都需要一系列程序化的步驟,

這就是算法的思想.

二、數(shù)學運用

1.算法描述舉例

例1.給出求1+2+3+4+5的一個算法.

解：算法1按照逐一相加的程序進行.

第一步：計算1+2,得到3；

第二步：將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6；

第三步：將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10；

第四步：將第三步中的運算結(jié)果10與5相加，得到15.

算法2運用公式1+2+3++〃=次土12直接計算.

2

第一步：取=5；第二步：計算巫士9；第三步：輸出運算結(jié)果.

2

說明：一個問題的算法可能不唯一

例2.給出求解方程組（2"+'=7的一個算法.

4x+5y=11

分析：解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別,

為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現(xiàn)，我們用高斯消元法（即先將方程組

化為一個三角形方程組，在通過回代過程求出方程組的解）解線性方程組.

解：用消元法解這個方程組，步驟是：

第一步：方程①不動，將方程②中的系數(shù)除以方程①中的系數(shù)，得到乘數(shù)加=&=2；

2

第二步：方程②減去乘以方程①，消去方程②中的項，得到=7；

3>=-3

x=4

第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到y(tǒng)=-1,x=4.所以原方程組的解為

y=-1

2、算法概念

算法：在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一個或一類問題的明確和有限的步驟。

3、怎樣表達算法？

如例1：算法3

第一步：使S=l；第二步：使/=2；第三步：使5=5+1；

第四步：使/=1+1；第五步：如果/W5,則返回第三步，否則輸出5.

例1的延伸：給出求1+2+3+…N的一個算法

第一步：使S=l；第二步：使/=2；第三步：使5=5+/；

第四步：使/=/+1；第五步：如果IWN,則返回第三步，否則輸出S.

2.寫出求1+』+』+的一個算法.

23100

解：第一步：使S=l；第二步：使/=2；第三步：使〃=：；第四步：使5=5+〃；

第五步：使/=/+1;第六步：如果/Wl（）（）,則返回第三步，否則輸出S.

4.算法的重要特征：

（1）有限性：一個算法在執(zhí)行有限步后必須結(jié)束；

（2）確切性：算法的每一個步驟和次序必須是確定的；

（3）輸入：一個算法有0個或多個輸入，以刻劃運算對象的初始條件.所謂0個輸入是指

算法本身定出了初始條件.

(4)輸出：一個算法有1個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果.沒有輸出的算

法是毫無意義的.

第二課時算法概念的鞏固

教學目標

1.能按步驟用自然語言寫出簡單問題的算法過程；

2.培養(yǎng)學生邏輯思維能力與表達能力.

教學重點將問題的解決過程用自然語言表示為算法過程.

教學難點用自然語言描述算法.

教學過程

例1設(shè)計一個算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).

算法分析：

根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2?6除7,如果它們中有一個能整除7,則7

不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù)。根據(jù)以上分析，可寫出如下算法1：

第一步：用2除7,得到余數(shù)1,因為余數(shù)不為0,所以2不能整除7

第二步：用3除7,得到余數(shù)1,因為余數(shù)不為0,所以3不能整除7

第三步：用4除7,得到余數(shù)3,因為余數(shù)不為0,所以4不能整除7

第四步：用5除7,得到余數(shù)2,因為余數(shù)不為0,所以5不能整除7

第五步：用6除7,得到余數(shù)1,因為余數(shù)不為0,所以6不能整除7,

所以7是質(zhì)數(shù)。

算法2：

第一步：1=2

第二步：7+1余數(shù)為r,若余數(shù)為0,則7不是質(zhì)數(shù)，否則執(zhí)行第三步;

第三步：1=1+1

第四步：重復第二、第三步直到1>6時結(jié)束算法。

例1延伸：設(shè)計一個算法，判斷順2)是否為質(zhì)數(shù)？

算法：見課本2

例2：用二分法求方程*一一2=O的近似正根，精確度0.05.

解第一步：4/(X)=x2-2.a/(1)<0,/(2)>0,

設(shè)a=1,x2=2.

第二步：令m=三±三?(因方程的根在區(qū)間(再，X，內(nèi)).

2

判斷/(⑼是否為0。若/■(?/)=(),則根為所求；

若否，則進行第三步.

第三步：若/(占卜/(6)>0,則令占=四

若/(/)?/(⑼<0,則令*2=機?

第四步：判斷|看一回<0.05是否成立？

若是，貝以p9之間的任意取值均為滿足條件的近似根；

若否，則返回第二步.

例2的延伸：求后的近似值，精確度0.05.

解：第一步：確定區(qū)間【a,b］，因血>1,后<2,設(shè)a=l,b=2

第二步：〃?=3,判斷也是否等于血，若相等，則加為所求，否則執(zhí)行第三步;

2

第三步：若m>亞,則令6=%；

若〃z<血，則令a=加。

第四步：重復第二、第三步，直到|a-q<0.05或加=行時結(jié)束算法。

例3：設(shè)計一個算法求x、y、z三個實數(shù)中的最大值。

解：第一步：輸入x、y、z；

第二步：比較x、y的大小，若x>y則max=x；否則x<y則max=y

第三步：比較max,z的大小，若max<z則max=z,否則執(zhí)行下一步；

第四步：輸出max。

例4：設(shè)計一個算法把A、B兩個數(shù)按從大到小的順序排列。

解：第一步：輸入A、B；

第二步：比較A、B的大小，若A>B,則輸出A、B；否則f=A;A=B;B=f

第三步：輸出A、Bo

例5：例3、例4的綜合：設(shè)計一個算法把x、y、z三個實數(shù)按從大到小的順序排列

解：第一步：輸入x、y、z；

第二步：比較x、y的大小，若則不變順序，否則f=x;x=y;y=f

第三步：比較X、Z的大小，若X>Z則不變順序，否則，=X；X=Z；Z=f

第四步：比較y、z的大小，若y>z則不變順序，否則r=y；y=z；z=r

第五步：輸出x,y、zo

第三課時程序框圖與算法基本邏輯結(jié)構(gòu)

教學目標

1.了解流程圖的概念，了解常用流程圖符號（輸入輸出框、處理框、判斷框、起止框、流

程

等）的意義；

2.能用程序圖表示順序結(jié)構(gòu)的算法；

3.發(fā)展學生有條理的思考與表達能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

教學重點運用流程圖表示順序結(jié)構(gòu)的算法.

教學難點規(guī)范流程圖的表示.

教學過程

問題：如果現(xiàn)在讓你向全班同學介紹一個陌生人的外表形象，有兩種方法你可以選擇:一種

方法是用語言向大家描述,另一種方法是就將陌生人的照片拿給大家看，你們會選擇哪一種？

1.流程圖的概念：流程圖是用一些規(guī)定的圖形、指向線及簡單的文字說明來表示算法幾程

序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序.它直觀、清晰，便于檢查和修改.其中，圖框表示各種操作的類型，圖

框中的文字和符號表示操作的內(nèi)容，帶箭頭的流程線（指向線）表示操作的先后次序.

2.構(gòu)成流程圖的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何

起止框

算法程序框圖不可缺少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可

二輸入、輸出框用在算法中任何需要輸入、輸出的位

置。

賦值、計算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的

—處理框算式、公式等，它們分別寫在不同的

用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時在出

判斷框口處標明“是”或“Y”；不成立時在

O出口處標明則標明“否"或"N"。

流程線算法進行的前進方向以及先后順序

V

循環(huán)框用來表達算法中重復操作以及運算

1

O連結(jié)點連接另一頁或另一部分的框圖

—

注釋框幫助編者或閱讀者理解框圖

3.規(guī)范流程圖的表示：

①使用標準的框圖符號；

②框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫，流程線要規(guī)范；

③除判斷框外，大多數(shù)框圖符號只有一個進入點和一個退出點.

④在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練、清楚.

4、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)

課本中例題的講解得出三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

順序結(jié)構(gòu)：

順序結(jié)構(gòu)是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本

結(jié)構(gòu)。

注：語句A和語句B是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完語句A指定的操作后，才能接著執(zhí)行語句

示意圖

例1：已知一個三角形的三邊邊長分別為2,3,4,利用海倫一秦九韶公式設(shè)計一個算法,求出

它的面積，畫出算法的程序框圖.

開始框

Jp(p4)(p》)(pc)

例2：設(shè)計一算法：輸入圓的半徑，輸出圓的面積，并畫出流程圖

算法分析：

第一步：輸入圓的半徑

第二步：利用公式''圓的面積=圓周率X（半徑的平方）”計算圓的面積;

第三步：輸出圓的面積。

第四課時條件結(jié)構(gòu)

教學目標

1.進一步理解流程圖的概念，了解條件結(jié)構(gòu)的概念，能運用流程圖表達條件結(jié)構(gòu);

2.能識別簡單的流程圖所描述的算法；

3.發(fā)展學生有條理的思考與表達能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

教學重點運用流程圖表示條件結(jié)構(gòu)的算法.

教學難點規(guī)范流程圖的表示以及條件結(jié)構(gòu)算法的流程圖.

教學過程

一.問題情境

1.情境:

設(shè)計一個算法求X、y、z三個實數(shù)中的最大值，并畫出程序框圖。

2、條件結(jié)構(gòu)（選擇結(jié)構(gòu)）：

由上面例子可以得出條件結(jié)構(gòu)的兩種形式;

V

注：算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向.

課本例題的講解。

3、條件結(jié)構(gòu)的嵌套：

例：設(shè)計一個算法畫出它的程序框圖，求這個分段函數(shù)的函數(shù)值。

我們要對一次項系數(shù)a和常數(shù)項b的取值情況進行分類，分類如下:

(1)當aWO時，方程有唯一的實數(shù)解是-幺；

a

(2)當a=0,b=0時，全體實數(shù)都是方程的解；

(3)當a=0,bWO時，方程無解。

讓學生按照剛講解的條件結(jié)構(gòu)的嵌套自己畫程序框圖。

第五課時循環(huán)結(jié)構(gòu)

教學目標

1.了解循環(huán)結(jié)構(gòu)的概念，能運用流程圖表示循環(huán)結(jié)構(gòu)；

2.能識別簡單的流程圖所描述的算法；

3.發(fā)展學生有條理的思考與表達能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

教學重點運用流程圖表示循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法.

教學難點規(guī)范流程圖的表示以及循環(huán)結(jié)構(gòu)算法的流程圖.

教學過程

一：問題情景:例：求1+2+3+…N的一個算法

第一步：使S=l；

第二步：使/=2；

第三步：使5=5+/；

第四步：使/=/+1；

第五步：當/WN,則返回第三步、第四步，否則輸出S.

第五步也寫成：重復第三步、第四步，直到/>N時結(jié)束算法。

二：新課教學

1:循環(huán)結(jié)構(gòu)的定義：

在一些算法中，從否處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)

結(jié)構(gòu)。

兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)有什么差別？

當型：先判斷后執(zhí)行

先判斷指定的條件是否為真，若條件為真，執(zhí)行循環(huán)條件，條件為假時退出循環(huán)。

直到型；先執(zhí)行后判斷

先執(zhí)行循環(huán)體，然后再檢查條件是否成立，如果不成立就重復執(zhí)行循環(huán)體，直到條件成

立退出循環(huán)。

2：課本中例一、例二的講解；其中例二的講解給同學嘗試并寫出兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)形式。

3：用二分法求解方程求關(guān)于x的方程，-2=0的根，精確到0.005

CW)

凌程圖表示

第一步令f(x)=x2-2,因為

f(1)<0,f(2)>0,所以設(shè)

a=1,b=2k=(a+〃)d

第二步今m=(a+b)/2,

到新f(m)是否為0,若

是，則m為所求，否則，

則繼姨到新f(a)f(m)大于

0還是小于0。b=m|a=m

第三步若f(a”(m)v0則

令b=m,否則a=m。

m=(a+b)/[

第舊步灼新|a-b|v0.005是_”~二

否成立？若云則a.b之間的___，輸用m

任意值均為滿足條件的近仞(^)

值；否則返回第二步。

在此基礎(chǔ)上讓學生自己寫出求解后的近似值的程序框圖。

第六課時基本算法語句

教學目標

1.正確理解賦值語句、輸入語句、輸出語句的結(jié)構(gòu)；

2.讓學生充分地感知、體驗應(yīng)用計算機解決數(shù)學問題的方法;

3.通過實例，使學生理解3種基本的算法語句(輸入語句、輸出語句和賦值語句)的表示方法、結(jié)構(gòu)和用法,

能用這三種基本的算法語句表示算法，進一步體會算法的基本思想.

教學重點正確理解輸入語句、輸出語句、賦值語句的作用.

教學難點準確寫出輸入語句、輸出語句、賦值語句.

教學過程

一、問題情境

問題1：已知我班某學生上學期期末考試語文、數(shù)學和英語學科成績分別為80、100、89,試設(shè)計適當?shù)?/p>

算法求出這名學生三科的平均分.

二、學生活動

1.學生討論，教師引導學生寫出算法并畫出流程圖.

算法：

SIa-80

S2b-100

S3c-89

S4A-(a+b+c)/3

S5輸出A

2.怎樣將以上算法轉(zhuǎn)換成計算機能理解的語言呢？

下面我們將通過偽代碼學習基本的算法語句.

三、新課講解

1.偽代碼：

偽代碼是介于自然語言和計算機語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法.為了今后

能學好計算機語言，我們在偽代碼中將使用一種計算機語言“BASIC語言”的關(guān)鍵詞.

2.輸入語句

格式：INPUT"提示文字”；變量

注釋：①輸入語句又稱“鍵盤輸入語句”，計算機執(zhí)行到該語句時，暫停并等待用戶輸入程序

所需要的數(shù)據(jù)；

②“提示內(nèi)容”的作用是在程序執(zhí)行時提示用戶明確將要輸入的是什么樣的數(shù)據(jù)。當提

示內(nèi)容很明顯時課省略；

③一個輸入語句可同時給多個變量賦值，此時變量與變量之間用逗號隔開；

④在輸入語句中輸入的只能是常數(shù)，而不能是函數(shù)、變量或表達式；

⑤無計算功能。

功能：可以為變量提供運行所需的數(shù)據(jù)，實現(xiàn)餓算法中的輸入功能。

3.輸出語句

格式：PRINT”提示內(nèi)容”；變量

注釋：①輸出語句又稱“打印語句”；

②''提示內(nèi)容”的作用是在程序執(zhí)行時提示用戶明確將要輸出的是什么樣的數(shù)據(jù)。當提

示內(nèi)容很明顯時課省略；

③一個輸出語句可同時輸出多個表達式，此時表達式與表達式之間用逗號隔開；

④有計算功能。

功能：把運行的結(jié)果輸出來。

例：INPUTuHowoldareyou";x

PRINT“Iam”；x

END

若在鍵盤中輸入16,則此程序運行的結(jié)果為Iam16

課本中例一及例二的講解。其中例二要可以寫成：

INPUT<<Maths=,Chinese=,English=w;a,b,c

y=(a+b+c)/3

PRINT"Theaverage=";y

END

4.賦值語句

格式：變量=表達式

注釋：①賦值語句中的“="稱為賦值號，而不是等號。如“s=s+n”這樣的賦值語句表示把變

量s的值與變量n的值相加后再賦給變量s;

②賦值號左邊的變量名只能是變量，不能是常量、函數(shù)或表達式；

③不能在一個賦值語句中同時給多個變量賦值；

④在一個賦值語句中可以對一個變量多次賦值，賦值后新之取代原來的舊值；

⑤有計算功能。

功能：先計算出賦值號右邊表達式的值，再將值賦給賦值號左邊的變量。

課本例三、例四的講解。

5.練習鞏固

分析下面程序執(zhí)行的結(jié)果

(1)

A=-1000

A=A+100

PRINT“A=”；A

END

A=-900

(2)

INPUT“A,B=”;A,B

B=A+B

A=B-A

B=B-A

PRINT“A,B=”;A,B

END

(運行時從鍵盤輸入3,7)

A,B=73

第七課時條件語句

教學目標

1.正確理解條件語句的結(jié)構(gòu)；

2.讓學生充分地感知、體驗應(yīng)用計算機解決數(shù)學問題的方法：

3.通過實例，使學生理解條件語句的表示方法、結(jié)構(gòu)和用法，能用條件語句表示算法，進一步體會算法的基

本思想.

教學重點正確理解條件語句的作用并會應(yīng)用.

教學難點準確寫出條件語句.

教學過程

一、問題情境

二、知識探究

1、條件語句（1）

下圖是算法的條件結(jié)構(gòu)用程序框圖表示的一種形式，它對應(yīng)的條件語句的一般格式設(shè)定

為：

IF條件THEN

語句體

ENDIF

2、條件語句（2）

下圖是算法的條件結(jié)構(gòu)用程序框圖表示的另一種形式，它對應(yīng)的條件語句的一般格式

設(shè)定為：

IF條件THEN

語句體1

ELSE

語句體2

ENDIF

三、知識遷移

1、課本第25頁例五及27頁例六、例七的講解。

l,x>0

2、例8.高等數(shù)學中經(jīng)常用到符號函數(shù)，符號函數(shù)的定義為y=?O,x=O,試編寫程序輸入”的值,

—1.x<0

輸出y的值。

程序一：（嵌套結(jié)構(gòu)）

程序框圖：（右圖）

程序語言：

INPUTx

IFx>0THEN

7=1

ELSE

IFx=0THEN

*0

ELSE

產(chǎn)一1

ENDIF

ENDIF

PRINTy

END

程序二：（疊加結(jié)構(gòu)）

程序框圖：

程序如下：

INPUTx

IFx>0THEN

尸1

ENDIF

IFA=0THEN

y=0

ENDIF

IFKOTHEN

產(chǎn)一1

ENDIF

PRINTy

END

點評：L條件結(jié)構(gòu)的差異，造成程序執(zhí)行的不同。當代入x的數(shù)值時,

“程序一”先判斷外層的條件，依次執(zhí)行不同的分支，才有可能判斷內(nèi)層的條件；而“程序二”中執(zhí)行了對

“條件1”的判斷，同時也對“條件2”進行判斷，是按程序中條件語句的先后依次判斷所有的條件，滿足

哪個條件就執(zhí)行哪個語句。

2.條件語句的嵌套可多于兩層，可以表達算法步驟中的多重限制條件。

四、鞏固總結(jié)

條件語句的條件表達式需用連接符如下：

運算符功能舉例數(shù)學表達式

<小于a<ba<b

關(guān)系運算符

V=小于或等于a<=baWb

>大于a>ba>b

>=大于或等于a>=ba，b

=等于a=ba=b

<>不等于a<>baWb

邏輯運算符AND且x<5ANDx>1l<x<5

OR或x<0ORx>3x<0或x>3

NOT非NOTx>ax《a

第八課時循環(huán)語句

教學目標

1.正確理解循環(huán)語句的結(jié)構(gòu)；

2.讓學生充分地感知、體驗應(yīng)用計算機解決數(shù)學問題的方法：

3.通過實例，使學生理解循環(huán)語句的表示方法、結(jié)構(gòu)和用法，能用循環(huán)語句表示算法，進一步體會算法的基

本思想.

教學重點循環(huán)語句的步驟、結(jié)構(gòu)及功能.

教學難點會編寫程序中的循環(huán)語句.

教學過程

1、知識探究：算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的

循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種——當型與直到型，一般程序設(shè)計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL

型）兩種語句結(jié)構(gòu)。

即WHILE語句和UNTIL語句。

（1）WHILE語句的一般格式是:

WHILE條件

循環(huán)體

WEND

(2)UNTIL語句的一般格式是:

提問：通過對照，大家覺得WHILE型語句與UNTIL型語句之間有什么區(qū)別呢？

區(qū)別：在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體,而在UNTIL語句中,是當條件不滿足時執(zhí)行

循環(huán)體。

2、鞏固提高

例1、編寫程序,計算自然數(shù)1+2+3+-+99+100的和.

分析:這是一個累加問題.我們可以用WHILE型語句，也可以用UNTIL型語句。

當型循環(huán)結(jié)構(gòu)

WHILE語句

S=0

WHLIEi<=100

S=S+i

i=i+1

WEND

PRINTS

END

UNTIL語句

S=0

DO

S=S+i

i=i+1

LOOPUNTILi>100

PRINTS

END

變式訓練⑴：

編寫程序求:n!=1X2X3X4X5X.......Xn的值.

WHILE謂包

廠INPUT“n=”*

i=1

S=1

WHLIEi<=n

S=S*i

i=i+1

WEND

PRINTS

END

變式訓練⑵：

編寫程序求：1X3X5X7X……義101的值.

直到型如何修改？UNITL語句

DO

S=S*i

S=S*i

i=i+2i=i+2

LOOPUNTILi>101

PRINTS

［結(jié)束

例2、課本例題的講解

3、總結(jié)歸納：學習了循環(huán)語句的兩種格式，我們來挖掘一下應(yīng)用循環(huán)語句編寫程序的“條件三要素”。

第一、循環(huán)語句中的變量一般需要進行一定的初始化操作。

請看我們用WHILE循環(huán)實現(xiàn)1到100累加為例，做一下說明：

“1+2+....+100”

部分程序如下：

sum-0

1=1

WHILEi<=100

sum=sum-f-i

i二i+1

WEND

這段程序中，循環(huán)的條件是“i<=100"；因此，一開始i肯定需要一個確定的值。前面的

“i=0”這一個語句，在聲明變量i的同時，也為i賦了初始值“1”。這樣，條件i<=100得以成立（因

為i為1,所以條件"i<=100”當然成立）。

第二、循環(huán)語句在循環(huán)的過程中需要有“結(jié)束”的機會。

程序中最忌“死循環(huán)二所謂的“死循環(huán)”就是指該循環(huán)條件永遠成立，沒有跳出循環(huán)體的機會。

第三、在循環(huán)中要改變循環(huán)條件的成立因素

程序每執(zhí)行一次循環(huán)體，循環(huán)條件中涉及到的變量就會發(fā)生改變，正在步步逼近滿足跳出循環(huán)體的條件。

第九課時輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

教學目標

1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析；

2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序；

教學重點理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法

教學難點把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.

教學過程

一、問題情境

在初中，我們已經(jīng)學過求最大公約數(shù)的知識，你能求出18與30的公約數(shù)嗎？

我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)，如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約

數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)？比如求8251與6105的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探

討的內(nèi)容.

求最大公約數(shù)

(1)短除法

求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個互質(zhì)

數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來

(2)窮舉法(也叫枚舉法)

窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)

立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù)

二、算法設(shè)計思想：

1.輾轉(zhuǎn)相除法

例1.求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù).

(分析：8251與6105兩數(shù)都比較大，而且沒有明顯的公約數(shù)，如能把它們都變小一點，根據(jù)已有的知識

即可求出最大公約數(shù))

解：8251=6105X1+2146

顯然8251和的2146最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù)，同樣6105與2146的公約數(shù)也必是8251的約數(shù)，

所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù).

6105=2146X2+1813

2146=1813X1+333

1813=333X5+148

333=148X2+37

148=37X4+0

則37為8251與6105的最大公約數(shù).

以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法.也叫歐幾里德算法，它是由歐兒里德在公元前300年左

右首先提出的.利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

第一步：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)得到一個商%和一個余數(shù)為;

第二步：若“=0,則為加,九的最大公約數(shù)；若為工0,則用除數(shù)除以余數(shù)為得到一個商0和一個余數(shù)個

第三步：若4=0,則4為小，〃的最大公約數(shù)；若｛HO,則用除數(shù)4除以余數(shù)外得到一個商%和一個

余數(shù)r2；

依次計算直至4=0,此時所得到的即為所求的最大公約數(shù).

練習：利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)（答案：53）

2.更相減損術(shù)

我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù).

更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母之數(shù)，以少減多，更相減損，

求其等也，以等數(shù)約之.

翻譯出來為：

第一步：任意給出兩個正數(shù)：判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.

第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù).繼續(xù)這個操作,

直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù).

例2.用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，

即：98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98與63的最大公約數(shù)是7.

練習：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù).(答案：12)

3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別

(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾

轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯.

(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差

相等而得到.

三.輾轉(zhuǎn)相除法的流程圖及偽代碼

利用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計算算法，我們可以設(shè)計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機上實現(xiàn)

輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，下面由同學們設(shè)計相應(yīng)框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性，

并在計算機上驗證自己的結(jié)果.

(1)輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序

程序框圖：

偽代碼:

Reada,b

WhileMod(a,〃)wO

r<r-Mod(a,b)

a<-b

b~r

EndWhile

Printb

用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，得到除式機=/陷+〃(04廠v〃)，直到r=0.

2、更相減損術(shù)程序：

INPUT"請輸入兩個不相等的正整數(shù)”；a,b

i=0

WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0

a=a/2

b=b/2

i=i+l

WEND

DO

IFb<aTHEN

t=a

a=b

b=t

ENDIF

c=a-b

a=b

b=c

LOOPUNTILa=b

PRINTaT

END

四、回顧小結(jié)：

對于兩個正整數(shù)如何選擇合適的方法求他們的最大公約數(shù)

方法適用范圍及特點

短除法適合兩個較小的正整數(shù)或兩個質(zhì)因數(shù)較少的正整數(shù)，簡便易操作。

窮舉法適合計算機操作，但一一驗證過于繁瑣。

適用于兩個較大的正整數(shù)，以除法為主，輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別

輾轉(zhuǎn)相除法當兩個數(shù)字大小差別較大時計算次數(shù)較明顯。

適用于兩個較大的正整數(shù)，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上相對于輾轉(zhuǎn)相

更相減損術(shù)

處法較多。

第十課時秦九韶算法

教學目標

1.理解秦九韶算法中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析；

2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序;

教學重點理解秦九韶算法計算多項式的方法

教學難點把秦九韶算法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.

教學過程

一、情景導入

計算多項式f(X)=*5+*4+牙3+*2+*+1當*=5的值

算法1：因為f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1

所以f(5)=55+54+53+52+5+1

=3125+625+125+25+5+1

=3906

算法2：

f(5)=55+54+53+52+5+1

=5X(54+53+52+5+1)+1

=5X(5X(53+52+5+1)+1)+1

=5X(5X(5X(52+5+1)+1)+1)+1

=5X(5X(5X(5X(5+1)+1)+1)+1)+1

分根兩種算法中各用了幾嫁法運翦朝頗法運翦

二、新課講解

《數(shù)書九章》——秦九韶算法

設(shè)/(X)是一個“次的多項式

/(x)=a,,x"+%_產(chǎn)+…++%

這是怎樣的一

對該多項式按下面的方式進行改寫：種改寫方式？

/(x)=ax"++…+qx+/最后的結(jié)果是

n什么？，

=(anX"'+an-iX"----F%)X+&

=((?！坝取?2+a,./""+…+?)x+%)x+a0

=(--(??x+??_1)x+a吁2)x+???+%)x+。0

思考段當知道了X的值后該如何求多項式的值?

/(X)=(…(/x+a?_!)x+an_2)x+…+4)x+/

要求多項式的值，應(yīng)該先算最內(nèi)層的一次多項式的值，即

V]=a?x+a?_,

然后，由內(nèi)到外逐層計算一次多項式的值，即

丫2=匕尤+%,-2取后的一項是

什么?

匕=v2x+a?_3

匕,=匕-x+a。

思考及在求多項式的值上.這是怎樣的一個轉(zhuǎn)化?

這種將求一個n次多項式f(x)的值轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的

方法，稱為秦九韶算法。

例2已知一個五次多項式為

f(x)=5x5+2x4+3,5x3-2.6x2+1.7x-0.8

用秦九韶算法求這個多項式當x=5的值。

解：將多項式變形：

/(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8

按由里到外的順序，依此計算一次多項式當x=5時的值：

%=5

4=5x5+2=27

v2=27x5+3.5=138.5

%=138.5x5-2.6=689.9

v4=689.9x5+1.7=3451.2

v5=3451.2x5-0.8=17255.2

所以，當x=5時，多項式的值等于17255.2

三、知識形成

程序框圖

/輸入X。/

程序見課本39頁。

四、鞏固提高

例.已知多項式函數(shù)f(x)=2x"一5x"-4X3+3X'—6X+7,求當x=5時的函數(shù)的值。

解析：把多項式變形為：f(x)=2xn—5x*—4x3+3x2—6x+7

=((((2x-5)x—4)x+3)x—6)x+7

計算的過程可以列表表示為:

多項式X系數(shù)2-5-43-67運算

1025105540

運算所得的值X)670+

尸//

//

變形后X的"系數(shù)"25211085342677*5

最后的系數(shù)2677即為所求的值

算法過程：

v0=2

vi=2X5—5=5

￥2=5X5—4=21

￥3=21X5+3=108

v.t=108X5-6=534

v5=534X5+7=2677

第十一課時進位制

教學目標

1.理解進位制中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析；

2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序;

教學重點掌握進位制之間的互相轉(zhuǎn)化

教學難點把進位制轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.

教學過程

一、遂伍制

進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的計數(shù)

系統(tǒng)＜

上匕如：

滿二進一，就是二進制；滿十進一，就是十進制；

滿十二進一，就是十二進制；滿六十進一，就是六十進制

泉“

“滿兒進一”就是幾進制，幾進制的基數(shù)就是幾.

十進制,，

我們最常用最熟悉的就是十進制數(shù)，它的數(shù)值部分是十個不

同的數(shù)字符號0,1,2,3,4,5,6,7,8,9來表示的。

例如133.59,它可用一個多項式來表示：

133.59=1*102+3*101+3*10°+5*10-1+9*10-2

式中1處在百位，第一個3所在十位，第二個3所在

個位，5和9分別處在十分位和百分位。十進制數(shù)是逢

十進一的。

其它述制:

實際上，十進制數(shù)只是計數(shù)法中的一種，但它不是唯一

記數(shù)法。除了十進制數(shù)，生產(chǎn)生活中還會遇到非十進制的

記數(shù)制。如時間：60秒為1分，60分為1小時，它是六十進

制的。兩根筷子一雙，兩只手套為一副，它們是二進制的。

二進制、七進制、，、進榭、十二迷喇、

力十進制....

二進制凡有0M1兩個劇室，七進刷用0?6上個劇冬

十大進制10?9十個故室及ABCDEF大個冬母.

二、進位制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化

1、進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化：非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可：

a”a”T….4。0（左）=a=xk"+。"_]xk"~'+.....+0]xk+a0

第一步：從左到右依次取出k進制數(shù)…各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的哥，k的事從n開始

取值，每次遞減1,遞減到0,即xk",a,ixk"~'.....,a}xk,a0xk°；

第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進制數(shù)。

十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進制數(shù)

把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進制

數(shù)的算法“除k取余法”。

非十進制之間的轉(zhuǎn)換

一個自然的想法是利用十進制作為橋梁。教科書上提供了一個二進制數(shù)據(jù)與16進制數(shù)據(jù)之間的互化的方

法，也就是先有二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，再由十進制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進制數(shù)。

課本41頁例三、例五的講解。

2、進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化的程序：課本41頁例四、例六的講解。

三、鞏固提高

例1.把十進制數(shù)89化為三進制數(shù).

解析：具體的計算方法如下：

89=3X29+2

29=3X9+2

9=3X3+0

3=3X1+0

1=3X0+1

所以:89（w=10022⑶。

點評：根據(jù)三進制數(shù)滿三進一的原則，可以用3連續(xù)去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后順序取

出余數(shù)組成數(shù)據(jù)即可。

例2.將8進制數(shù)314706⑻化為十進制數(shù).

解析：314706⑹=3X85+1X8'+4X8、7X82+0X8'+6X8=104902。

所以，化為十進制數(shù)是104902c

第一章算法初步

1.1算法與程序框圖

第一課時算法的概念

教學目標

1.通過實例體會算法思想，了解算法的含義與主要特點；

2.能按步驟用自然語言寫出簡單問題的算法過程；

3.培養(yǎng)學生邏輯思維能力與表達能力.

教學重點將問題的解決過程用自然語言表示為算法過程.

教學難點用自然語言描述算法.

教學過程

一.序言

算法不僅是數(shù)學及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計算機理論和技術(shù)的核心.在現(xiàn)代社會里,

計算機已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡

通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機幾乎滲透到了人們生活的所有領(lǐng)域.那么，計算機是怎樣工作的呢？

要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.同時，算法有利于發(fā)展有條理的思考與表達的

能力，提高邏輯思維能力.

在以前的學習中，雖然沒有出現(xiàn)算法這個名詞，但實際上在數(shù)學教學中已經(jīng)滲透了大量的算

法思想，如四則運算的過程、求解方程的步驟等等，完成這些工作都需要一系列程序化的步驟,

這就是算法的思想.

二、數(shù)學運用

1.算法描述舉例

例1.給出求1+2+3+4+5的一個算法.

解：算法1按照逐一相加的程序進行.

第一步：計算1+2,得到3；

第二步：將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6；

第三步：將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10；

第四步：將第三步中的運算結(jié)果10與5相加，得到15.

算法2運用公式1+2+3++〃=次里1直接計算.

2

第一步：取=5；第二步：計算巫士9；第三步：輸出運算結(jié)果.

2

說明：一個問題的算法可能不唯一

例2.給出求解方程組（2"+'=7的一個算法.

4x+5y=11

分析：解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別,

為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現(xiàn)，我們用高斯消元法（即先將方程組

化為一個三角形方程組，在通過回代過程求出方程組的解）解線性方程組.

解：用消元法解這個方程組，步驟是：

第一步：方程①不動，將方程②中的系數(shù)除以方程①中的系數(shù)，得到乘數(shù)加=&=2；

2

第二步：方程②減去乘以方程①，消去方程②中的項，得到「=7；

3y=-3

x=4

第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到y(tǒng)=-1,x=4.所以原方程組的解為

y=-1

2、算法概念

算法：在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一個或一類問題的明確和有限的步驟。

3、怎樣表達算法？

如例1：算法3

第一步：使S=l；第二步：使/=2；第三步：使5=5+/；

第四步：使/=/+1；第五步：如果145,則返回第三步，否則輸出S.

例1的延伸：給出求1+2+3+…N的一個算法

第一步：使S=l；第二步：使/=2；第三步：使5=5+1；

第四步：使/=/+1；第五步：如果IWN,則返回第三步，否則輸出S.

2.寫出求1+,+1++」-